面積比條件下的中考壓軸題探究

222002 江蘇省連云港市新海實驗中學 姜 洋

面積比條件下的中考壓軸題探究

222002 江蘇省連云港市新海實驗中學 姜 洋

面積比條件下的問題是指在圖形的運動變化過程中，兩個圖形滿足一定的比值，從而在平面直角坐標系中探求某點的坐標、某直線的解析式、某拋物線的解析式等等.這樣的問題常常作為中考壓軸題，或作為壓軸題的一個子問題出現.本文對2010年的這類中考題進行問題的重構(再發現、再發明)，親歷問題(可能)的生長過程;自覺運用波利亞的“解題表”中的回顧反思環節，融會貫通面積問題的數學思維，以提高解決這類中考壓軸題的有效度.

1 面積比條件下點的確定

問題1 (2010年深圳)如圖1，拋物線y=ax2+c(a＞0)經過梯形ABCD的四個頂點，梯形的底AD在x軸上，其中 A(－2，0)，B(－1，－3).

(1)求拋物線的解析式;

(2)點M為y軸上任意一點，當點M到A，B兩點的距離之和為最小時，求此時點M的坐標;

(3)在第(2)問的結論下，拋物線上的點P使S△PAD=4S△ABM成立，求點P的坐標.

圖1

解 求得拋物線的解析式為 y=x2－4，點 M(0，－2).由于△AOM，△BNM 都為等腰直角三角形，從而△ABM是直角三角形，求出S=×2×=2.如

△ABM圖 2，由于 S△PAD=4S△ABM，可求得△ADP的邊AD上的高為4，從而點P的縱坐標是4或－4，代入拋物線解析式得 P1(2，4)，P2(－ 2，4)，P3(0，－4).

圖2

問題2 (改編于2010年成都市中考壓軸題)如圖3，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為A(－3，0)，B(－1，0)，C(0，3)，點 P 是線段 AC 上一點，設△ABP，△BPC 面積分別是 S△ABP，S△BPC，且 S△ABP:S△BPC=2∶3，求點P的坐標.

解 根據高相同，三角形面積之比等于底之比，S△ABP∶S△BPC=2 ∶3，稍作轉化可得點P將線段 AC分割為2∶3.過點P作x，y軸的垂線，垂足分別為點D，E.PD與CO組成A型，AP ∶AC=2 ∶5，從而 PD ∶CO=2 ∶5，可求出 PD=;同理PE=

圖3

將問題2稍作拓展:

問題3 將問題1中的“點P是線段AC上一點”改為“點P是直線AC上一點”.

解 此時點P可能出現在線段AC的延長線或反向延長線上.當點 P在線段 AC的延長線上時，S△ABP＞S△BPC，與題意不符;當點P在線段AC的反向延長線上時，S△ABP＜ S△BPC，則一定會出現 S△ABP∶S△BPC=2 ∶3.仍然是過點P作x，y軸的垂線，垂足分別為點 D，E，構造A型或X型求解得 P(－9，－6).因此點 P的坐標為()，(－9，－6).

點評 問題1中，△ABM是確定的，即靜止不動的，而△ADP是底靜止，點P待定，有了以上的動靜分析，根據面積比列出方程就容易了.問題2中，△ABC是靜止不動的，而直線PB繞著定點B旋轉，從而△ABP，△BPC變化運動.△ABP，△BPC分別以AP，PC為底，則高相同，面積比轉化為線段比，從而點P易求.

問題4 將問題1中的“點P是線段AC上一點”改為“點P在直線x=－5上”.

解 設點P(－5，t)，直線x=－5與x軸的交點為D.

情況1 當 t≥0時，如圖4，直接求△BPC的面積很困難，轉而用四邊形PDOC的面積減去△BPD(若 t=0，則 S△BPD=0)，△BOC 的面積，從而

圖4

由于 S△ABP∶S△BPC=2 ∶3，

建立方程，解得 t=6，即 P(－5，6).

當點P在第三象限時，要注意特殊情況:點P與AC共線(此時t=－2)，點P與BC共線(此時t=－12).

情況2 當 －2＜t＜0時，如圖5，設PC與x軸交于點E，由PD與CO構造的X型，求得DE=，BE=4 －DE=

從而 S△ABP= － t，S△BPC=S+S=12+t.

△BEC△BEP2

圖5

由 S△ABP:S△BPC=2 ∶3，解得 t= －3，即 P(－5，－3).

這里我們發現t=－3不符合情況2的條件，應當舍去.但是仔細觀察，我們發現當－12＜t＜－2時，解題的方法及最后所構成的方程不變，所以分類標準應當調整.預想的“情況3，當 －12＜t＜ －2時”不需要，t= －2不應作為分類的標準.應與情況2合并，情況2的條件應改為“－12＜t＜0”結論是 t= －3，即 P(－5，－3).

點評 (1)情況3舍去的t=6恰好與情況1的結果相同，這是偶然的，還是必然的呢?其實當t＞3時，直線PC與x軸交于點E，運用與情況2，3相同的方法，所構造的方程與情況3恰好是同解的.

(2)求解S△BPC的方法中，情況1與2，3不同，而情況2，3的方法具有一般性.若按照情況2，3采用構造點E(直線PC與x軸的交點)的方法，分類的標準應當調整，分為t＞3;t=3;0＜t＜3;－12＜t＜0;t＜ －12五種情況.

(3)分類討論的標準不是一蹴而就的，教師在教學中應當將分類的原因及分類的標準的產生過程體現出來，促進學生生成數學體驗.

問題5 將問題1中的“點P是線段AC上一點”改為“點P在直線y=x+8上”.

類比問題4，解決此題學生會更加充滿自信.

點評 問題串的設置不僅能讓學生在探求三角形的面積時更具有技巧性，例如靈活地將目標三角形與周圍的圖形結合成一個規則的整體，而且問題2，3，4的逐步深入可以滿足不同層次的學生的需要.

2 面積比條件下直線的確定

問題6 (2010年陜西省中考壓軸題)問題探究

(1)請你在圖6中作一條直線，使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分;

(2)如圖7點M是矩形ABCD內一點，請你在圖5中過點M作一條直線，使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分.

問題解決

圖6

圖7

如圖8，在平面直角坐標系中，直角梯形OBCD是某市將要籌建的高新技術開發區用地示意圖，其中 DC∥OB，OB=6，CD=4，開發區綜合服務管理委員會(其占地面積不計)設在點 P(4，2)處.為了方便駐區單位準備過點P修一條筆直的道路(路寬不計)，并且是這條路所在的直線l將直角梯形OBCD分成面積相等的兩部分，你認為直線l是否存在?若存在求出直線l的表達式;若不存在，請說明理由

圖8

解 (1)如圖6;

(2)如圖7連接AC，BC相交于P，則P為矩形對稱中心.作直線MP，直線MP即為所求.

如圖8存在直線l，過點D作DA⊥OB，垂足為點A，則點P(4，2)為矩形ABCD的對稱中心.從而過點P的直線只要平分△DOA的面積即可.易知，在OD邊上必存在點H使得PH將△DOA面積平分，則直線PH平分梯形OBCD的面積，即直線PH為所求直線l.

設直線PH的表達式為y=kx+b，且過點P(4，2).

∴ 2=4k+b，即 b=2－4k;∴ y=kx+2－4k;

∵直線OD的表達式為y=2x，

而PH與線段AD的交點F(2，2－2k)，

點評 從圖7遷移到圖8，學生還是比較困難的.一方面是因為圖6，圖7運用幾何作圖的方法找到了等積分割線，而圖6中梯形OBCD或△ODA不是中心對稱圖形，則它沒有中心，運用同樣的幾何作圖法找到等積分割線很困難，圖8運用了代數方法——待定系數法，或者稱之為解析法.另一方面，圖7中只是一個矩形(一個整體)利用中心找等積分割線，圖8則需要將原圖形轉化為兩部分來看待，學生不易轉化出來，而點P恰恰是矩形ABCD的中心，這也是不易觀察出來.

其實點P是否是矩形ABCD的中心并不是問題的關鍵.若點P不是矩形ABCD的中心，則設HP交BC于點I，求出點I坐標，再求四邊形CDFI(可能是梯形或平行四邊形)的面積，四邊形CDFI與△DHF的面積之和等于梯形OBCD面積的一半，可構造方程解決問題.顯然以上的解析法具有一般性，不會因為點P的位置受到改變.但是點P的位置不同，可能導致等積分割線與梯形OBCD的交點位置不確定.

類比問題6，我們可以將點P設置在梯形周長上，形內，形外.

問題7 在問題6的條件下，試求過邊OD中點的面積平分線.

問題8 在問題6的條件下，試求過點(3，2)的面積平分線.

問題9 在問題6的條件下，試求過點(－1，0)的面積平分線.

點評 從問題6到問題7，8，9體現了問題變化生長的過程，突出方法的本質不變性，而解析法的探究應用反映了高觀點知識的滲透，為將來的高中學習作好理解上的鋪墊.

3 面積比條件下拋物線的確定

問題10 (2010年天津)在平面直角坐標系中，拋物線在平面直角坐標系中，拋物線y=－x2+bx+c與x軸交于點A，B(點A在點B的左側)，與y軸的正半軸交于點C，頂點為E.

(1)若b=2，c=3，求此時拋物線頂點E的坐標;

(2)將(1)中的拋物線向下平移，若平移后，在四邊形ABEC中滿足 S△BCE=S△ABC，求此時直線 BC的解析式;

(3)將(1)中的拋物線作適當的平移，若平移后，在四邊形ABEC中滿足S△BCE=2S△AOC，且頂點E恰好落在直線y=－4x+3上，求此時拋物線的解析式.

圖9

解法1 (1)求得拋物線的解析式為y=－x2+2x+3，即y= －(x－1)2+4，拋物線頂點 E的坐標為(1，4).

(2)將(1)中的拋物線向下平移，則頂點E在對稱軸x=1上，有b=2，

∴拋物線的解析式為y=－x2+2x+c(c＞0).

∴此時，拋物線與y軸的交點為C(0，c)，頂點為E(1，1+c).

如圖10，過點E作EF∥CB與x軸交于點F，連接CF，則 S△BCE=S△BCF.

(3)根據題意，設拋物線的頂點為 E(h，k)(h＞0，k＞0)，則拋物線的解析式為 y=－(x－h)2+k，此時，拋物線與y軸的交點為C(0，－h2+k)，與x軸的交點為A(h－，0)，B(h+，0)＞h＞0).

過點E作 EF∥CB與 x軸交于點 F，連接 CF，則S△BCE=S△BCF.由 S△BCE=2S△AOC，∴ S△BCF=2S△AOC.得 BF=2AO=2(－h).

設該拋物線的對稱軸與x軸交于點D，

點評 (Ⅰ)(2)中通過等積變換構造了點F，從而構造了△EDF，利用Rt△EDF∽Rt△COB構造方程.這樣的解題思路比較精妙，筆者反思這樣的方法學生能想到嗎?能否有其它的方法呢?

解法2 采用“合”的方法，將△BCE與△OBC結合成一個整體，得四邊形OBEC，四邊形OBEC又可以看作梯形ODEC與△DBE結合而成，從而

解法3 采用“分”的方法，將△BCE分割成△GEC和△GEB兩部分.設BC與ED交于點G，GD∥CO，構成A型，求得GD=1+c－，EG=DE －GD=從而

筆者認為解法2、3種更合理、簡潔.

(Ⅱ)顯然第解法2、3思路種在(3)中也是可行的，留給讀者解決，本文不再贅述.

數學學習的最佳途徑是反璞歸真，在學習者的頭腦中，經歷知識(可能的)發生、發展過程，需要教師為之設計一個知識可能的生長過程，使學生經歷這個過程，像歷史在戲劇中的重演.設計(可能的)知識生長過程，可以通過參與研究，從做數學中發現數學，積累豐富的經歷.雖然數學問題變化多端，但總有共性，數學研究的經歷、經驗，具有一般性，日常解題和重大數學發明發現之間，并沒有不可逾越的鴻溝(波利亞語).可見，研究的經歷有助于數學教學的設計.

面積比條件下的中考壓軸題屬于高認知水平任務，從教師的教學方式方面分析，不是要求教師進行透徹講解或包辦代替學生的思維，而是要求教師為學生創設一個適合于學生最近發展區的問題情境，以利于學生探索，探索過程中教師通過適時的介入、引導、啟發與點撥，為學生提供教練式的教學支援，并與學生相互交流、共同進行研究和評價，同時還要對自己的思維方向及學生的探究活動進行適時調控以保持任務的高認知水平.

20110323)