用“俯視圖法”求正方體個數

453007 河南師范大學附屬中學 劉晨曦 付帥

用“俯視圖法”求正方體個數

453007 河南師范大學附屬中學 劉晨曦 付帥

利用相同小正方體搭成的幾何體的三視圖，確定或求最多(少)小正方體個數問題，是近幾年中考考查三視圖的熱點之一.此類試題不僅考查了學生掌握三視圖的程度，同時也考查了學生的空間想象能力.如何快捷地求出此類問題的正確答案，本文介紹一種“俯視圖法”，與同行商榷.

1 “俯視圖法”的依據

1.1 位置關系

俯視圖在主視圖的正下方，左視圖在主視圖的正右方.

1.2 大小關系

主視圖與俯視圖長對正，主視圖與左視圖高平齊，左視圖與俯視圖寬相等.這里的長、寬、高分別對應三視圖所示物體的左右之間、前后之間、上下之間的長度.

2 “俯視圖法”的步驟

第一步:畫出俯視圖;

第二步:標出俯視圖中每個正方形中所代表的正方體個數.方法是:主視圖與俯視圖遵循“列對列”，即主視圖中每列正方形總的個數寫在俯視圖中對應的列中每個正方形中，例如主視圖的第1列上有3個正方形，則在俯視圖的第1列上每個正方形中標上3(表示在此位置有3個正方體)，以此類推;左視圖與俯視圖遵循“列對行”，即左視圖中每列正方形總的個數寫在俯視圖中對應的行中每個正方形上，例如左視圖的第1列上有3個正方形，則在俯視圖的第1行上每個正方形中標上3(表示在此位置有3個正方體)，以此類推;

第三步:確定正方體的個數，即由第二步可得俯視圖中每個正方形中有兩個數字，取較小(若數字相同不變)的數字相加，所得的和即為正方體的個數.

3 “俯視圖法”的應用

3.1 確定小正方體個數

例1 (2010年威海)圖1是由幾個相同的小正方體搭成的幾何體的三視圖，則搭成這個幾何體的小正方體的個數是

A.5 B.6 C.7 D.8

解析 由主視圖可知在俯視圖第1、3列每個正方形內填1，第2列每個正方形內填2;又由左視圖可知，在俯視圖的第1行中每個正方形內都填2，第2行填1，如圖2所示，重疊交叉處應取兩次所填數字中較小的，則1+2+1+1=5，即幾何體的小正方體的個數是5，故選A.

3.2 求最值

(1)給出主視圖、左視圖求最大值

例2 (2010年河南)如圖3是由大小相同的小正方體組成的簡單幾何體的主視圖和左視圖，那么組成這個幾何體的小正方體的個數最多為 .

圖3

解析 主視圖有2列，左視圖有3列，可知幾何體的俯視圖最多為2×3的長方形(如圖4)，由主視圖可知在俯視圖第1列每個正方形內填2，第2列每個正方形內填1;又由左視圖可知，在俯視圖的1行中每個正方形內都填2，第2，3中行每個正方形內都填1，如圖4所示，重疊交叉處應取兩次所填數字中較小的，把較小的數字相加得7，所以總體上最多由7個正方體組成.故填7.

(2)給出主視圖、俯視圖求最小值

圖4

例3 (2010年深圳)如圖5，是一個由若干個相同的小正方體組成的幾何體的主視圖和俯視圖，則能組成這個幾何體的小正方體的個數最少是 個.

圖5

解析 主視圖的第1列有3個正方形，在俯視圖第1列每個正方形內都應填3，但題中要求的是最少的正方體個數，于是在該列中至少有一個正方形內填3，其余填1，同理，在俯視圖中的第3列中至少有一個正方形內填2，其余填1，第2列中正方形內只能填1，如圖6所示，所以能組成這個幾何體的小正方體的個數最少是9個，故填9.

3.3 求可能值

例4 如圖7，組成這個幾何體的小正方體的塊數為n，則n的所有可能值為————.

圖7

圖8

圖9

解析 主視圖的第1列有1個正方形，在俯視圖第1列的正方形內填1，主視圖的第2列有2個正方形，在俯視圖第2列的每個正方形內填2，主視圖的第3列有3個正方形，在俯視圖第3列的每個正方形內填3，如圖8所示，于是這樣得到的是小正方體塊數最多的情況，此時11塊;保持俯視圖中第1列的個數不變，在俯視圖中的第2，3列中分別至少有一個正方形內填2和3，其余填1，如圖9所示，這樣得到的是小正方體塊數最少的情況，此時8塊，所以8≤n≤11，因為 n為整數，故 n=8，9，10和11.

20110325)