例析二次函數的圖象變換

315800 浙江省寧波市北侖區顧國和中學 楊 艷

例析二次函數的圖象變換

315800 浙江省寧波市北侖區顧國和中學 楊 艷

圖形的平移、軸對稱、旋轉常見于直線形中，在曲線形——圓中也偶有所見.然而，也有以二次函數圖像為背景的圖形變換，它的一些性質與直線形的圖形變換有許多相通之處.詳見下表:

有必要指出，二次函數y=a(x+m)2+k的圖象平移、軸對稱、旋轉時，圖象的形狀不變，而開口方向要么相同，要么相反，即二次項系數不變，變化的只是它的位置，即關鍵是頂點(－m，k)位置的改變.對于拋物線的幾種變換，可以歸結為:一看頂點位置，二看開口方向.

下面例舉拋物線的平移、軸對稱、旋轉問題的求解策略.

1 拋物線的平移

一般地，拋物線的平移有以下規律:

例1 已知拋物線y=x2+2x－3，如何平移此拋物線使其圖象與拋物線y=x2－4x+7的圖象完全重合.

可知，將拋物線y=x2+2x－3向右平移3個單位，再向上平移7個單位，與拋物線y=x2－4x+7的圖象完全重合

.

例2 已知y=2x2的圖象是拋物線，若拋物線不動，把x軸，y軸分別向上、向右平移2個單位，那么在新坐標系下拋物線的解析式是

解析 反其道而行之，即將y=2x2的圖象分別向下和向左平移2個單位即可.選B.

2 拋物線的軸對稱

我們知道，拋物線y=a(x+m)2+k的頂點坐標為(－m，k)，拋物線在對稱過程中僅僅是頂點坐標改變，方向相同或相反.由于點(－m，k)關于x軸的對稱點為(－m，－k)，關于 y軸的對稱點為(m，k).所以可得，拋物線y=a(x+m)2+k關于x軸對稱(開口方向相反)的圖象是y=－a(x+m)2－k，關于y軸的對稱(開口方向相同)圖象是y=a(x－m)2+k.

例3 作拋物線A關于x軸對稱的拋物線B，再將拋物線B向左平移2個單位，向上平移1個單位，得到的拋物線C的函數解析式是y=2(x+1)2－1，則拋物線A所對應的函數表達式是

解析 將拋物線C:y=2(x+1)2－1向下平移1個單位，再向右平移2個單位，得拋物線B:y=2(x－1)2－2;再將B關于x軸對稱，得拋物線A:y=－2(x－1)2+2.故選 D.

更一般地，拋物線y=a(x+m)2+k關于直線y=e(與x軸平行)對稱的拋物線為y=－a(x+m)2+(2ek);拋物線y=a(x+m)2+k關于直線x=f(與y軸平行)對稱的拋物線為y=a［(x－(2f+m)］2+k.

3 拋物線的旋轉

這里僅討論拋物線旋轉180°的情形.繞某點旋轉180°，即關于某點中心對稱.已知點(－m，k)關于原點的對稱點為(m，－k)，所以拋物線y=a(x+m)2+k繞原點旋轉180°后所得的拋物線為y=－a(x－m)2－k.

例4 將拋物線y=x2－2x+3繞原點旋轉180°，則所得的拋物線的函數解析式為＿＿.

解析 將拋物線y=x2－2x+3化為y=(x－1)2+2，其頂點坐標為(1，2).頂點(1，2)繞原點旋轉 180°后為(－1，－2)，所以，旋轉后的拋物線為y= －(x+1)2－2.

實際上，拋物線的旋轉中心不僅限于坐標原點，而具有更一般的規律.(－m，k)關于點(e，f)的中心對稱點是(2e+m，2f－ k).所以 y=a(x+m)2+k關于點(e，f)的中心對稱的拋物線為y=－a［x－(2e+m)］2+(2fk).具體如y=(x－1)2+2關于點(2，3)中心對稱所得的拋物線為y=－(x－3)2+4.

圖1

例5 已知二次函數y=ax2+4ax+4a－1的圖象是C1.

(1)求 C1關于點 R(1，0)中心對稱的圖象C2的函數解析式;

(2)設曲線 C1，C2與 y軸的交點分別為 A，B，當，求a的值.

解析 由y=a(x+2)2－1，可知拋物線C1的頂點為M(－2，－1).

由M(－2，－1)關于點 R(1，0)中心對稱的點為N(4，1)，以 N(4，1)為頂點，與拋物線 C1關于點 R(1，0)中心對稱的圖象C2也是拋物線，且C1與C2的開口方向相反，故拋物線C2的函數解析式為y=－a(x－4)2+1，即y= －ax2+8ax－16a+1.

綜上可見，拋物線的圖象變換遵循一般直線形的變換規律，而又有其自身的特點.只有深入理解直線形圖形變換的規律和性質，才能在分析拋物線的圖象變換時做到有效遷移，求解問題時有的放矢，左右逢源，真正地做到具體情況具體分析，舉一隅而三反.

20110311)