借助函數概念的發展史引入函數概念

100054 北京教育學院宣武分院二部 彭 林

100053 北 京 十 四 中 童紀元

借助函數概念的發展史引入函數概念

100054 北京教育學院宣武分院二部 彭 林

100053 北 京 十 四 中 童紀元

1 函數概念的三種定義

函數一詞是由萊布尼茲1673年最早引入的，用來表示任何一個隨著曲線上的點變動而變動的量.例如，曲線上點的坐標、點的斜率、曲率半徑等等.其后，伯努利把函數看作一個變量和一個常數組成的表達式.歐拉在伯努利之后把函數看作是含有變量和常數的任何方程和公式.不難看出，他們對函數的界定都沒有跳出“表達式”的范圍.

后來，人們又給出了這樣的定義:“如果一個量依賴著另一個量，當后一個變化時前一個量也隨著變化，那么第一個量稱為第二個量的函數.”這個定義雖然還沒有道出函數的本質，但是，卻把變化、運動注入到函數定義中去，是可喜的進步.

1834年，俄國數學家羅巴切夫斯基提出函數的定義:“x的函數是這樣的一個數，它對于每個x都有確定的值，并且隨著x一起變化.函數值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法.函數的這種依賴關系可以存在，但仍然是未知的.”這個定義跳出了“表達式”的框框，建立了變量與函數之間的對應關系，是對函數概念的一個重大發展，因為“對應”是函數概念的一種本質屬性與核心部分.

1837年，德國數學家狄里克萊認為，怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，所以他的定義是“如果對于x的每一個值，y總有完全確定的值與之對應，則y是x的函數.”

根據這個定義，即使象如下表述的，它仍然被說成是函數(狄里克萊函數):

在這個函數中，如果x由0逐漸增大地取值，則f(x)忽0忽1.在無論怎樣小的區間里，f(x)無限制地忽0忽1.因此，它很難用一個或幾個式子來加以表示，甚至究竟能否找出表達式也是一個問題.但是，不管其能否用表達式表示，在狄里克萊的定義下，這個f(x)仍是一個函數.

狄里克萊的函數定義，出色地避免了以往函數定義中所有的關于依賴關系的描述，以完全清晰的方式為所有數學家無條件地接受.至此，我們已經可以說，函數概念、函數的本質定義已經形成，這就是人們常說的經典函數定義，即函數的“變量說”.

到二十世紀初，取消了函數概念中變量只能為數的限制，突出了函數的本質特征——對應關系，用集合論的語言敘述為:若對集合M的任意元素x，總有集合N中確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數，記為y=f(x).元素x稱為自變元，元素y稱為因變元.這種定義方式叫做函數的“對應說”.

可是，這個定義中還存在著意義不明確的概念“對應”.因此，數學家們給出了十分形式化的定義.

我們看到，“變量說”自然、形象、直觀，易于理解，但也有其缺陷一面:

(1)“變量說”對函數的實質——對應——缺少充分的刻畫，這是最致命的缺陷.究竟函數是指f，還是f(x)，還是 y=f(x)呢?

(2)“變量說”強調變量和變域——自變量和因變量、定義域和值域，而對對應規律卻輕描淡寫一筆帶過.例如，容易誤解y=sin2x+cos2x(=1)不是函數.

而“對應說”和“關系說”建立在集合論的基礎上，更接近現代數學語言，普適性強，更重要的是，它們都抓住了函數的本質——對應關系.

2 借助函數概念的發展歷史引入函數概念

函數概念的一次又一次的擴張，是前人思維的一次又一次的突破，從中可以看到，函數概念的內涵被不斷地挖掘、豐富和精確刻畫.研究表明:函數概念歷史發展過程中的認識障礙也會成為今天課堂上學生的認知障礙.因此，在函數概念教學中，如果能恰當借鑒歷史，選擇學生容易接受的典型情境探究函數概念，使學生在情境的識別與辨析中逐步體會它的形成過程，并且親身感悟一次又一次逐步抽象出函數概念的方法，將有助于學生打破思維定勢，形成清晰的認識，并深刻理解函數的概念.這是一個多層次逼近的過程，反映了認識由遠及近、由模糊到清晰、由粗略到精細的過程，是教學中值得借鑒的.

所以，我們可以根據學生的情況，借鑒函數的歷史發展，讓學生在探究函數概念的過程中，經歷3次函數概念的擴張，并最終歸納、總結出現行初中數學教材中的函數概念.

2.1 讓學生結合實例，從兩個變量聯系的角度，試著給出函數的定義，即從表達式的角度理解兩個變量的關系，完成對函數概念內涵的第1次抽象認識

例1 指出下列變化過程中的變量和常量，并用適當的形式表達變量間的關系.

(1)一個水滴落到平靜的湖面上，所形成的一系列圓的面積S與圓半徑r的關系＿＿;

(2)銳角β與銳角α互余，則β與α的關系＿＿＿＿;

(3)氣體的質量m一定時，它的體積V與它的密度ρ之間的關系＿＿＿＿;

(4)購買單價為1元/支的鉛筆x支和單價5元/個的筆記本y個共花去80元，則x和y的關系＿＿＿＿;

上述的每一個問題中，教師都提問:在變化的過程中，誰是變量?誰是常量?兩個變量間的關系是通過什么來刻畫的?

學生分別回答相應問題.

進而教師提出問題:你能總結在不同的變化過程中，變量間的關系有何共同特點呢?

學生思考，總結上述例子變量間關系的共同特點:

(1)在某一變化過程中存在著兩個變量;

(2)變化過程中兩個變量之間存在一個關系式;

(3)當一個變量的數值確定時，另一個變量的數值也隨之確定.

說明 關于結論(3)，學生可能不易得出該結論，如果學生沒有總結出這一條，則先暫時放棄對這一條的總結，通過后續問題的研究，讓學生慢慢的發現該結論.

通過上述問題，感受到變量之間的相互聯系.特別是二元一次方程，進一步促進學生認識兩個量之間是相互關聯的，揭示變量間關系的一些共同特點.

2.2 結合實例，讓學生思考前面總結的函數定義是否完整，如果不完整，應該如何補充?對函數從表達式角度的理解過渡到函數是兩個變量間的相互依賴關系的認識，完成對函數概念內涵的第2次抽象

例2 北京近幾年底機動車保有量統計表:

(1)表格中有變量嗎?是什么?

(2)從表格中你能得出哪些結論?

(3)你能寫出汽車保有量m(萬輛)與年份n之間的關系式嗎?

例3

圖1

(1)統計圖中有變量嗎?是什么?

(2)你能寫天數m與年份n之間的關系式嗎?

在學生回答上述問題的基礎上，教師指出，顯然，例2中無法寫出汽車保有量m(萬輛)與年份n的關系式，例3中也無法寫出天數m與年份n之間的關系式，那么聯系例1，例2，例3，變量之間關系的共同特點是什么呢?

學生對從例1中得出的共同特點作出修改，形成新的認識:

(1)在某一變化過程中存在著兩個變量;

(2)當一個變量的數值確定時，另一個變量的數值隨之確定.

通過以上問題的思考，學生對變量間的共同屬性有了進一步的認識:即在一個變化過程中的兩個變量，不一定存在一個確定的關系式;變量間的關系還可以通過表格、圖象等形式來體現.兩個變量存在“單值對應”的關系在上述例題中有所體現，但對這一關系的認識，需要通過辨析來加以明確.

2.3 通過實例，讓學生對函數概念的認識從變量間的相互依賴關系過渡到兩個變量的對應關系，完成對函數概念內涵的第3次抽象認識

例4 為使首都的交通狀況得到改善，北京推行“公交先行”的戰略.北京市某趟公交車的收費標準是:12千米以內票價1元，每增加5千米以內加價0.5元，學生使用公交一卡通刷卡可享受2折優惠.請你計算乘車里程數x(千米)分別為5千米，10千米，13千米，15千米時，刷卡乘車實際所需要花的錢數y(元).

學生思考，回答上述問題:當乘車里程數分別為5千米，10千米時，需花0.2元;當乘車里程數分別為13千米，15千米時，需花0.3元.

教師追問學生:在這個問題中，有哪些變量，變量間的關系有何特點?和前面的例子比較，變量間關系的共同特點是什么呢?

在此問題中，學生應該能立刻意識到在這個變化過程中，當乘車的里程數x取不同數值時，刷卡乘車的費用y卻可能相同;當乘車里程數x確定時，刷卡乘車的費用y卻是唯一確定了.這點對學生構建對函數概念中“單值對應”的關系至關重要.

學生討論，形成認識:乘車費用y(元)并不一定隨著乘車里程數x(千米)的變化而變化，但變量x的每一個確定數值，變量y都有唯一的數值與之對應.

通過上述問題的解決，我們得出在這些問題中變量間關系的共同特點:

(1)在一個變化的過程中存在著兩個變量;

(2)當其中一個變量取一確定數值時，另一個變量有唯一值與之對應.

至此，學生對函數“變量說”中的兩個變量間的關系有了清晰的認識，形成了函數的概念:在一個變化過程中，有兩個變量x與y，對于變量x的每一個值，變量y都有唯一確定的值和它對應，我們就把x稱為自變量，y稱為因變量，y是x的函數.

這樣設計函數概念的教學，目的是讓學生沿著數學家探索函數概念所走過的路，經歷“一次次地提出概念、一次次地推翻概念”的探究過程，讓學生對函數概念的發展、內涵與外延認識得更加深刻.

20110304)