相交平面鏡成像規律的再研究

劉士國

(五河縣第四中學 安徽 蚌埠 233300)

學過了幾何光學，知道了單個平面鏡的成像特點．根據此特點來分析成某一夾角的兩個相交平面鏡成像規律．

如圖1所示，設兩相交平面鏡A，B的夾角為θ(鏡面足夠大，厚度忽略不計)，交點為O，物點S與O的連線和A，B的夾角分別為α，β．現在來研究S在A，B兩平面鏡中成像的個數和位置與α，β的具體關系．

根據平面鏡的成像特點，不難得到以下結論.

(1)S在A，B平面鏡中所成的像均落在以O點為圓心，以SO線段長為半徑的圓上．

(2)因物像分居平面鏡前后兩側，故Ⅰ區域(兩平面鏡的夾角區域)無像點．

(3)因Ⅱ區域(兩平面鏡夾角的對角范圍區域)的像點同時位于A和B的后面，故不會通過平面鏡再次成像．

(4)因Ⅲ，Ⅳ區域(Ⅰ，Ⅱ區域之外的兩個區域)的像點總是位于A或B的前面，故還可以通過平面鏡再次成像．

圖1

所以物點S通過A成的像為S1，通過B所成的像為S2，S1通過B所成的像為S3，S2通過A成的像為S4，S3通過A成的像為S5，S4通過B所成的像為S6……當然S8，S9落在Ⅱ區域便不再成像．很容易證明S1O與OS夾角為2α，S4O與OS夾角為2α+2β，S5O與OS夾角為2α+2β+2α+…同樣有S2O與OS夾角為2β，S3O與OS夾角為2β+2α，S6O與OS夾角為2β+2α+2β+…可以看出符合下列兩式的所有2α，2β最多個數之和即是物點S成像總數．而且可以利用像點與O連線和OS夾角大小來確定像點的位置．

P=2α+2β+2α+2β+2α+2β+

…≤180°+α

(1)

Q=2β+2α+2β+2α+2β+2α+

…≤180°+β

(2)

(1)M為偶數

1)α=β的情況

同樣，有

因為P+Q=360°，有兩個像點重復，所以

【例1】當θ=60°，α=β=30°時

2)α≠β的情況

同理，有N=M-1

【例2】當θ=60°，α=10°和β=50°時

(2)M為奇數

1)α=β的情況

當P和Q中的2α和2β個數之和(最多)均為

N=M-1

此種情況比較特殊，最后兩個像點都落在平面鏡的延長面上，不能再次成像．故“當M為奇數時，成像個數與實際看到的像的個數都為M”有誤[1].

【例3】當θ=24°，α=β=12°時

2)α≠β的情況

同理，有N=M

【例4】當θ=24°，α=4°和β=20°時

上面討論了M是整數的情況，若M為小數，規律又如何呢？

若M為小數，且D﹤M﹤C(D為小于M的最大整數,C為大于M的最小整數)．

(3)C為偶數

1)偶數C為4的整數倍

當成像個數最多時

180°+α=2α+2β+2α+2β+2α+2β+…

即

得

當24°<α<78°時，成像個數為4；α<24°時，成像個數為3．

2)偶數C不為4的整數倍

當80°<α<180°時，成像個數為2；α>180°時，成像個數為1．

(4)C為奇數

1)奇數C+1為4的整數倍

當α>108°時，成像個數為3；α<108°時，成像個數為2．

2)奇數C+1不為4的整數倍時

當α<20°時，成像個數為5；α>20°時，成像個數為4．

在這里筆者由課本上所學的知識討論了較為復雜的兩個相交平面鏡的成像規律．由此可見，學習物理規律時一定要抓住規律的本質，并能靈活應用在所遇到的問題中，這樣才能找到解決問題的正確方法．

參考資料

1 林遂弟. 兩個互成角度的平面鏡成像規律的研究. 物理教師,2001(10)

2 王玉蘭. 圖析兩平面鏡成像個數的規律. 湛江日報·教育周刊，2003