相交平面鏡成像規(guī)律的再研究

劉士國

(五河縣第四中學(xué) 安徽 蚌埠 233300)

學(xué)過了幾何光學(xué)，知道了單個(gè)平面鏡的成像特點(diǎn)．根據(jù)此特點(diǎn)來分析成某一夾角的兩個(gè)相交平面鏡成像規(guī)律．

如圖1所示，設(shè)兩相交平面鏡A，B的夾角為θ(鏡面足夠大，厚度忽略不計(jì))，交點(diǎn)為O，物點(diǎn)S與O的連線和A，B的夾角分別為α，β．現(xiàn)在來研究S在A，B兩平面鏡中成像的個(gè)數(shù)和位置與α，β的具體關(guān)系．

根據(jù)平面鏡的成像特點(diǎn)，不難得到以下結(jié)論.

(1)S在A，B平面鏡中所成的像均落在以O(shè)點(diǎn)為圓心，以SO線段長為半徑的圓上．

(2)因物像分居平面鏡前后兩側(cè)，故Ⅰ區(qū)域(兩平面鏡的夾角區(qū)域)無像點(diǎn)．

(3)因Ⅱ區(qū)域(兩平面鏡夾角的對(duì)角范圍區(qū)域)的像點(diǎn)同時(shí)位于A和B的后面，故不會(huì)通過平面鏡再次成像．

(4)因Ⅲ，Ⅳ區(qū)域(Ⅰ，Ⅱ區(qū)域之外的兩個(gè)區(qū)域)的像點(diǎn)總是位于A或B的前面，故還可以通過平面鏡再次成像．

圖1

所以物點(diǎn)S通過A成的像為S1，通過B所成的像為S2，S1通過B所成的像為S3，S2通過A成的像為S4，S3通過A成的像為S5，S4通過B所成的像為S6……當(dāng)然S8，S9落在Ⅱ區(qū)域便不再成像．很容易證明S1O與OS夾角為2α，S4O與OS夾角為2α+2β，S5O與OS夾角為2α+2β+2α+…同樣有S2O與OS夾角為2β，S3O與OS夾角為2β+2α，S6O與OS夾角為2β+2α+2β+…可以看出符合下列兩式的所有2α，2β最多個(gè)數(shù)之和即是物點(diǎn)S成像總數(shù)．而且可以利用像點(diǎn)與O連線和OS夾角大小來確定像點(diǎn)的位置．

P=2α+2β+2α+2β+2α+2β+

…≤180°+α

(1)

Q=2β+2α+2β+2α+2β+2α+

…≤180°+β

(2)

(1)M為偶數(shù)

1)α=β的情況

同樣，有

因?yàn)镻+Q=360°，有兩個(gè)像點(diǎn)重復(fù)，所以

【例1】當(dāng)θ=60°，α=β=30°時(shí)

2)α≠β的情況

同理，有N=M-1

【例2】當(dāng)θ=60°，α=10°和β=50°時(shí)

(2)M為奇數(shù)

1)α=β的情況

當(dāng)P和Q中的2α和2β個(gè)數(shù)之和(最多)均為

N=M-1

此種情況比較特殊，最后兩個(gè)像點(diǎn)都落在平面鏡的延長面上，不能再次成像．故“當(dāng)M為奇數(shù)時(shí)，成像個(gè)數(shù)與實(shí)際看到的像的個(gè)數(shù)都為M”有誤[1].

【例3】當(dāng)θ=24°，α=β=12°時(shí)

2)α≠β的情況

同理，有N=M

【例4】當(dāng)θ=24°，α=4°和β=20°時(shí)

上面討論了M是整數(shù)的情況，若M為小數(shù)，規(guī)律又如何呢？

若M為小數(shù)，且D﹤M﹤C(D為小于M的最大整數(shù),C為大于M的最小整數(shù))．

(3)C為偶數(shù)

1)偶數(shù)C為4的整數(shù)倍

當(dāng)成像個(gè)數(shù)最多時(shí)

180°+α=2α+2β+2α+2β+2α+2β+…

即

得

當(dāng)24°<α<78°時(shí)，成像個(gè)數(shù)為4；α<24°時(shí)，成像個(gè)數(shù)為3．

2)偶數(shù)C不為4的整數(shù)倍

當(dāng)80°<α<180°時(shí)，成像個(gè)數(shù)為2；α>180°時(shí)，成像個(gè)數(shù)為1．

(4)C為奇數(shù)

1)奇數(shù)C+1為4的整數(shù)倍

當(dāng)α>108°時(shí)，成像個(gè)數(shù)為3；α<108°時(shí)，成像個(gè)數(shù)為2．

2)奇數(shù)C+1不為4的整數(shù)倍時(shí)

當(dāng)α<20°時(shí)，成像個(gè)數(shù)為5；α>20°時(shí)，成像個(gè)數(shù)為4．

在這里筆者由課本上所學(xué)的知識(shí)討論了較為復(fù)雜的兩個(gè)相交平面鏡的成像規(guī)律．由此可見，學(xué)習(xí)物理規(guī)律時(shí)一定要抓住規(guī)律的本質(zhì)，并能靈活應(yīng)用在所遇到的問題中，這樣才能找到解決問題的正確方法．

參考資料

1 林遂弟. 兩個(gè)互成角度的平面鏡成像規(guī)律的研究. 物理教師,2001(10)

2 王玉蘭. 圖析兩平面鏡成像個(gè)數(shù)的規(guī)律. 湛江日報(bào)·教育周刊，2003