行到水窮處 坐看云起時

518040 廣東省深圳市高級中學廣東省黃顯甫名師工作室 黃元華

行到水窮處 坐看云起時

518040 廣東省深圳市高級中學廣東省黃顯甫名師工作室 黃元華

新課標理念下的數學課有一個永恒的原則，那就是尊重學生，保護學生參與課堂的熱情和積極性，鼓勵他們發現問題、提出問題和解決問題．教師須順應學生的心理需求不斷調整自己的教學思路，與學生一起自然“生成”課堂．教師應敏銳地發現和捕捉契機，善于啟發和激勵，引發學生火熱的思考，把他們的探究引向深入，把學生的視野拓展至更為廣闊的思維空間．教師不要急于推銷自己的想法，不要強行把學生的思路硬性拉到自己預設的軌道上來，否則“強按牛頭不喝水”，也是枉然．上課應如行云流水，“行到水窮處，坐看云起時”，追求一種清新淡雅、深邃渺遠、渾然天成的自然境界．

本文所說的“鏈式思考”，即“一連串的思考”，主要指由一個問題到另一個問題的縱向或橫向的溝通、聯想與延伸．在一次高三兩節連堂復習課上，筆者講到這樣一道典型的數列題，引發了師生一連串的思考與探究．

題目 已知等差數列的前n項和為Sn，若S10=100，S100=10，求 S110．

此題解法很多，限于篇幅，這里只給出四種典型解法的要點.

解法1 設{an}的前n項和Sn=an2+bn，則由已知可得關于a，b的方程組，

解法4 依次將數列{an}的每10項作為數列{bn}的一項，則得等差數列{bn}，其中b1=100，前10項和為10，解得等差數列{bn}的公差為-22，所以 b11=-120，則S110=-110．

教師:四種解法，風格各異，覆蓋面廣，視野開闊，解法1用的是“基本量法”;解法2別出心裁地利用了直線方程;解法3利用等差數列的一個性質，構造了一個新的等差數列;解法4中的等差數列等同于解法3，但又顯得大氣和簡潔明快，都給我們以深深的啟迪．

鏈式思考1——例1的推廣

絢麗多姿的各種解法烘熱了學生的大腦，激活了學生的思維，所以當教者準備進入下一個問題的探討時，一個平時數學成績并不突出的學生(生1)站起來說:我由也得到同樣的結果，不知道這是巧合，還是必然?

太妙了!生1能提出這樣的問題，發現了一個比較隱蔽的關系式，一方面表明他的勇氣可嘉，另一方面說明輕松和諧的課堂氣氛激發了他潛在的智慧.雖然打亂了教者預設的教學程序，但教者還是熱情地予以表揚:生1的解法具有一定的創意!請同學們通過自主探究與合作交流，對此作出評價．

生2(很自信地):我認為生1的解法不是巧合，而是必然(眾生笑)，事實上，可有一般性的結論:

結論1 若等差數列{an}的前n項和為Sn，則

教師:誰能證明該結論?(生2給出的證明過程略)

教師:由生1的等式推廣到等式①，足見生2敏銳的洞察力和超人的想象力!(大家把熱烈的掌聲獻給生2，生2特興奮)．有了等式①，下面兩題則迎刃而解．

例2 等差數列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，則前3m項和為

鏈式思考2——等式①的特例與推廣

基于以上研究，生3又得出了例1的一般性結論:

結論2 等差數列{an}的前n項和為Sn，若SP=q，Sq=p(p≠q，p，q∈N*)，

則Sp+q=-(p+q)．

生4:結論2不過是等式①的特例，我把等式①稍加推廣，得到

結論3中的等式左右兩邊對稱，顯得和諧美觀，便于記憶．從等式②推廣到結論3又是一個質的飛躍!等式②的奇妙結構使師生突發奇想，此式與斜率公式類似啊!于是又展開了在更廣闊領域里的討論．

鏈式思考3——拋物線的相關性質

教師:由等式②，同學們能聯想到什么?

生6:如圖1，等式②即 kAB=kCD，則 AB∥CD．而條件 m+n=p+q，即 A，B 兩點與 C，D 兩點的橫坐標之和相等，因此我猜想應有如下結論.

結論4 設拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象上有四點A，B，C，D，若 xA+xB=xC+xD，則AB∥CD．

教師:你能證明你的猜想嗎?

生6:還沒來得及思考(眾生笑)．

教師:誰能證明生6的猜想?(類似于“招標、投標”，極大地激發了學生思維的積極性)

圖1

大家很快發現，結論4的逆命題也成立，故有

結論5 拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象上有四點 A，B，C，D，則 AB∥CD 的充要條件是 xA+xB=xC+xD．

教師:根據結論5，大家又能得到什么?(教師的問題不宜太具體，要給學生留有廣闊的探究空間和充足的回旋余地．三分鐘探究后)

生8:拋物線的平行弦的中點的軌跡是一條與其對稱軸平行的直線．

圖2

則EF與拋物線的對稱軸平行．

生9:生8的結論有漏洞，應這樣表述才完善:

結論6 拋物線平行弦的中點的軌跡是一條與其對稱軸平行或重合的射線(不含端點，如圖3)．

教師:生8具有過人的歸納提升能力!生9的思維特別嚴謹!結論6很重要且很優美!下面請同學們從上面的研究出發，繼續展開思維的翅膀，開展小組合作探究．下節課我們將請各組推選代表上臺展示探究成果．

鏈式思考4——有心圓錐曲線平行弦中點的軌跡探討

生10:我們小組由拋物線的平行弦中點軌跡問題展開橫向思考，得出了橢圓、雙曲線的平行弦中點軌跡方程．

圖3

圖4

圖5 圖6

鏈式思考5——圓錐曲線過定點弦的中點的軌跡探討

生12:我們小組由圓錐曲線平行弦聯想到過定點的弦，也得出了一組結論．

提前說明兩點:(1)若有心圓錐曲線的動弦過定點，且定點是有心圓錐曲線的中心，則易知動弦的中點的軌跡就是該定點．故為了敘述方便，下文中的定點(s，t)都不是有心圓錐曲線的中心．(2)因定點(s，t)所處位置的變化，下文中所求軌跡可能是整個圓錐曲線，也可能是圓錐曲線的一部分，為了行文方便，下文不一一說明．

圖7

圖8

生13(主動要求說):我發現，上面6個(結論6～結論11)可以統一簡述為:

結論12 圓錐曲線平行弦的中點的軌跡是直線或者直線的一部分;圓錐曲線過定點(不是有心圓錐曲線的中心)的弦的中點的軌跡是與其同類的圓錐曲線(或者其一部分)．

教師:從6個結論總結提升出結論12，除了需要相當的抽象概括能力之外，還必須具備非凡的創造力!這已經不是一般的數學課堂，而是真正的數學科研!(同學們自發地為生13鼓起掌來)

生13(很謙虛地):這不是我一個人的功勞，而是我們小組五個成員集體智慧的結晶!

新課標理念下的數學課堂鼓勵學生自主探究、合作交流、動手實踐．在備課時教師理應作出多種教學預設．但要知道，真正的課堂遠比教案生動、豐富、精彩，正如葉瀾教授所說:“課堂應是向未知方向挺進的旅程，隨時都有可能發現意外的通道和美麗的圖景，而不是一切都必須遵循固定線路而沒有激情的旅程．”因此，教案只是教學過程的一個藍本，即使我們課前作出了多種預設，也難以窮盡課堂上可能會出現的各種情況．這顯然對教師駕馭課堂的能力提出了更高的要求．

總之，新課標理念下的數學課堂絕不是照搬教案的機械演出，而是師生共融其中、二者智慧相激相蕩的一段精神歷程．在這樣的課堂里，靈感的火花會不斷綻放，新意迭出的解題方案會大量呈現，學生的激情和創造力會得到最大程度的釋放．師生都能從中享受到生命的溫暖、智力勞動的愉悅和創造的幸福!

1 教育部．普通高中數學課程標準(實驗)．人民教育出版社．2003，7

2 葉瀾．讓課堂煥發出生命活力．教育研究．1997，9

3 黃元華．如何生成讓師生心靈舒展的數學課堂．廣東教育，2011，1

20110507)

圖9