一個重要函數(shù)不等式≤ln(1+x)≤x及其應用

430074 武漢市洪山高級中學 張 順 戴 露

(Ⅰ)當n=2時，求函數(shù)f(x)的極值;

(Ⅱ)當a=1時，證明：對任意的正整數(shù)n，當x≥2時，有 f(x)≤x-1.

解 (Ⅰ)由已知得函數(shù)f(x)的定義域為{x|x＞1}，

(1)當 a＞0 時，由 f'(x)=0，得

當 x∈(1，x1)時，f'(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減;

當 x∈(x1+∞)時，f'(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增.

(2)當a≤0時，f'(x)＜0恒成立，所以f(x)無極值.

當a≤0時，f(x)無極值.

要證f(x)≤x-1

而ln(x-1)=ln(x-2+1)≤x-2

而x≥2可得1-x≤-1

綜上，所以原不等式成立.

解 (1)由Sn-Sn-1=an易得通項公式為an=n.

點評 本題的第二問第三問均是應用不等式的變形得到.

(Ⅰ)用 a表示出 b，c;

(Ⅱ)若 f(x)＞lnx在［1，+∞］上恒成立，求 a的取值范圍;

解 (Ⅰ)可求出b=a-1，c=1-2a.

f(x)＞lnx，故f(x)≥lnx在1，+[)∞上恒不成立.

∴ f(x)≥lnx，

故 f(x)≥lnx，在［1，+∞)上恒成立.

將上述n個不等式依次相加得

整理得