一個(gè)重要函數(shù)不等式≤ln(1+x)≤x及其應(yīng)用

430074 武漢市洪山高級(jí)中學(xué) 張 順 戴 露

(Ⅰ)當(dāng)n=2時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值;

(Ⅱ)當(dāng)a=1時(shí)，證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，當(dāng)x≥2時(shí)，有 f(x)≤x-1.

解 (Ⅰ)由已知得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x＞1}，

(1)當(dāng) a＞0 時(shí)，由 f'(x)=0，得

當(dāng) x∈(1，x1)時(shí)，f'(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減;

當(dāng) x∈(x1+∞)時(shí)，f'(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增.

(2)當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)＜0恒成立，所以f(x)無極值.

當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)無極值.

要證f(x)≤x-1

而ln(x-1)=ln(x-2+1)≤x-2

而x≥2可得1-x≤-1

綜上，所以原不等式成立.

解 (1)由Sn-Sn-1=an易得通項(xiàng)公式為an=n.

點(diǎn)評(píng) 本題的第二問第三問均是應(yīng)用不等式的變形得到.

(Ⅰ)用 a表示出 b，c;

(Ⅱ)若 f(x)＞lnx在［1，+∞］上恒成立，求 a的取值范圍;

解 (Ⅰ)可求出b=a-1，c=1-2a.

f(x)＞lnx，故f(x)≥lnx在1，+[)∞上恒不成立.

∴ f(x)≥lnx，

故 f(x)≥lnx，在［1，+∞)上恒成立.

將上述n個(gè)不等式依次相加得

整理得