還有更好的方法嗎?——一道習題解法的探究教學片段及思考

211900 江蘇省儀征中學 花 奎

近日，我校高三一次練習試卷上有這樣一道題：“已知a，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0，則

在上講評課時，筆者就讓一個此題做錯的學生A(之前已讓學生自己先訂正)講解題方法.

生A解(這里作為解法1)：

可設a，b為直角坐標系中x，y軸正方向上的單位向量，即 a=(1，0)，b=(0，1)，設 c=(x，y)，則

a-c=(1-x，-y)，b-c=(-x，1-y)

∵ (a-c)·(b-c)=0，

∴ (1-x)(-x)+(-y)(1-y)=0，即 x2+y2=x+y.

學生A的解法讓筆者驚喜，說實在的由于批改后，發現此題的正確率很高，也沒有多加研究.筆者本來是準備用后面的解法3解決的，學生A的解法著實讓筆者眼前一亮.于是問：“解得很好!你能回答怎么想到的呢?”(筆者平時上課都喜歡讓學生反思自已的思維過程)

學生A：“我注意到a，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，所以就聯想到x，y軸正方向上的單位向量，從而用坐標法來求解.”

教師：“你能告訴我們又怎么想到進一步使用基本不等式來求解的呢?”

學生A：“嗯，嗯……，我是聽學生B說的……”.(他的回答讓筆者大跌眼鏡，其他同學也哄堂大學.)

教師：實是求是的精神還是值得我們學習的.請學生B回答.

學生 B：“老師，您講過遇到 x2+y2，x+y，xy這樣結構的式子要聯想基本不等式，將等式轉化為不等式就可以了.

筆者非常滿意，給予了及時表揚.但還想讓學生了解筆者的解法，于是又問：“還有什么解法嗎?”

學生C舉手，筆者讓他回答.

生C解(這里作為解法2)：“我用三角換元法.”

學生C的回答也出乎筆者的意料，不免感嘆學生的思維靈活.筆者也同樣讓他反思自己的思維：“筆者想中有兩個變量，就想消元.您說過直接消元有困難時，可以考慮三角換元法”.

又是筆者以前說的思想和方法，不免有點興奮.

于是又問：“剛才兩位同學是用代數的方法解決的，我們是否還可以從形來解決呢?”

由于筆者的提示，指向很明確.不一會，學生D就說了他的解法.

這正是筆者課前準備的方法，正是千呼萬喚始出來.同時，也慶幸沒有直接說來，否則就沒有前兩個學生的精彩了，至此，可以說本題已大功告成(有代數方法又有幾何的方法).準備評講其它的試題……

意想不到的事情發生了，只聽見“咚”的一聲.只見學生E將頭重重地砸在課桌上，又將筆死勁往桌上一摔，說：“煩死了!……”.(其它同學都將目光轉向他，又轉向筆者，開始竊竊私語，教室此時有點亂)

筆者很惱火，學生E太過分了，故意擾亂課堂秩序，很想教訓他一頓.但是忍住了，因為學生E平時性格比較內向，易偏激.同時，新課程理念告誡筆者：“教師是學生親密的伙伴，對學生在學習活動中的表現應給予充分的理解與尊重”.更何況筆者還沒有了解發生了什么事?

教師：你有什么問題嗎?如果有困難，老師和同學們會幫助你的……

學生E：沒事!我只是認為剛才這題目的三種做法有點煩，覺得不太好!總覺得有更好的方法，可是，我搞了半天，也沒弄出來，所以心里煩……(教室里頓時哄堂大笑……)

筆者也是啼笑皆非，但還是說：做不出來不要緊，課后再想想!本想安慰安慰他，就繼續下面的課堂教學.

誰知，又有一個“冒失鬼”學著我平時的腔調：“說說看，你是怎么想的?”

一句話驚醒夢中人.還沒有知道學生E的惑是什么，就準備草草收兵嗎?難道就怕完成不了教學任務了嗎?而忽視生成嗎?筆者從心里感謝這個“冒失鬼”.

于是，順水推舟：“也是呀，你說說你的想法，讓我們共同來想想.”

生E解(這里作為解法4)：

設向量 c與 a，b的夾角分別為 α，β，α∈［0，π］，β∈［0，π］.

∵a，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，

由(a-c)·(b-c)=0 得 a·c+b·c-c2=0，

學生E說到這里，又開始急躁起來：“可是這里有兩個變量，怎么弄也弄不出來……”

是呀!多好的想法呀!新課程要求能關注學生的生活世界和學生的獨特需要，促進學生有特色地發展;為學生的終身學習愿望和能力的形成打下基礎，促進學生的可持續發展.現在學生E多么需要我們和他合作決這一問題啊!

此時，筆者心中充滿矛盾和緊張.繼續解決這個問題吧，心中一點底都沒有，害怕掛黑板，如果解決不了，怎么辦呢?不解決這個問題吧，這節課還有上下去的意義嗎?師者，傳道授業解惑也!

兵法有云：“置死地而后生”，更何況特級教師張乃達曾給筆者講的一句話“做好老師就不要怕掛黑板”，筆者決定豁出去啦!只要對得起學生就行!

憑筆者解題的經驗，這里的變量α，β必然有著某種關系.首先試探著把問題拋給學生：“同學們，學生E提出了一個問題，這里有兩個變量，能不能消去一個變量呢?變量α，β是不是有著某種關系呢?這是一個值得研究的問題，我們一塊來研究，看誰最先研究出來?(這樣做，不僅給了學生充分的思考空間，相信學生會有好的想法;同時，更給了筆者時間余地，走出窘境.)

學生們一聽說老師要他們比賽，立刻來勁了.

筆者一邊思考，一邊看學生們求解演算.當看到一個學生所畫圖形(如圖2)時，突然頓悟，心中已有底，但不露聲色，要讓學生自己發現.

學生F舉手回答：

∵a，b是平面內兩個互相垂直的向量，

教師：太好了，學生 F找到變量α，β的關系，但是他的考慮全面嗎?

學生有的陷入了沉思，有的進行激烈的討論.

過了一會兒，學生G舉手站起來，說出了以下解答：

∵a，b是平面內兩個互相垂直的向量，

這一解法和筆者的想法吻合，筆者引導學生反思這個思維過程……

未等筆者說完，學生H也不舉手就站了起來(此時師生已完全進入共同探討的狀態，忘記要舉手)說：我還有一種解法……

筆者不禁一愣，居然還有解法，也有些激動：“說說看!”

學生H說出了以下解法：

解法5 ∵a，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，∴ a·b=0，由(a-c)·(b-c)=0，得(a+b)·c-c2=0，

筆者不禁拍案叫絕，也引來學生片片喝彩……

反思上述教學片段談談想法：

(1)數學課堂應是一種對話交流

巴西教育家保羅.弗萊雷說：沒有對話，就沒有交流，也就沒有真正的教育.新課程要求教學是平等的、民主的，要構筑起共同探討的學習環境;新課程還指出教師是學生親密的伙伴，對學生在學習活動中的表現應給予充分的理解與尊重.因此，在課堂上，教師要注意傾聽，理順學生的思維過程，解學生學習中疑難問題，注意發現問題，引導學生合作探究.允許學生發散想象，鼓勵學生大膽提出問題和質疑，和學生共同討論.課堂教學應當是一種充滿活力的對話實踐;營造一種活動性、合作性、反思性的學習氛圍.

(2)不要怕“浪費”時間

不少教師在數學課堂上為了提高所謂的“教學效率”，課堂表現是“快節奏，大容量”，害怕浪費時間，一講到底.導致學生學習變得繁重而被動;數學課堂更是緊張、枯燥無聊，低效.而新課程背景下要求教師要培養學生自己找“路”的能力，讓學生做“司機”，而不是“乘客”.教師做一個“指路人”，在學生迷路時，給予指點、點撥.學和行走的過程中，路邊的風景，正是學生找到回路的標志，因此課堂上學生的活動看似耽誤了時間，但對學生來講是需要的，那是找到回路的“標志”，走錯路，記憶才會深刻.讓我們記住關于教育的一句世界名言——告訴我，我會忘記;分析給我聽，我可能記住;如果讓我參與，我會真正理解.

(3)鼓勵學生探究發現

蘇霍姆林斯基說：在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，就是希望感到自己是一個發現者、研究者、探究者.數學課程標準也明確指出：“高中數學課程應力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識.”數學探究是學生學習心理回歸，是數學教學的學術的回歸，它有利于學生深入理解數學知識，把握數學思想方法，提高數學探究的能力.因此，在教學中要鼓勵學生探索發現.