對(duì)一道高考模擬題的思考

638500 四川省鄰水中學(xué) 李真福

在高三教學(xué)中，筆者遇到了這樣一道高考模擬題：

其參考答案為∵f'(x)=a-4x3，

本文特記錄筆者對(duì)該題目及其參考答案的真實(shí)思考過程，以供參考.

1 審題伊始——三個(gè)質(zhì)疑

質(zhì)疑2參考答案的解法，顯然是認(rèn)為在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的值域(由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，它就是切線斜率的取值集合)與f(x)圖象的割線斜率的取值集合一定相等.而實(shí)際上，二者并不一定相等.這是因?yàn)楦罹€與切線是兩個(gè)不同的概念——函數(shù)圖象在某點(diǎn)處的切線，是函數(shù)圖象在過該點(diǎn)的割線的極限位置，所以二者并不一定相等.例如：

設(shè)函數(shù) f(x)=2x3，x∈［-1，1］，

則 f'(x)=6x2，-1＜x＜1，

∴ f'(x)的值域?yàn)椋?，6)，

由f(x)的圖象(圖1)知，其割線斜率不可能取到0，

∴這時(shí)導(dǎo)函數(shù)f'(x)的值域與f(x)圖象的割線斜率的取值集合不相等.

下面給出兩個(gè)正確結(jié)論.

結(jié)論1設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)，且函數(shù)f(x)圖象的割線斜率的取值集合為M，導(dǎo)函數(shù)f'(x)的值域?yàn)镹，則必有M?N.

這是因?yàn)閷?duì)于函數(shù)f(x)圖象的每一條割線，都至少存在一條切線與它平行，所以上述“結(jié)論1”正確.

結(jié)論2設(shè)函數(shù)f(x)是在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)的凸函數(shù)，且函數(shù)f(x)圖象的割線斜率的取值集合為M，導(dǎo)函數(shù)f'(x)的值域?yàn)镹，則必有M=N.

這是因?yàn)橐环矫妫缮鲜觥敖Y(jié)論1”有M?N;而另一方面，由于函數(shù)f(x)還是凸函數(shù)，所以對(duì)于函數(shù)f(x)圖象的每一條切線，又都存在至少一條割線與它平行，從而同時(shí)有N?M.綜合兩個(gè)方面，必有M=N.故上述“結(jié)論2”正確.

②將上述“結(jié)論2”中的“凸函數(shù)f(x)”改為“凹函數(shù)f(x)”，其它條件不變，結(jié)論仍成立.

2 另起爐灶——兩種正解

由于該題目的參考答案并沒有證明該題目滿足M=N，所以參考答案提供的解題思路有待商榷.能否換個(gè)角度進(jìn)行求解呢?經(jīng)過探索，筆者得到了兩種正確解法.

正解1構(gòu)造函數(shù)求解.

∵由①知，②，③兩式須同時(shí)成立，

正解2運(yùn)用不等式的性質(zhì)求解.

3 揭開面紗——兩點(diǎn)反思

反思1對(duì)于在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)，其圖象的割線斜率的取值集合一定是開區(qū)間嗎?

反思2參考答案提供的解題思路一定行不通嗎?

經(jīng)筆者探究，答案也是否定的.請(qǐng)看下面的“正解3”.

∴由上述“結(jié)論2”知，f(x)圖象的割線斜率的取值集合M與導(dǎo)函數(shù)f'(x)的值域N相等.