綜合概括分類指導

[關鍵詞]數學教學；工程問題；類型；概括

[中圖分類號]G623.5 [文獻標識碼]A

[文章編號]1004－0463(2011)02(B)－0071－01

工程問題是小學數學應用題的一種類型，教材中只出示了最簡單的一種題型，目的是起到舉一反三的作用，貌似簡單，然而在實際操作中，該類題卻是題型多變，學生顧此失彼，難以應付，甚至束手無策。工程問題盡管紛繁多變，題型復雜，但概括起來只有四種類型。四種類型問題解答的總體方法為：工作總量÷工作效率和=工作時間。需要學生掌握的要點為：四種類型中，有三種是工作總量在變，注重的是效率和；一種是工作效率在變，注重的是效率差。下面，筆者逐一展開敘述。

類型一：總量不變，就是做完一項工程，由幾個單位同時合作，問多長時間可以完成這項工程。

這種類型的題，一般會給出幾個單位單獨工作的時間，用工作總量除以幾個單位的效率和(效率為時間分之一)，即可求出這幾個單位合作完成此項工程需要的時間。

例如，一項工程，甲單獨做需要10小時，乙單獨做需要15小時，丙單獨做需要20小時，三組合作需要幾小時?

分析：根據類型一的特征可知，所求三組合作完成此項工程所需要的時間為工作總量除以三個小組的效率和。此處，可以把單位“1”看作工作總量，三個小組的效率和為(1/10＋1/15＋1/20)，故而所求時間為：1÷[1/10＋1/15＋1/20]≈4.62小時。

類型二：總量變了，不是完成整個工程，只是完成其中的一部分，幾人合作，問多長時間能夠完成這項工程。

這類題型的關鍵是工作總量為要完成的部分，所求時間依舊為工作總量除以幾個單位的效率和(效率為時間分之一)。

例如，拉運一堆煤的2/3，甲車單獨拉運需要8天，乙車單獨拉運需要12天，兩車同時拉運需要幾天?

分析：根據類型二的特征可知，所求時間為工作總量除以甲乙兩車的效率之和。而工作總量為要完成的部分，即整個工程單位“1”的2/3，甲乙兩車的效率之和為(1/8＋1/12)，故而所求時間為：2/3÷(1/8＋1/12)=3.2小時。

類型三：總量變了，一項工程。先有一部分人去做，剩下的由另一部分人去做，問做完剩下的部分需要多長時間。

這類題型的關鍵是總量為剩下的部分，所以計算時先要找出剩下的部分，即從工作總量里減去做完的部分(已做部分的計算方法是：一人做，用一人的效率×所做時間；幾人做，用幾人的效率和×所做時間)，就是剩下的部分，然后除以其他人所做的效率或者效率和。

例如，一項工作，張三單獨做需要10小時，李四單獨做需要20小時，王五單獨做需要30小時，張三和王五合作2小時后，剩下的由李四做，幾小時完成任務?

分析：根據類型三的特征可知，所求時間為剩余的工作總量除以李四的工作效率。剩余的工作總量為整個工程單位“1”減去張三和王五2個小時做完的部分，即剩余的工作總量為[1－(1/10＋1/20)×2]，故所求的時間為：[1－(1/10＋1/30)×2]÷1/20≈14.7小時。

類型四：總量不變，告訴了效率和以及其中一人或幾人的效率，要求計算另一人的工作時間。

這類題型的關鍵是要計算效率差(一人做，效率和減去一人的效率；幾人做，效率和減去幾人的效率和)，即求出另一個人的效率，故所求時間為工作總量除以效率差。

例如，一項工程兩人合作需要10小時，甲單獨做需要20小時，問乙單獨做需要多少小時?

分析：根據類型四的特征可知，關鍵要求出效率差，即求出乙的效率，甲乙兩人合作的總效率減去甲的效率，即(1/10－1/20)，故所求時間為：1÷(1/10－1/20)＝20小時。

總之，無論“形”怎樣變換，其“神”卻是凝聚在一起的。任何工程問題都逃不出這四種類型的范疇，只要學生在學習的過程中，掌握了工程問題的主旨，了解了題型的變化規律，分清四種類型，對號入座，就可以快捷地解決工程問題。

編輯：謝穎麗