培養四種習慣 提高解題效率

〔關鍵詞〕 數學教學；解題效率；回想；聯想；猜想；

總結；習慣

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 Ａ

〔文章編號〕 1004—0463（2011）02（Ａ）—003４—０２

解題訓練的重要性是人所共知的，數學家波利亞說，中學數學教學的首要任務就在于加強解題訓練（《數學的發現》序言）。那么，作為數學教師，如何引導學生提高解題效率呢？筆者認為，要在夯實基礎的前提下，逐步培養學生慣于回想、善于聯想、敢于猜想、勤于總結的習慣。

引導學生慣于回想

從本質上說，解題的過程就是拓展學生思維、引導學生應用基礎知識和基本方法來分析問題、解決問題的過程。因此，在課堂教學中教師要善于向學生提出問題，然后引導學生去回想學過的基礎知識，包括定義、定理、公式、法則和基本方法等，并從知識體系中把相關的知識提取出來。把提取出來的基礎知識與具體問題之間的關系搞清楚，問題就迎刃而解了。

解題過程中的回想訓練實質上是一種由一般原理到特殊問題的思維訓練，即演繹推理的訓練。回想訓練可使學生頭腦中形成知識體系，這種知識體系的貯藏越豐富，能夠提取出來的內容就越多，解題的思路就越寬，具體的處理方式就越靈活。知識體系內部越井然有序，提取過程就越方便、越順利，效果就越好。學生對提取出來的知識理解得越深，掌握得越好，應用起來就越感到靈活自如、得心應手。反過來講，回想過程又不是一個單純尋求解答思路的消極過程。實際上，從尋求思路到解答習題，自始至終都會在無形中反作用于知識體系，反作用于思維能力，反作用的大小、強弱、效果大多決定于教師的教學思想和對學生的引導方法。因此，教師在講題時不能“就題論題”，而要“以題論法”。從尋求解題思路開始，將題中的知識價值、教育價值一一剖析就會表現為一個積極的反作用過程，就會促使學生的基礎知識進一步系統化，甚至將本來互相孤立的部分也聯系起來。

如，二次三項式的因式分解、一元二次方程、二次函數是初中代數的重要內容，在歷年的中考試題都占有一定的比例，其重要性不僅體現在它們貫穿于初中代數的始終，而且體現在它們對銜接初高中數學以及對學生進一步學好高中數學都有著特殊的作用。在解相關習題時，教師在引導學生把握了它們的基本關系后，找出它們的內在聯系，學生的思路就會開闊，思維就會敏捷，有一定難度的題也會變得易析、易解。

例１：設關于x的函數y=ax2+x+a的圖象與x軸無交點，試求實數a滿足的條件。

分析：若將本例單純看作是一個函數及其圖象的問題，則不僅要對a=0和a≠0 兩種情況作出討論，還要在當 a≠0 時對a<0?駐<0和 a>0?駐<0兩種情況再進行討論，顯覺繁冗。而根據y=ax2+x+a（a≠0）的圖象與x軸無公共點則可推出方程 ax2+x+a=0（a≠0）無實數解，即?駐＜0，這就把二次函數問題和二次方程問題聯系起來了，從而簡化了解題難度。

略解:Ⅰ、當a=0時，y=x的圖象與x軸交于原點，此種情況不合題意；

Ⅱ、當a≠0時，要使二次函數y=ax2+x+a的圖象與x軸無交點，只需二次方程 ax2+x+a=0無實數解，由?駐=1－4a2＜0 解得 a＞■或a﹤-■。

綜合上述，得出a＞■或a﹤-■。

諸如此類的問題，不勝枚舉。總之，引導學生將知識貫通起來不僅能提高解題效率，而且能使學生分析問題與解決問題的能力得到最充分、最有效的鍛煉，從而逐步達到“做一題，會一片；懂一法，長一智”的教學效果。

引導學生善于聯想

對原有知識的提取其實就是一種聯想，但是聯想卻不僅僅局限于單純地提取舊知識。教師引導學生由表及里、由淺入深解題的過程，本質上就是一個引導學生聯想的過程。對問題的條件與結論，包括所涉及的圖形進行認真觀察就是聯想的起點。而由觀察到考察，由考察到覺察，再由覺察到洞察，實質上就是一個由特殊到特殊，也就是類比推理的思維過程。對于中學生，特別是初中生來說，類比是一種他們最易于、樂于接受的思維方法。因而，引導學生進行聯想，把新舊知識進行對照，讓他們帶著數學思想去觀察生活，就成為提高學生解題能力的首要措施。

由觀察、考察到有所覺察，通常只局限于問題與舊知識的部分相同或相似，這僅僅是解決問題的起點。要真正解決問題教師還應把握時代的特征，引導學生聯系社會生活，把已經收集到的信息作為進一步收集信息的基礎，聯想時結合自己的解題經驗，指向解過的習題，利用已知來解決未知，使未知轉化為已知，在不斷鞏固舊經驗的基礎上又積累新經驗，從而促進知識的內化、經驗的升華。

例２：以c為斜邊的直角三角形的直角邊長為a、b，斜邊上的高為hc，求證：c+hc＞a+b。

分析：借助輔助線來證明此題難度相當大，一旦添加輔助線的思路受阻，就難免束手無策。如果引導學生觀察三邊長度和已知條件而聯想勾股定理，問題便得以解決。∵ chc=ab， c2=a2+b2，又∵ hc2＞0，∴ c2+chc2＞a2+b2，∴ c2+2chc+hc2＞a2+2ab+b2，即（c+hc）2＞(a+b)2，∴ c+hc＞a+b。

這種以分析來尋求解題思路的分析綜合法一旦被學生掌握，就會使學生分析問題和解決問題的能力提高一大步。同時，對開發學生智力，促進學生思維能力的發展，也有很大的作用。

引導學生敢于猜想

在遇到難題時，如果按常規法解一時很難突破，這就要求教師要引導學生不再拘泥于邏輯思維的固定程序，不妨跳躍式地首先作出大膽的猜想，然后再設法加以驗證。從覺察到猜想是一次跳躍，是從并不充分的根據作出了可能性的判斷。所得到的結論只是一種可能性，而不是真實性，可能對，也可能錯。教師對學生只能引導、鼓勵和訓練，要使學生明白，即使猜錯了，效果也不等于零。在許多情況下，猜測被認為是錯誤的，但它在誘尋出一個更好的猜測方面依然是有用的。引導學生“發現”規律、“發明”知識去探索、推導，既有利于學生對知識的理解和掌握，也可給學生足夠的探究與創新的空間，更有利于學生思維能力的培養。

例如，現在的教材中沒有“一元二次方程根與系數的關系”這一節內容，但在很多習題中又有相關問題。教師就不必直接給學生講解韋達定理的內容，而應在學生掌握了解一元二次方程的方法后，再引導學生從具體的解的關系來推出一般形式解的關系，由特殊到一般，由感性上升到理性，最后引申出這個定理是代數的奠基人——法國偉大的數學家韋達發現的，亦稱韋達定理。這時，學生的求知欲上升到高峰，并油然產生自豪感和喜悅心情，認為自己也有發現這個定理的水平和能力，從而增強了學生的自信心。

總之，基礎知識也好，數學習題也罷，教師決不能把現成的結論灌輸給學生，而要讓學生獨立思考或小組共同討論，以體現教與學的互動過程，用教師和學生的互動去引導學生的思維活動。

引導學生勤于總結

教師應根據教材的特點、學生的年齡特征和個性特點，以教材為載體創設問題情境，激發學生的解題興趣，循序漸進地發展學生的思維。解題訓練不應片面強調熟能生巧，而應鼓勵學生大膽猜想，引導學生勤于總結，以加強學生對知識間的聯系。養成了總結的習慣，就會吃一塹，長一智，解一題，進一步，讓每道題都充分發揮其作用，讓每次訓練都有切切實實的效果。總結的具體內容能抓住以下幾方面，就足以達到充分消化、吸收的實際效果：1. 習題的特點、所用基礎知識與基本方法有哪些規律？有什么經驗或體會？2. 有幾次思路受阻或誤入歧途？原因何在？有哪些具體教訓？3. 一題有幾種解法？各有哪些特點？哪一種比較好？4. 問題能否推廣？能否引申？能否在形式或內容上加以深化，成為價值更大的習題？初中學生正處于機械記憶向理解記憶轉化、具體思維向抽象思維轉化的時期，大部分學生對這兩個轉化是不適應的，很大程度上還屬于經驗型。教師在教學中引導學生掌握新知識的同時注重總結舊知識，從表面上看浪費了一些時間，而實質上是實現了學習過程的正遷移，達到了舉一反三、觸類旁通的目的。若堅持培養學生的這種習慣，可有效促進學生自覺地運用數學知識解題，開闊學生的數學視野，發展學生的數學思維。

編輯：劉立英