高考數學命題的靈魂

數學思想和方法是數學知識在更高層次上的抽象、概括與提煉，也是高校對新生的基本要求.考試大綱明確指出對數學思想方法的考查是對數學知識在更高層次上的抽象和概括的考查，能夠反映考生對數學思想方法的掌握程度.因限于篇幅，本文只節選了部分考查分類討論思想的2010年數學高考試題.

分類討論，就是當問題所給的對象不能進行統一研究時，就需要對研究對象按某個標準進行分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結論，最后綜合各類結果得到整個問題的解答.

解決分類討論問題的關鍵是找出分類的動機，即為什么分類，分類的對策如何，即怎么分類.一般地，引起分類的原因大致可歸納為以下幾種.

一、參數型討論

某些含有參數的問題，由于參數的取值不同會導致所得結果不同，或者由于對不同的參數值要運用不同的求解或證明方法（如含參數的方程或不等式、直線的點斜式或斜截式方程等），這時就需要進行分類討論.

【例1】 (2010，浙江（理）)已知a是給定的實常數，設函數f(x)=(x-a)2(x+b)ex，b∈R，x=a是f(x)的一個極大值點．

(Ⅰ)求b的取值范圍；

(Ⅱ)設x1，x2，x3是f(x)的3個極值點，問是否存在實數b，可找到x4∈R，使得x1，x2，x3，x4的某種排列xi1，xi2，xi3，xi4(其中｛i1，i2，i3，i4｝=｛1，2，3，4｝)依次成等差數列?若存在，求所有的b及相應的x4；若不存在，說明理由．

解析：本題作為綜合題顧及到知識、能力、思想三個層面，從知識上考查函數極值的概念、導數應用及等差數列等基礎知識；從能力上考查推理論證能力；從思想上考查分類討論思想.

（Ⅰ）f′(x)=ex(x-a)［x2+(3-a-b)x+2b-ab-a］，

令g(x)=x2+(3-a-b)x+2b-ab-a，

則Δ=(3-a-b)2-4(2b-ab-a)=(a+b-1)2+8＞0，

于是可設x1，x2是g(x)=0的兩實根，且x1＜x2.下面對x1，x2的情況分三種討論：

（1）當x1=a時，則x=a不是f(x)的極值點，此時不合題意；

（2）當x2=a時，則x=a不是f(x)的極值點，此時不合題意；

（3）當x1≠a且x2≠a時，由于x=a是f(x)的極大值點，故x1＜a＜x2.

即g(a)＜0，即a2+(3-a+b)a+2b-ab-a＜0，

所以b＜-a，所以b的取值范圍是(-∞，-a).

(Ⅱ)略.

當情況比較復雜需要分層討論時，要確定統一的分類標準，不要越級討論.

二、應用型討論

對依據現實的生活背景和相關素材，提煉相關的數學模型的問題，要根據實際問題具體分析后再進行分類討論，如排列、組合問題，應用問題等.

【例2】 （2010，浙江（理））有4位同學在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”、“握力”、“臺階”五個項目的測試，每位同學上、下午各測試一個項目，且不重復.若上午不測“握力”項目，下午不測“臺階”項目，其余項目上、下午都各測試一人，則不同的安排方式共有種（用數字作答）.

解析:本題考查分類、分步計數原理和排列組合的基礎知識，恰當的分類和分步是解決問題的關鍵，有一定的難度.

因為“握力”和“臺階”是有條件限制的，“臺階”一定在上午，“握力”一定在下午，所以對二者進行分類討論：（1）若“握力”和“臺階”被一個同學測試，則有四種選擇，上午的另三個項目有A33種方法，下午的三個項目只有兩種方法，故應為4×A33×2=48種；（2）若“握力”和“臺階”不被一個同學測試，則有4×3種選擇，上午的另三個項目有A33種方法，下午的三個項目還有三種方法，故應為4×3×A33×3=216種，所以安排方式共有48＋216=264種.

三、位置型討論

與圖形有關的問題，根據已知條件不能唯一確定圖形的形狀或位置時，在解題過程中，要根據可能出現的各種不同情況進行討論.此類問題在立體幾何和解析幾何中較為常見.

【例3】 （2010，遼寧（理）)有四根長都為2的直鐵條，若再選兩根長都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點處相連能夠焊接成一個三棱錐形的鐵架，則a的取值范圍是.

解析:根據條件，四根長為2的直鐵條與兩根長為a的直鐵條要組成三棱錐形的鐵架，有以下兩種情況：（1）地面是邊長為2的正三角形，三條側棱長為2，a，a.(2)構成三棱錐的兩條對角線長為a，其他各邊長為2.分情況討論后可得出答案.

四、概念型討論

由數學的概念引起的分類討論，如絕對值的定義、不等式的定義、二次函數的定義、直線與平面所成的角、直線的傾斜角、向量的共線等，這類問題應以所定義的概念來進行分類討論并且要注意概念所受的限制.此類型出現較多不予再舉.

五、公式型討論

問題中涉及的數學定理、公式和運算性質、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的，如等比數列的前n項和的公式，可分q＝1和q≠1兩種情況討論.

【例4】 (2010，四川（理）)已知數列{an}滿足a1＝0，a2＝2，且對任意m、n∈N*都有

a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2.

（Ⅰ）求a3，a5；

（Ⅱ）設bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，證明：{bn}是等差數列；

（Ⅲ）設cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求數列{cn}的前n項和Sn.

解析:(3)cn＝2nqn－1.求前n項和Sn要對q分q＝1和q≠1兩種情況討論.

解答分類討論問題的基本方法和步驟：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統一、不漏不重、分類互斥（沒有重復）；再對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結果；最后進行歸納小結，綜合得出結論.

參考文獻

高慧明.高考數學的理論與實踐［M］.哈爾濱:哈爾濱工業大學出版社，2009.

（責任編輯 金 鈴）