巧用物理方法測量圓周率π

一、前言

隨著課程改革的深入，研究性學習已經走進了數學課堂，這是一種積極的學習方式.研究性學習是學生學習數學的有效方法，是在基礎性、拓展性課程學習的基礎上，進一步鼓勵學生運用所學知識解決問題的學習活動，是以學生動手動腦主動探索實踐和相互交流為主要學習方式的學習活動.

開展研究性學習的目的是要改變學生以往的單純地接受教師傳授知識為主的學習方式，為學生構建開放的學習環境.

怎樣開展研究性學習？怎樣才能把數學研究性學習落到實處呢？下面以大家都很熟悉圓周率π為案例的進行研究.

大家知道圓周率是一個極其馳名的數，它經常出現在數學公式和物理公式中.回顧歷史，人類對π的認識過程，反映了數學和計算技術發展情形的一個側面.德國數學史家康托說：“歷史上一個國家所算得的圓周率的準確程度，可以作為衡量這個國家當時數學發展水平的指標.”為求得圓周率的值，人類走過了漫長而曲折的道路.我國古代偉大的天文家、數學家祖沖之，對圓周率π的研究作出了巨大的貢獻.十九世紀前，圓周率的計算進展相當緩慢，十九世紀后，計算圓周率的世界紀錄頻頻創新.整個十九世紀，可以說是圓周率的手工計算量最大的世紀.進入二十世紀，隨著計算機的發明，圓周率的計算有了突飛猛進.借助于超級計算機，人們已經得到了圓周率的2061億位精度.

為了了解前人對圓周率π的研究歷程，學習數學家們的科學研究方法.我組織了幾位學生對圓周率π的計算過程進行探究，并且用物理方法測量了圓周率π，下面介紹用物理實驗測量圓周率π的幾種方法.

二、利用“天平”巧稱“π”值

測量原理：等質量法

實驗器材：紙、剪刀、天平、砝碼

測量過程：

圖1

1 如圖1所示：取一張厚薄均勻的紙，先把它一分為二，用其中一半畫一個半徑為R的圓(面積為πR2)，用另一半畫一個邊長為2R的正方形.進而將這一正方形分成4個邊長為R的小正方形(面積均為R2)．然后用剪刀把圓和4個小正方形剪下以備后用.

2 把天平放在水平桌面上，并調節天平平衡.將已剪好的圓和4個正方形分別置于天平兩側的稱盤中.由于它們密度、厚度都相同，所以只要天平兩側紙片面積相同，其質量就相等，天平就會平衡，否則天平將會失衡.現在圓的面積是πR2，4個小正方形的總面積是4R2，觀察此時天平傾斜方向比較可知：4R2＞πR2；再從盤中取出一個小正方形后，再觀察天平傾斜方向比較可知：3R2＜πR2.由此可得：3R2＜πR2＜4R2，因此，3＜π＜4，即π的個位為3.

3 將取出來的面積為R2的小正方形再剪成10個等分的小矩形，每個小矩形的面積為0.1R2，將小矩形逐個加放到已有三個小正方形(面積為3R2)紙片的盤中，放入1片和2片后，比較可知：3.1R2＜πR2＜3.2R2.因此3.1＜π＜3.2，即π的小數的第一位是1.

4 再將面積為0.1R2的小矩形再剪成10個等分的更小矩形，每個小矩形的面積為0.01R2.將小矩形逐個加入放有3.1R2（即3R2＋0.1R2）紙片的稱盤中，比較得知：3.14R2＜πR2＜3.15R2.因此3.14＜π＜3.15，即π的小數的第2位是4.

5 再將面積為0.01R2的矩形逐次按10等分分解下去……可以一步步得到π的小數點的第3位、第4位…….

如此這般便可用天平巧妙地把π這個無理數稱出來了.

下面是我們實驗測量得出的一組數據：

天平種類托盤天平物理天平分析天平

稱量（克）2001000200

感量（毫克）200501

紙類型打印紙打印紙打印紙

R（厘米）101010

π值3.143.1423.141

注意事項：

1.所選取紙的厚薄要盡量一致；

2.裁剪紙片要準確；

3.測量時，拿紙片要用鑷子，以防手上的汗水，增加誤差.

三、利用“千分尺、量筒”巧量“π”值

測量原理：等體積法

實驗器材：鋼珠、千分尺、量筒

測量過程：

1 取大小相同的鋼珠N個，用千分尺測量出鋼珠的平均直徑D.

2 將水注入量筒中（水量控制在放入鋼珠后至少能將鋼珠全部淹沒），根據刻度測出水的體積V1.

3 將小鋼珠全部放入水中，根據刻度測出水和鋼珠的總體積V2.

4 求出N個鋼珠排開水的體積NV＝ΔV＝V2－V1.

5 每個鋼珠的體積為V＝πD3／6，而ΔV＝NπD3／6，所以π＝6ΔV／ND3.通過上面的實驗測量，利用“千分尺、量筒”巧妙地量出圓周率“π”值.

下面是實驗測量得到的一組數據：

量筒的最小分度值鋼球數N平均直徑D毫米排水體積ΔV毫升π＝6ΔVND3

1毫升406.014.63.179

0.2毫升406.014.563.151

0.1毫升406.014.553.144

1毫升199.488.43.114

0.2毫升69.482.683.147

注意事項：

1 用于實驗的鋼珠直徑應盡可能一樣.

2 測量時應減少因方法不當產生的誤差.如應先測鋼珠的直徑，后測體積.

四、利用“秒表”巧計“π”

測量原理：等時間法

實驗器材：單擺、直尺、游標卡尺、秒表

測量過程：

1 用一根不能伸縮的細線和一個小鐵球構成一個單擺.

2 分別用直尺和游標卡尺測出細線的長度l和小球直徑d，算出擺長L＝l－d/2.

3 移動小球，使小球在豎直平面內來回擺動（擺角小于5°），用秒表測出擺動30次所需要的時間t＝30T，算出單擺的周期T＝t/30.

4 根據單擺周期公式T＝2πLg，推導出π＝T2#8226;gL.根據上面的實驗測量，利用“秒表”巧妙地測出圓周率“π”的值.

下面是實驗測量的一組數據：

浙江省麗水市g米/秒平均擺長L米平均周期T秒T2#8226;gL

9.7940.87551.8783.1406

注意事項：

1 選擇材料時應選擇細輕又不易伸長的線，長度一般在1m左右，小球應選用密度較大的金屬球，直徑應較小，最好不超過2cm；

2 單擺懸線的上端不可隨意卷在鐵夾的桿上，應夾緊在鐵夾中，以免擺動時發生擺線下滑，擺長改變的現象；

3 注意擺動時擺角不能過大；

4 擺球擺動時，要使之保持在同一個豎直平面內，不要形成圓錐擺；

5 測量就從球通過平衡位置時開始計時，因為在此位置擺球速度最大，易于分辨小球過此位置的時刻.

用物理方法測量圓周率π的研究性學習，實現了夸學科的研究性學習整合.文中介紹了三種物理方法測量圓周率.這些方法使數學和物理更加緊密地聯系在一起，有效地提高了學生的物理實驗設計能力和數學的計算能力.更重要的是學生通過自主參與這樣的研究性學習活動，獲得親身體驗，逐步形成樂于探究、勤于動手，努力求知的學習態度，激發了他們探究、創新的欲望.

在研究性學習過程中，通過引導和鼓勵學生自主發現和提出問題，設計解決問題的方案，收集和分析資料、調查研究，得出結論并進行成果交流.培養學生發現問題和解決問題的能力.通過研究性學習開展有利于學生人際溝通合作，使學生學會交流和分享研究的信息、成果，培養樂于合作的團隊精神.

參考文獻

［1］傅鐘鵬.十大數學家［M］.南寧：廣西科學技術出版社，1997.

［2］潘有發.初等數學史話［M］.西安：陜西人民教育出版社，1995.

（責任編輯 易志毅）