恒成立問題的求解方法探究

恒成立問題是指題設(shè)中含有恒成立條件的問題，由于此類問題具有“變”中有“不變”的特點(diǎn)，又涉及高中數(shù)學(xué)中的多個(gè)分支，易混淆.因此本文就此類問題的求解給出方法，供參考.

一、構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的相應(yīng)性質(zhì)來解決問題

1.構(gòu)造一次函數(shù)

【例1】 若x∈(-2，2)，不等式kx+3k+1＞0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

解：令f(x)=kx+3k+1，則轉(zhuǎn)化為f（x）＞0

在x∈(-2，2)恒成立.若k=0，則f(x)＞0恒成立；若k≠0，f（x）為一次函數(shù)，利用單調(diào)性，則等價(jià)于f(-2)＞0且f(2)＞0，解得k＞-15.

2.構(gòu)造二次函數(shù)

【例2】 若關(guān)于x、y的二元不等式x2-m(4xy-y2)+4m2y2≥0對一切非負(fù)的x、y恒成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解：設(shè)f(x，y)=x2-m(4xy-y2)+4m2y2，則等價(jià)于當(dāng)m為何值時(shí)，f(x，y)在區(qū)間上的函數(shù)值恒為非負(fù)數(shù)的問題.

當(dāng)y=0時(shí)，f(x，y)=x2≥0，所以m∈R；當(dāng)y≠0時(shí)，令t=xy(t≥0)，構(gòu)造函數(shù)

g(t)=f(x，y)y2=t2-4mt+m+4m2，問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)g(t)在區(qū)間［0，+∞）上函數(shù)值恒為非負(fù)數(shù)的問題，由Δ≤0或

Δ≥0，2m＜0，g(0)≥0，解得m≤14或m≥0.

3.構(gòu)造形如f(x)=ax+bx的函數(shù)

通過換元、變形將原問題轉(zhuǎn)化為形如f(x)=ax+bx的函數(shù)最值問題，通常需要用到如下結(jié)論：

（1）f(x)=ax+bx為奇函數(shù)；

（2）當(dāng)a＞0，b＜0時(shí)，f(x)在（0，+∞）上遞增；

（3）當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，f(x)在（0，ba）上遞減，在ba，+∞上遞增.

【例3】 不等式a＞sinθ+cosθ+2sinθ+cosθ，對于θ∈0，π2恒成立，求a取值范圍.

解：令t=sinθ+cosθ，t∈1，2，則構(gòu)造f(t)=t+2t;又t∈1，2，函數(shù)f(t)為減函數(shù)，所以22=f(2)≤f(t)≤f(1)=3，要使a＞f(t)恒成立，只需a＞f(t)恒成立，只需a＞f(t)=3即可，所以a＞3.

4.構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)

通過構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的大小關(guān)系恒成立問題，再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，借助函數(shù)圖形的位置關(guān)系，通過精確計(jì)算來解決.

【例4】 若不等式t2-logmt＜0在t∈（0，12）上恒有意義，求m的取值范圍.

解：由t2-logmt＜0在t∈（0，12）上恒有意義知，logmt＞t2＞0，所以0＜m＜1，構(gòu)造函數(shù)f(t)=t2，g(t)=logmt，則等價(jià)于當(dāng)t∈（0，12）時(shí)，函數(shù)g(t)=logmt的圖像恒在函數(shù)f(t)=t2的上方.只需滿足g(12)≥f(12)，即logm12≥14，所以m≥116，因此116≤m＜1.

二、分離參數(shù)

若f(x)＞g(a)在x的取值范圍內(nèi)恒成立，則g(a)＜f(x)min;反之，f(x)＜g(a)在x的取值范圍內(nèi)恒成立，則g(a)＞f(x)max.

【例5】 若｜x-3｜-｜x+1｜＜a在R上恒成立，求a的取值范圍.

解：令f(x)=｜x-3｜-｜x+1｜，則f(x)=｜x-3｜-｜x+1｜=

-4(x≥3)；2-2x(-1＜x＜3)4(x≤-1)，；知f(x)max=4，由f(x)＜a在R上恒成立，所以a＞f(x)max，即a∈(4，+∞).

【例6】 設(shè)θ∈0，π2，cos2θ+2msinθ-2m-2＜0恒成立，求m的取值范圍.

解：原不等式可化為2(1-m)(1-sinθ)＜(1-sinθ)2+2.

令x=1-sinθ，則0≤x≤1，且2（1-m）x＜x2+2.

①若x=0，不等式成立；

②若0＜x≤1，則有2（1-m）＜x+x2.記f(x)=x+2x在（0，1）上為減函數(shù)，∴f(x)min=f(1)=3，從而2（1-m）＜x+x2在x∈(0，1)上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)2（1-m）＜f(x)min=3，即m＞-12.

（責(zé)任編輯 金 鈴）