有關方程的實數根的問題解析

函數與方程思想是數學中一個重要思想，也是每年高考特別容易考查到的一種思想方法，那么在高三復習中如何更好地向學生滲透這種思想方法呢？下面是本人在高三復習時針對這個專題的一節復習課，希望借此與大家交流.

【例1】 方程2x2-3x-k=0有實數根，求實數k的取值范圍.

學生1：令Δ=9+8k≥0，得k≥-98.

教師：看到有關方程的實數根的問題，我們馬上就會想到Δ，但是如果稍作改變呢？

【例2】 方程2x2-3x-k=0有2個正的實數根，求實數k的取值范圍.

學生2：只要滿足

Δ≥0，

x1+x2=32＞0，即-98≤k＜0.

x1#8226;x2=-k2＞0，

教師：不錯，實數根的正負可以結合韋達定理來解決，如果再作改變呢？

【例3】 方程2x2-3x-k=0在x∈［-1，1］內有實數根，求實數k的取值范圍.

這時，有些學生受了第2題思路的影響，給出了這樣的求解過程：

Δ≥0，

-2≤x1+x2≤2，-98≤k≤2.

-1≤x1#8226;x2≤1

教師：滿足條件

Δ≥0，

-2≤x1+x2≤2，

-1≤x1#8226;x2≤1

的實根是否一定在［-1，1］內呢？能不能舉例說明一下？

學生3：令x1=54，x2=14，滿足條件

Δ≥0，

-2≤x1+x2≤2，

-1≤x1#8226;x2≤1，

但這樣的兩個實根不在［-1，1］內.

教師：很好，方程在x∈［-1，1］內有實數根

Δ≥0，

-2≤x1+x2≤2，

-1≤x1#8226;x2≤1，

但

Δ≥0，

-2≤x1+x2≤2，

-1≤x1#8226;x2≤1

不能推出兩實根在［-1，1］內，所以前后不等價，想想其他解法.

學生4：數形結合.令f(x)=2x2-3x-k，結合該二次函數的圖像，得

Δ≥0，

f(-1)≥0，-98≤k≤-1.

f(1)≥0

教師：很好，數形結合法是解決方程根的分布問題的通用辦法，如果再改呢？

【例4】 方程2x2-3x-k=0在x∈(-∞，-1］∪［1，+∞）內有實數根，求實數k的取值范圍.

學生5：

Δ＞0，

f(-1)≤0，k≥5.

f(1)≤0

馬上就有學生提出：不用考慮Δ，因為f(-1)≤0，f(1)≤0這兩個條件已經保證了二次函數的圖像與x軸必然是兩個交點.

教師：你說得很有道理.

教師（歸納小結）：以上是二次函數與方程的聯系，通常先引入函數，把方程的實根看作函數的圖像與x軸的交點，體現了數和形的結合.不過對于例3和例4，同學們還能想到其他解法嗎？

學生6：我記得以前老師在復習函數時講過有兩個參變量的問題可以分離參數，這道題目應該也可以分離k與x，比如例3，可以令k=2x2-3x，x∈［-1，1］，二次函數y=2x2-3x在［-1，1］上的值域是

-98，-1，所以k的取值范圍也是-98，-1.

教師：回答得太好了，分離參數法解決該問題更巧妙，這是同學們一定要掌握的一種解題方法.

【例5】 方程x+b=1-x2有且只有一個實數根，求實數b的取值范圍；

學生6：（有點不太確定）兩邊平方后令Δ=0，得b=±2.

學生7：方程的根應該分布在［-1，1］內，所以這個解法不對.

根的分布要分3種情況討論，有點麻煩，我又想到了另一種解法——數形結合.等式的左邊是斜率為1的直線，右邊是半圓，所以該方程有且只有一個實數根的問題就是直線與半圓只有一個交點的問題，通過數形結合，得出b的取值范圍是-1＜b≤1或b=-2.

教師：你說的這種方法是解決該問題的最恰當的解法.

學生8：那能不能分離參數為b=1-x2-x？

教師：可以！但左邊的函數圖像簡單了而右邊的函數圖像就難了，所以兩邊要“扯平”一下，不要過分傾向于某一邊.下面我們來看2009年高考題浙江卷第22題的第（1）題：

【例6】 已知函數f(x)=x3-(k2-k+1)x2+5x-2，g(x)=k2x2+kx+1，其中k∈R．設函數p(x)=f(x)+g(x)．若p(x)在區間(0，3)上不單調，求k的取值范圍.

教師：初看好像跟我們今天講的內容不沾邊，但同學們試著分析一下.

學生9：函數p(x)在區間(0，3)上不單調，意味著方程p′(x)=0在區間(0，3)上有實數根，但不能是重根，否則函數p(x)是單調函數，就不符合題意了.

教師：你分析得非常有道理，下面同學們可以根據學生9的分析來做這道題.

學生10：我是用數形結合法.p(x)=f(x)+g(x)=x3+(k-1)x2+(k+5)x-1=，

p′(x)=3x2+2(k-1)x+(k+5)，因p(x)在區間(0，3)上不單調，所以p′(x)=0在(0，3)上有實數解，且無重根，從而

p′(x)#8226;p′(3)＜0或

p′(0)＞0，

p′(3)＞0，

Δ＞0，

0＜-k-13＜3，

解得

-5＜k＜-267或-267＜k＜-2，

經檢驗k=-267也符合題意，從而k∈(-5，-2).

學生11：老師，我采用的是分離參數的方法.

p(x)=f(x)+g(x)=x3+(k-1)x2+(k+5)x-1，

p′(x)=3x2+2(k-1)x+(k+5)

，因p(x)在區間(0，3)上不單調，所以p′(x)=0在(0，3)上有實數解，且無重根，由p′(x)=0得

k(2x+1)=-(3x2-2x+5)，

∴k=-(3x2-2x+5)2x+1=-34

(2x+1)+92x-1-103，

令t=2x+1，有t∈(1，7)，記

h(t)=t+9t，則h(t)在（1，3］上單調遞減，在［3，7）上單調遞增，所以有h(t)∈［6，10），于是（2x+1）+92x-1∈［6，10），得k∈（-5，-2］，而當k=-2時有p′(x)=0在(0，3)上有兩個相等的實根x=1，故舍去，所以k∈(-5，-2).

教師：以上兩位同學的解題的思想方法，剛好概括了我們今天這節課的主題，有關處理方程的根的問題的一般方法：數形結合或分離參數.

蘇霍姆林斯基說過：學生心靈深處有一種根深蒂固的需要，希望自己是一個發現者、研究者、探索者.因此，對于題目的解法，我不是把我自己的想法灌輸給學生，而是先聽聽他們自己的想法、做法，行的加以肯定，而行不通的則加以糾正、改正，強調學生是學習的主人.

（責任編輯 金 鈴）