他山之石,可以攻玉

在我們平時的學習和競賽中，有不少代數問題如果用代數方法去求解，往往比較復雜，相反，如果借助幾何方法去解答，常可以大大地簡化解題過程.本文將通過“構形示數”的方法解決此類的問題.

一、關于不等式的問題

針對一些可以利用勾股定理的不等式證明題，常常可以“構形示數”，利用“兩點之間直線段最短”去證明.

【例1】 設a，b，c>0，證明：a2+b2+b2+c2+c2+a2≥2(a+b+c).

分析：因為a，b，c>0，該不等式左、右兩邊均可以利用勾股定理構造出相應的弦AF、FG、GH，然后利用“兩點之間直線段最短”來證明.

證明：如圖1所示，△AEH是一等腰直角三角形，由圖有AF=a2+b2，FG=b2+c2，GH=c2+a2.

圖1

又因為兩點之間線段最短，故有AF+FG+GH≥AH(當A、F、G、H共線時，等號成立).

而AH=2(a+b+c)，

故有a2+b2+b2+c2+c2+a2≥2(a+b+c).

圖2

【例2】 設x，y，z＞0，證明：x2+xy+y2+y2+yz+z2+z2+yz+x2≥3(x+y+z).

分析：通過配方不等式左邊可構造出相應的三個弦.如圖2，設AD⊥DE，EF⊥FH，HG⊥GB，

取線段AD=x+y2，DE=32y，EF=y+z2，FH=32z，HG=z+x2，GB=32x.

所以AC=32(x+y+z)，BC=32(x+y+z)，由勾股定理可得AB=3(x+y+z)，

同理有AE=x2+xy+y2，EH=y2+yz+z2，HB=z2+zx+x2.

由兩點之間線段最短得AE+EH+HB≥AB，故原命題成立.

二、關于最值問題

【例3】 求x2+9+x2-10x+29的最小值.

圖3

解：如圖3所示，AB⊥AD，AD⊥CD.

取線段AB=3，CD=2，AD=5，其中設AF=x，則FD=5-x.

x2+9+x2-10x+29的最小值即是BC=52.

【例4】 當x為多少時，y=x2-x-1+2(x+3)2+2(x2-5)2有最小值，并求出最小值.

圖4

分析：如圖4所示，構造一個拋物線函數y=x2及一條直線L：y=x-1，設P是拋物線上一點，點P的坐標為（x，x2)，PQ垂直直線L于點Q，則有｜PQ｜=x-x2-12.

P到M(-3，5)的距離d=｜PM｜=(x+3)2+(x2-5)2.

當P、Q、M三點共線時，y取到最小值，也即MQ垂直于直線L時，

MQ=-3-5-12=92，由此可知ymin=9.

由于MQ直線方程為y=-x+2，聯立y=x2可得x=1或-2．

即當x=1或-2時，y有最小值為9.

類似地，針對一些特殊方程，也可以通過“構形示數”法構造出能表示方程中的代數式的相應圖形，再利用所構造圖形的有關性質去求解.

三、關于解的問題

【例5】 解方程x2+6x+10+x2-6x+10=10.

分析：原方程可變形為(x+3)2+1+(x-3)2+1=10.聯想到解析幾何中橢圓的定義，令y2=1，則有

(x+3)2+y2+(x-3)2+y2=10．這是以F1(-3，0)、F2(3，0)為焦點，長軸長為10，短軸長為8的橢圓方程，即x225+y216=1．所以當y2=1時，得x=±5415，即為方程的解.

進一步地，“構形示數”法在能夠用圖形構造出相應代數式的諸多題目中都可以達到出其不意的效果，如下面的求面積問題.

四、關于恒等式的問題

【例6】 已知a>b，b>0，求以a2+b2，a2+4b2，4a2+b2為三邊長的三角形的面積．

分析：直接用三角形的面積公式求解會陷入復雜的計算，但通過給出的每個式子結構，我們聯想到分別是以a，b為直角邊，a，2b為直角邊，2a，b為直角邊的三個直角三角形的斜邊長，由此使我們聯想到構造如圖5的矩形.

圖5

解：由已知構造如圖5所示的矩形，設三角形ABC面積為S，則

S=2a#8226;2b-12ab-12a#8226;2b-12#8226;2a#8226;b=32ab．

綜上所述，針對這類代數問題，如果采用“構形示數”法來求解，常常可以化繁為簡，從而使得所要求解的問題簡單化.

參考文獻

［1］于波．代數，幾何助你一臂之力［J］.數理天地(初中版)，2002(2)．

［2］任道勤．建立直角坐標系解幾何題［J］．數理天地(初中版)，2009(6)．

［3］王麗波．數形結合在解高考題中的妙用［J］．中學數學(高中版)，2009(6).

（責任編輯 金 鈴）