聚焦雙曲線離心率的求法

雙曲線的離心率是雙曲線性質(zhì)的一個(gè)重要特征量，對(duì)研究雙曲線幾何性質(zhì)有很大的作用.下面結(jié)合高考試題，探討一下離心率的常規(guī)求法.

一、用好漸近線

【例1】 （2009， 全國(guó)（Ⅰ））設(shè)雙曲線ｘ2ａ2－ｙ2ｂ2＝1（ａ＞0，ｂ＜0）的漸近線與拋物線ｙ＝ｘ2＋1相切，則雙曲線離心率為（）.

A.3 B.2

C.5D.6

解：雙曲線漸近線方程為ｙ＝±ｂａｘ，與拋物線方程ｙ＝ｘ2＋1聯(lián)立得

ｘ2±ｂａx＋1＝0，Δ＝（±ｂａ）2－4＝0，即ａｂ＝2.

∴ｅ2－1＝2，ｅ＝5，選C.

點(diǎn)評(píng)：漸近線中出現(xiàn)ｂａ形式，可利用ｂａ＝ｂ2ａ2＝ｃ2－ａ2ａ2＝ｅ2－1來(lái)求解.

二、用好雙曲線定義

【例2】 （2005， 福建）已知F1，F(xiàn)2為雙曲線ｘ2a2-y2b2=1（ａ＞0，ｂ＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，以線段F1，F(xiàn)2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線離心率是（）.

A.4＋2 B.3－1

C.3＋12D.3＋1

解：如圖1，N為MF1中點(diǎn)，

圖1

∵△MF1F2為等邊三角形，

∴NF2＝3ｃ，NF1＝ｃ.

∴NF2－NF1＝3ｃ－ｃ＝2ａ.

∴ｃａ＝3＋1.即ｅ＝3＋1.選D.

點(diǎn)評(píng)：圍繞三角形中邊角關(guān)系，可結(jié)合雙曲線定義求e.

三、用好雙曲線幾何性質(zhì)

【例3】 （2009， 湖南）已知雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中，有一內(nèi)角為60°，則雙曲線C的離心率為 .

圖2

解：如圖2，∵ｃ＞ｂ，∴∠B1F1B2＝60°，∠B1F1O＝30°.

在△B1OF1中，ｂｃ＝ｔａｎ30°，

∴ｂｃ＝33.

c2－ａ2ｃ2＝13，

1－ａ2ｃ2＝13，

ａ2ｃ2＝23，

∴ｅ＝62.

點(diǎn)評(píng)：先由雙曲線幾何性質(zhì)得相應(yīng)角度，再解三角形再求離心率.

(責(zé)任編輯 金 鈴)