如何進行數學命題的教學

中學數學是由概念、公理、定理、公式等組成的嚴密邏輯體系，命題（公理、定理、公式）是概念與概念的聯合。顯然，如果不能切實掌握中學數學的命題，就不能學好中學數學。因此，加強中學數學命題的教學，歷來是中學數學教學中十分重要的任務。中學數學命題教學的基本要求是：使學生深刻理解數學命題的意義，明確其推導過程與適用范圍，并且具備靈活運用數學命題解決問題的能力。

一、數學公理的教學

由于數學借助形式邏輯來建立知識體系，每一個真實命題都是由已知的真命題推導出來的。這樣以此向上追溯，總有一些真命題不能依靠其他數學真命題來推導，這些命題就稱為公理或公設。所謂公理，是指那些普遍性的，任何數學學科都需要的原理；而公設專指幾何中使用的那些原理。公理與公設有時也統稱為公理。

數學這種公理化研究方法，最早起源于古希臘，公元前3世紀歐幾里得的《幾何原本》是其標志。到了公元19世紀，由于非歐幾里得幾何的出現，促進了公理化方法的日趨完善。對于所選的公理系統，要求具備了“三性”。一是無矛盾性：要求從公理系統出發，無論推證到多遠，決不能出現互相矛盾的結論。二是獨立性：要求公理系統中的任何一條公理，都不能借助其他公理用邏輯方法推證出來。三是完備性：要求在公理系統的使用中，不需要再增加任何的新的公理。

在以上“三性”中，以無矛盾性最為基本。然而對中學數學教學而言，考慮到學生的接受能力，教學內容與時間的限制，并不要求如此嚴格，擴大公理的范圍，同時對獨立性與完備性也不作過高要求。例如，平面幾何中線段的中點和角平分線的唯一性，三角形全等的判定定理等都作公提處理，這是根據教學實際情況而安排的。

在教學公理時，應注意從學生的生活經驗出發，引導他們自己抽象出有關公理的內容。同時公理受客觀的檢驗，應引導他們用具體實例加以驗證，并且在證明數學命題或解決實際問題時逐步學會運用公理。

二、數學定理的教學

首先，應明確證明的思想。數學具有邏輯嚴密性的特點，數學中的結論常以邏輯推理作保證，要求言必有據。然而中學生認識不到證明的重要性，更不會進行具體的證明。在教學中，應重視證明思想的培養，進一步掌握證明的書寫格式。只有通過嚴格的訓練，養成證明的習慣，才能為學好數學定理打好基礎。在做好以上工作的同時，在具體的方法上，還應該注意以下幾點：

1.分清定理的條件與結論，掌握定理的內容和表達形式

命題引出后，要引導學生切實分清命題的條件和結論，能將文字敘述改寫成用數學符號表示的式子，依照題意作出圖形。同時要全面準確掌握定理的內容和表達形式，能用文字語言和數學語言分別進行敘述，但不要隨便簡化。例如，將“勾股定理”簡述為“勾三股四弦五”、a2+b2=c2、AB2+AC2=BC2、勾2+股2=弦2都是不妥的。

2.分析定理證明的思路，掌握定理證明的方法

定理的證明方法往往具有示范性、典型性，學會定理的證明方法對提高證明能力關系很大，而作為證明方法，關鍵在于思路。

在初學證明定理時，對推理的每一步都要寫出依據，隨著熟練程度的提高而逐步簡略。通常對初學的一些命題采用綜合法書寫過程，以后隨著命題內容的加深逐步采用分析法，也可以同時采用分析、綜合相結合的方法尋求證明途徑。此外，還要注意引導學生學習并掌握證明定理的常用方法，如反證法、同一法、變更問題法、拼補法、幾何變換法等等。

3.了解定理與其他知識之間的內在聯系，使知識系統化

在教學中，要教會學生將已學習的定理、公式系統化，可按其邏輯關系進行縱向整理，也可以按其應用作橫向整理，以及了解該定理有無逆定理。只有將有關命題組成一個網絡，使知識系統化、條理化，才能進一步掌握定理。

4.加強定理的應用，提高運用定理解決問題的能力

學習定理，歸根結底是為了應用。教學中，要及時介紹定理的應用和應用范圍，精心安排系統，讓學生進一步有目的、有計劃地進行定理應用的練習。在應用中學會分析、綜合，學會將定理進行轉化后應用的能力，解幾何題還要掌握添加輔助線的方法。只有通過適當的反復練習，才能加深對定理的理解，并發展運用了解決實際問題的能力。此外，在學習定理的過程中，還應該了解該定理是性質定理還是判定定理、該定理在理論與實際上的作用，以及當該定理的條件增強或減弱時結論可能發生的變化等等。只有這樣，才能使學生逐步達到深入理解公理、定理、公式，并達到靈活應用的目的。

（作者單位：江蘇省常州技師學院）