翻著問題看“三面”

讓我們從兩道翻折題講起．

例1（2009年高考數學浙江卷（理科）第17題）如圖1所示，長方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E為DC中點，F為線段EC（端點除外）上一動點． 如圖2所示，將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABCF． 在平面ABD內過點D作DK⊥AB，K為垂足． 設AK=t，則t的取值范圍是．

例2（2010年高考數學浙江卷（理科）第20題）如圖3所示，在矩形ABCD中，E，F分別在線段AB，AD上，AE＝EB＝AF＝FD＝4. 沿直線EF將△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF.

（1） 求二面角A′-FD-C的余弦值；

（2） 點M，N分別在線段FD，BC上，若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折，使C與A′重合，求線段FM的長．

根據統計，這兩題的得分率較以往高考中出現的立體幾何題（非翻折問題）均有明顯的下降，同學們對例1及例2的第（2）小題普遍感到無從著手．

對例1的困惑： “求AK的取值范圍”預示著K是一個動點. 當F確定時，將△AFD沿AF折起（見圖2），只有翻折角度恰到好處，才有可能使平面ABD⊥平面ABC，此時，D在平面ABC上的射影就是題目所給的點K． 可見，F定則K定，F動則K動，但K是D“先折起再投下”產生的射影，要得到AK與DF的關系，必須分析翻折過程． 應該從哪里入手呢？

對例2第（2）小題的困惑： 立體幾何中的計算題，一般總是先明確告訴我們幾何體中的一些長度、角度和線面關系，再讓我們去求別的量. 然而，例2第（2）小題提供的信息卻是：在圖3中，“若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折，使C與A′重合，求線段FM的長”． 這樣的條件應該如何利用呢？

解惑： 同學們對兩道題的困惑都是因為不知道從什么角度看翻折問題，不能從翻折過程中理出可用于解題的線面關系． 如果從立體幾何的角度來分析幾乎人人都玩過的折紙游戲，就會發現翻折其……