利用導(dǎo)數(shù)解題失誤談

一、對(duì)導(dǎo)數(shù)以外的因素考慮不周

例1已知ｆ（ｘ）=，判斷函數(shù)y=ｆ（ｘ）的單調(diào)性．

錯(cuò)解： ∵ ｆ′（ｘ）=＝-+=>0，∴ y=ｆ（ｘ）是增函數(shù)．

錯(cuò)因分析： 錯(cuò)解沒(méi)有考慮到函數(shù)ｆ（ｘ）＝的定義域｛ｘ｜ｘ≠-2｝，當(dāng)ｘ＝-2時(shí)，函數(shù)無(wú)意義．

正解： 由錯(cuò)解得 ｆ′（ｘ）=>0，又∵ｆ（ｘ）＝的定義域?yàn)椋?2｝， ∴ 函數(shù)y=ｆ（ｘ）在（-∞，-2）和（-2，+∞）上分別單調(diào)遞增．

例2已知ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ-2ｘ，判斷函數(shù)ｙ＝ｆ（ｘ2+1）的單調(diào)性．

錯(cuò)解： ｆ′（ｘ）=-2＝． 令ｔ＝ｘ2+1，則y=ｆ（ｔ），∵ ｔ≥1，∴ ｆ′（ｔ）=＜0， ∴ ｙ＝ｆ（ｘ2+1）是單調(diào)遞減函數(shù)．

錯(cuò)因分析： 錯(cuò)解為了減小求導(dǎo)中的計(jì)算量進(jìn)行了換元，但對(duì)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)出現(xiàn)了錯(cuò)誤．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則是：y′（ｘ）＝y(tǒng)′（u）#8226;u′（ｘ）． 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與自變量和中間變量都有關(guān)系．

正解： 函數(shù)ｙ＝ｆ（ｘ2+1）的定義域?yàn)閤∈R.令t＝ｘ2+1，則ｆ′（ｘ2+1）=ｆ′（ｔ）#8226;t′（x）=2x#8226;. 由錯(cuò)解可知，ｆ′（ｔ）=＜0， ∴ x>0時(shí)，ｆ′（ｘ2+1）<0；x<0時(shí)，ｆ′（ｘ2+1）>0. ∴ 復(fù)合函數(shù)ｙ＝ｆ（ｘ2+1）在（-∞，0）上遞增，在（0，+∞）上遞減.

評(píng)注： 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)函數(shù)問(wèn)題時(shí)，要明白導(dǎo)數(shù)以外的因素也會(huì)對(duì)函數(shù)性質(zhì)產(chǎn)生影響，比如定義域、換元、區(qū)間端點(diǎn)等對(duì)函數(shù)的單調(diào)性、最值等均有影響．

二、對(duì)有關(guān)條件的充要性把握不準(zhǔn)

例3已知函數(shù)ｆ（ｘ）=ex-mx在［0，+∞）上單調(diào)遞增，求m的取值范圍．

錯(cuò)解： ｆ′（ｘ）=ex-m. 由題意可知，x≥0 時(shí)，ex-m＞0恒成立，即ｍ＜ex恒成立. ∵ ｘ≥0時(shí)，ex≥1，∴ ｍ＜1．

錯(cuò)因分析：由 ｆ′（ｘ）＞0能推出ｆ（ｘ）為增函數(shù)，但由ｆ（ｘ）為增函數(shù)并不能推出ｆ′（ｘ）＞0．比如，函數(shù)ｆ（ｘ）＝ｘ3在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，但ｆ′（ｘ）＝3x2≥0. 可見(jiàn)，ｆ′（ｘ）＞0是ｆ（ｘ）為增函數(shù)的充分但不必要條件，可導(dǎo)函數(shù)ｆ（ｘ）單調(diào)遞增的充要條件是：ｆ′（ｘ）≥0且ｆ（ｘ）不能為常函數(shù)．

正解： ｆ′（ｘ）=ex-m. 由題意可知，ｆ′（ｘ）=ex-m≥0恒成立，求得ｍ≤1，此時(shí)ｆ（ｘ）不為常函數(shù)． ∴ m的取值范圍為ｍ≤1．

例4已知函數(shù)ｆ（ｘ）＝x3-3px在x=p處有極值，求p的值．

錯(cuò)解： ｆ′（ｘ）=3（ｘ2-ｐ）. ∵ 函數(shù)在x=p處有極值， ∴ ｆ′（p）=3（p2-ｐ）=0， ∴ p=0或p=1．

錯(cuò)因分析： 函數(shù)y=ｆ（ｘ）在x=x0處取到極值的充要條件為：① ｆ′（ｘ0）=0，②在x=x0左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)相反． 錯(cuò)解只滿足了條件①，而沒(méi)有考慮條件②的情況．

正解： 由錯(cuò)解得p=0或p=1． 當(dāng)p=0時(shí)，ｆ′（ｘ）=3x2，在x=0的左右兩側(cè)都有 ｆ′（ｘ）>0，∴ ｆ（ｘ）在x=0處并不存在極值，舍……