基于雙指數跳擴散過程的公司債券定價

摘 要 研究基于公司資產價值服從雙指數跳擴散過程，公司負債服從連續擴散過程的公司債券定價問題.首先用計價單位方法給出簡單情況下以零息票債券為基礎的公司債券定價問題的解析解；其次給出一般情況下公司債券定價問題的違約概率，并討論信用價差的期限結構.實證分析表明該模型能較好地擬合實際情況.

關鍵詞 信用價差；債券定價；違約概率；跳擴散過程

中圖分類號 F830.91;O211.63 文獻標識碼 A

Pricing Corporate Bonds Based on a Double Exponential Jump-diffusion Process

LIU Wei-jing， ZHOU Sheng-wu， SHI Guang-ping， NIU Cheng-hu

(College of Science，China University of Mining and Technology， Xuzhou，Jiangshu 221116，China)

Abstract The pricing problem of corporate bonds was studiedwhen the dynamics of the asset value are given by a double exponential jump-diffusion process and the firm’s liabilities follow a stochastic diffusion process. A closed-form solution to a simplified model was obtained by changing of numeraire. For the general model， the default probability of the bonds was obtained， and the term structure of the credit spreads was discussed. Finally， the truth is well fitted by our model using the numerical examples.

Key words credit spreads; bond pricing; default probability; jump-diffusion process

1 引 言

公司債券作為一種可違約風險債券，是承擔公司信用風險的經典金融工具.目前關于公司債券定價主要有兩種基本方法：1) 結構方法，2) 約化方法.結構方法使用公司的結構化變量來確定違約時間.Merton［1］首次提出結構方法，認為在債券到期日，只要公司資不抵債，就發生違約. Longstaff和Schwartz［2］等對Merton模型關于違約事件的定義進行改進，建立首次逸出時間模型.由于以上結構模型均假設資產價值服從連續擴散過程，因此得到的債券信用價差的理論結果比實際市場情況偏小.Zhou［3-4］等將復合泊松過程引入到資產價值過程中，彌補以前結構方法的缺陷，構造出符合現實的各種形狀的價差曲線.與結構方法不同，約化方法將違約看成由公司的外生變量決定.本文研究公司資產價值服從雙指數跳擴散過程的公司債券定價問題，對Zhou所改進的結構方法進行擴展，假設負債服從連續擴散方程，在定價過程中引入公司資產價值與負債的相關風險.本文利用雙指數分布是由于其具有尖峰厚尾的特征，考慮當一個公司的違約概率雖然很小，但其違約的金額卻非常大的情況，這種厚尾現象是正態分布不能刻畫的.因而，利用雙指數分布定價債券具有一定的研究價值.

2 模 型

設WV(t)和WD(t)均為風險中性概率空間(Ω，F，P)上的標準Brown運動，其相關系數為ρ，即＜dWV(t)，dWD(t)＞=ρdt.設Vt表示公司資產價值，Dt為公司負債，它們分別滿足隨機微分方程

dVt/Vt－=(r－λκ)dt+σVdWV(t)+(π－1)dN(t)，(1)

dDt/Dt=rdt+σDdWD(t)，(2)

其中r為無風險利率，σV，σD分別為公司資產價值和負債的波動率，(π－1)為隨機跳幅，κ=E(π－1)，N(t)是一個強度為λ的泊松過程，且P(dN(t)=1)=λdt.假設WV(t)，π，N(t)相互獨立，且WD(t)，π，N(t)也相互獨立.令γ=ln π，設γ服從雙指數分布［5］，即其概率密度為

fγ(y)=p#8226;η1e－η1yI{y≥0}+q#8226;η2eη2yI{y＜0}，

其中η1＞1，η2＞0，p≥0，q≥0，p+q=1，I為示性函數.容易計算資產價值跳躍幅度的均值為

κ=E(π－1)=pη1η1－1+qη2η2+1－1.

3 定 價

3.1 基本假設

現在對金融市場作假設：

(H1)：只有當Xt=Vt/Dt＞1時，公司才能履行債務合約；而當Xt=Vt/Dt≤1時，公司將發生違約.

應用It公式，由式(1)~(2)可得，Xt滿足以下隨機微分方程

dXt/Xt－=(σ2D－ρσVσD－λκ)dt+

σdW(t)+(π－1)dN(t)，(3)

其中σdW(t)=σVdWV(t)－σDdWD(t)，σ=σ2V－2ρσVσD+σ2D.由此可得Yt=ln (Xt/X0)滿足跳擴散過程:

Yt=(σ2D－ρσVσD－λκ－12σ2)t+

σW(t)+∑N(t)i=1γi.(4)

(H2)：若公司在債券到期日T之前發生違約，則債券的持有者在債券到期日T時將得到(1－ω(Xτ))倍的面值.其中τ為資產價值Vt首次達到或小于負債Dt的時間.ω(X)為公司發生違約時，債券持有人的損失率；(1－ω(X))即為債券的回收率.ω(X)為關于X的非增函數，本文假設ω(X)=ω0－ω1X，其中ω0和ω1為非負常數.

(H3)：假定無風險利率r為常數.

經 濟 數 學第 28卷第1期柳衛靜等：基于雙指數跳擴散過程的公司債券定價

3.2 債券只在到期日T時可能發生違約的情形

在這一節考慮一種簡單情況：公司只在債券到期日T時可能發生違約的情況.若在T時XT=VT/DT≥1，則公司不會違約，債券持有人將得到面值1；若在T時XT=VT/DT＜1，則公司發生違約，債券持有人收到面值的(1－ω(XT))倍.由此可知，在風險中性概率測度P下，到期日為T的零息票債券在0時的價值可表示為

B(X，T)=E［e－rTI{XT≥1}+e－rT(1－

ω(XT))I{XT＜1}］=e－rT－e－rTE［ω(XT)I{XT＜1}］

=e－rT－ω0e－rTP(XT＜1)+ω1e－rTE［XTI{XT＜1}］.

從上式可知，要想得到債券價格的解析解，只需分別算出P(XT＜1)和E［XTI{XT＜1}］.Kou［5］利用雙指數的無記憶性和Hhn函數推出概率

P(ZT≥a)=Υ(μ，σ，λ，p，η1，η2;a，T)，

其中ZT=μT+σW(T)+∑N(T)i=1γi，

Υ(μ，σ，λ，p，η1，η2;a，T)=e(ση1)2T/22πTσ∑

n=1(λT)ne－λTn!

∑nk=1(σTη1)KPn，kIk－1

(a－μT;－η1，－1σT，σTη1)+

e(ση2)2T/22πTσ∑

n=1(λT)ne－λTn!∑nk=1(σTη2)KQn，kIk－1(a－

μT;－η2，－1σT，σTη2)+e－λTN(－a－μTσT).

這里

Pn，k=∑n－1i=kCi－kn－k－1C in(η1η1+η2)i－k(η2η1+η2)n－ipiqn－i，

1≤k≤n－1;Qn，k=∑n－1i=kCi－kn－k－1Cin(η1η1+η2)n－i(η2η1+η2)i－kpn－iqi，

1≤k≤n－1;

Pn，n=pn; Qn，n=qn; In(a1;a2，a3，a4)

=∫

a1ea2xHhn(a3x－a4)dx，n≥0.

P(XT＜1)=P(YT＜－ln X0)=1－P(YT≥－ln X0) =1－Υ(σ2D－ρσVσD－λκ－12σ2，σ，

λ，p，η1，η2;－ln X0，T).

現在計算E［XTI{XT＜1}］，由文獻［6］可知，可以將Xt看成虛擬資產，記r=σ2D－ρσVσD，以Xt為計價單位構造一個新的概率測度

ddP=e－rtXtX0=e－rteYt

=exp {(－12σ2－λκ)t+σW(t)+∑N(t)i=1γi}.

由跳過程的Gisanov定理可知，(t)為對應于新測度下的Brown運動，且(t)=W(t)－σt.因而，

Yt=(σ2D－ρσVσD－λκ－12σ2)t+

σW(t)+∑N(t)i=1γi=(σ2D－ρσVσD－λκ+

12σ2)t+σ(t)+∑N(t)i=1γi.

在概率測度下，跳躍強度=λE(π)=λ(1+κ)，對數跳幅的密度函數為

eyE(π)fγ(y)=eyE(π){p#8226;η1e－η1yI{y≥0}+

q#8226;η2eη2yI{y＜0}}=1E(π)p#8226;η1e－(η1－1)yI{y≥0}+

1E(π)q#8226;η2e(η2+1)yI{y＜0}

=1E(π)η1η1－1p#8226;(η1－1)e－(η1－1)yI{y≥0}+

1E(π)η2η2+1q#8226;(η2+1)e(η2+1)yI{y＜0}.

對應于雙指數的密度函數的每一項可知，以上的密度函數為一個新的雙指數函數，其中1=η1－1，2=η2+1，

=1E(π)#8226;η1η1－1p=p1+κ#8226;η1η1－1，

=1E(π)#8226;η2η2+1q=q1+κ#8226;η2η2+1.

因而有

E［XTI{XT＜1}］=X0erTE［XTX0e－rTI{XT＜1}］

=X0erT(XT＜1)=X0erT(YT＜－ln X0)

=X0erT［1－(YT≥－ln X0)］=X0erT［1－Υ(σ2D－

ρσVσD－λκ+12σ2，σ，，，1，2;－ln X0，T)］.

3.3 債券在到期日T時或之前可能發生違約的模型

這節考慮一般情況下的債券定價.由3.1節中的假設可知，公司違約時間為

τ=inf {t|Xt=Vt/Dt≤1，t≥0}.

考慮面值為1的零息票債券，則債券在0時的價格可表示為

B(X，T)=E［e－rTI{τ＞T}+e－rT(1－

ω(Xτ))I{τ≤T}］=e－rT－e－rTE［ω(Xτ)I{τ≤T}］.(5)

3.3.1 違約概率的計算

由違約時間τ可知，債券的違約概率為

P(τ≤t)=P(inf 0≤s≤tXS≤1)

=P(inf 0≤s≤tYS≤－ln X0).

此違約概率即為涉及跳的首次逸出時間分布，而其顯式解一般是不可能得到的，但kou［7］利用雙指數的無記憶性，推出關于雙指數跳的首次逸出時間分布的拉普拉斯變換的顯式解.因此，在本文的模型下，公司債券的違約概率可以得到.下面先求P(τ≤t)的拉普拉斯變換

∫

0e－atP(τ≤t)dt=1a∫

0e－atdP(τ≤t)

=1aE(e－aτ).

根據kou［7］的結論，可以推導出

E(e－aτ)=η2－β3，aη2β4，aβ4，a－β3，ae－ln X0β3，a +

β4，a－η2η2#8226;β3，aβ4，a－β3，ae－ln X0β4，a，

其中a＞0，－β3，a和－β4，a分別是方程

G(x)=x(σ2D－ρσVσD－λκ－12σ2) +

12x2σ2+λ(pη1η1－x+qη2η2+x－1)=a

的兩個負根，而函數G(#8226;)被定義為Yt的矩母函數E［eθYt］=exp{G(θ)t}.在實際應用時，可用Gaver-Stehfest這個反拉普拉斯算法得到上述違約概率的數值解.具體實施方法可參見kou［7，8］和Hu and Ye［9］.

3.3.2 數值分析

由于式(5)中涉及跳的停時分布，所以不能得到其解析解.但可以用MonteCarlo方法模擬出債券和信用價差的數值解.在用MonteCarlo方法進行數值模擬時將時間區間劃分100段，總共模擬10 000次.各基本參數取值為

η1=50，η2=33，p=0.4，λ=0.05，ω0=1.4，

ω1=1，σ2V=0.04，σ2D=0.16，ρ=0.5，X0=2.

下面的數值模擬分析資產價值波動率、負債波動率、資產價值與負債的相關度以及不同的X0對信用價差的影響.方法是：保持其他參數不數不變，改變某一變量，得到信用價差關于到期日T的圖像.從圖1~圖4可觀察到，信用價差呈現出一定的期限結構，其曲線主要呈駝峰型的突狀.結論與市場數據的結果相符合.

圖1 不同資產價值波動率σ2V下的價差

圖2 不同負債波動率σ2D下的價差

圖3 不同相關度ρ下的價差

圖1表明資產價值波動率越大，則價差越大，債券價格越小.波動率越大意味公司運營情況不穩定，債券的風險越大，所以價差越大.這也是圖2顯示負債波動率與價差呈正相關的原因.圖3顯示資產價值與負債的相關系數ρ越大，則價差越小.隨著相關度的增加，資產值與負債走向趨于一致，因而價差變小.圖4表明資產價值與負債的比率X0越大，則價差越小.X0變大，表明公司資產值大于公司負債，公司違約的可能性變小，因而X0越大，則價差越小.

圖4 不同資產價值與負債比率X0下的價差

4 結 論

對簡單情況下的公司債券定價問題，用計價單位方法給出解析解，在此基礎上進一步討論一般情況下的債券定價問題.違約概率和信用價差是債券的兩個最重要的定價標準，在本文改進的模型下，這兩者都得到解決.實證分析表明此模型所得到的價差曲線走向與實際情況相吻合， 且負債波動率、資產價值與負債的相關系數等對債券的價值有顯著影響.本文的模型可進一步推廣到以債券為標底資產的各種衍生產品的定價研究中.

參考文獻

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