漂移項和擴散項具有時滯的股票期權定價

摘 要 股票價格在漂移項和擴散項具有時滯，且股票在期權有效期內支付連續紅利時，利用鞅表示定理和Girsanov定理得到了期權價格的閉式解.研究表明，股票價格在漂移項和擴散項具有時滯時，股票支付紅利時對期權價格有一個調整.

關鍵詞 股票，期權，時滯，紅利，鞅表示定理，Girsanov定理

中圖分類號 F830.91；O211.9 文獻標識碼 A

Stock Option Pricing of Drift and Diffusion Terms for with Time Delay

LI Yaqiong1，HUANG Lihong1，2

(1．College of Mathematics and Econometrics，Hunan University，Changsha， Hunan 410082，China;

2.Hunan Women’s University，Changsha， Hunan 410000， China)

Abstract Useing martingale representation theorem and Girsanov theorem， an option pricing formula was derived for stockpayment of continuous dividends withtimedelay in the diffusion term and drift term. Research shows that stock option price can adjust to stockpayment of continuous dividends withtimedelay in the diffusion term and drift term.

Key words stock;option;delay;dividends;martingale representation theorem;Girsanov theorem

1 引 言

大量實證研究顯示波動率與一種不可預測的方式依賴于時間，這也是使用BlackScholes公式不能精確預測期權價格的原因之一［1-3］，對于這樣的問題可以建立動態模型來考慮過去的事件對現在和將來的影響.Kazmerchuk， Swishchuk和Wu 考慮了股票價格在擴散項具有時滯的期權定價［4］，Arriojas、Hu、Mohhaammed等 (2007)研究了股票價格在漂移項和擴散項具有時滯的期權定價［5］，他們都獲得了具有時滯的期權定價公式，但是他們僅對不支付紅利的股票期權定價問題進行了研究.BlackSeholes模型假設股票不支付紅利，這顯然是不符合實際的，早期在場內，場外交易的股票期權對紅利的支付具有保護措施，通過對期權執行價格的調整來消除支付紅利對期權價值的影響.但目前在場內，場外交易的股票期權的合約條款都不隨現金紅利的支付而作相應的調整，從而使得期權有效期內支付成為影響期權.價值的重要因素，Merton(1973)在考慮支付紅利對期權價值的影響BlackSeholes公式作了推廣［6］ .此后，在BlackSeholes模型的假設下，關于支付連續紅利的各種期權定價問題的解決大多處理為在不考慮紅利情形的結果中將股票價格直接按照紅利率及時間進行折現.由于股票價格在漂移項和擴散項具有時滯，因此當在期權的有效期內股票支付紅利時的期權定價問題不容易直接得到，本文在Arriojas、Hu、Mohhaammed等學者討論的具有時滯的股票期權定價的研究框架下，進一步擴展研究股票支付紅利的期權定價問題.

2 漂移項和擴散項具有時滯的股票價格

設股票在時刻t的價格S(t)由隨機泛函微分方程給出［5］：

dS(t)S(t)=μS(t－a)dt+g(S(t－b))dW(t)，

t∈［0，T］，S(t)=φ(t)， t∈［－L，0］.（1）

在概率空間(Ω，F，P)相應的濾波滿足通常的條件，μ，a，b是正常數，

S(t)=φ(0)exp {∫t0φ(u－a)du+

∫t0g(φ(u－b))dW(u)－12∫t0g(φ(u－b))2du}，t∈［0，l］.

引理1［7］(鞅表示定理)設W(t)，t∈［0，T］是在概率空間(Ω，F，P)上的一個布朗過程， M(t)是關于過濾Ft，0≤t≤T是鞅，則存在一個可適的過程Γu，0≤u≤T，使得

M(t)=M(0)+∫t0ΓudW(t)，0≤t≤T.

引理2 (Girsanov定理)［7］ 設W(t)，t∈［0，T］，是在概率空間(Ω，F，P)上的一個標準的布朗過程， 令∑是一個可預測的過程且使得

∫T0|Σ(u)|2du＜

SymboleB@ ，a.s.，和令

ρt=exp {∫t0Σ(u)dW(u)－

12∫T0Σ(u)2du}，t∈［0，T］.

假如EP(ρt)=1，其中EP記為關于概率測度P的期望.定義概率測度Q在概率空間(Ω，F)上使得dQ=ρtdP，則過程

(t)=W(t)－∫t0Σ(u)du，t∈［0，T］

是一個標準的布朗過程.

3 支付連續紅利的期權價格

設股票價格滿足方程(1)及其條件，無風險利率為r，期權到期日為T，執行價格為K，風險資產以連續的方式支付，紅利率為q，所有獲得的紅利用于購買標的資產（自融資假設）.令

(t)=S(t)eqtert=e－(r－q)tS(t)，t∈［0，T］.(2)

它是支付紅利的折現的股票價格過程，利用Ito^公式有

d(t)=e－(r－q)tdS(t)+S(t)(q－r)e－(r－q)tdt

=(t)［(μS(t－a)－r+q)dt+g(S(t－

b))dW(t)］.（3）

令

(t)=∫t0(μS(u－a)－r+q)dt+

∫t0g(S(u－b))dW(u)，t∈［0，T］.

則有

d(t)=(t)d(t)，0＜t＜T. （4）

若有(t)=φ(0)，則有

(t)=φ(0)+∫t0(u)d(t)，t∈［0，T］.（5）

經 濟 數 學第 28卷第1期李亞瓊等：漂移項和擴散項具有時滯的股票期權定價

利用Girsanov定理能夠證明定理：

定理1 設股票價格S是由隨機泛函微分方程 (1)給出，其中φ(0)＞0，g(v)≠0當v≠0時.令T是期權的到期日，r是無風險利率，紅利率為q，所有獲得的紅利用于購買標的資產.支付函數是Y，且Y是FST可測的非負可積的隨機變量.則在任何時間t∈［0，T］，期權的價格為

V(t)=e－r(T－t)EQ(Y|FST)， （6）

其中Q記為在(Ω，F)上的概率測度，且滿足dQ=ρtdP，

ρt=exp {－∫t0［μS(u－a)－r+q］g(S(u－b))dW(u)－

12∫t0μS(u－a)－r+qg(S(u－b))2du}，

對于t∈［0，T］，測度Q是鞅測度并且市場是完全的.而且存在一個可適且平方可積過程h0(u)，u∈［0，t］使得

EQ(e－(r－q)TX|FST)=EQ(e－(r－q)TX)+

∫t0h0(u)d(u)，t∈［0，T］，

其中是一個標準的Q-布朗過程且

(t)=W(t)+∫t0［μS(u－a)－r+q］g(S(u－b))du，

t∈［0，T］，

對沖策略為

πS(t)=h0(t)(t)g(S(u－b))，

πB(t)=M(t)－πS(t)(t)， t∈［0，T］.

證明 在Girsanov定理中取

Σ(u)=［μS(u－a)－r+q］g(S(u－b))，u∈［0，T］，

EP(ρt)=1，證明見文獻［5］.因此由Girsanov定理知

(t)=W(t)+∫t0［μS(u－a)－r+q］g(S(u－b))du，

t∈［0，T］.(7)

由dQ=ρtdP定義的測度Q，在測度Q下是一個標準的布朗過程，其中

ρt=exp {－∫t0［μS(u－a)－r+q］g(S(u－b))dW(u)－

12∫t0μS(u－a)－r+qg(S(u－b))2du} a.s.

因此過程(t)可表示為下面的形式：

(t)=∫t0g(S(u－b))d(u)，t∈［0，T］，(8)

即存在測度Q下(t)，t∈［0，T］，是鞅.另外，由式(2)可知連續紅利支付的折現價格過程(t)，t∈［0，T］，也是一個Q鞅.由定義知Q是等價鞅測度，因此由無風險資產和一個風險資產組成的投資組合是無套利的.

另一方面，利用式(3)或(4)在等價鞅測度Q下有

d(t)=(t)d(t)， t∈［0，T］，

設Y是未定權益在Q下有

M(t)EQ(e－(r－q)TY|FSt)

=EQ(e－(r－q)TY|Ft)， t∈［0，T］.

利用引理1，存在Ft可預測的過程h0(t)，t∈［0，T］，使得

∫T0h0(u)2du＜

M(t)=EQ(e－rTY)+∫t0h0(u)d(u)，t∈［0，T］.

或者有

dM(t)=h0(t)d(t)，t∈［0，T］.

由式(3)和式(8)得

d(t)=(t)g(S(t－b))d(t)，t∈［0，T］.

考慮動態投資策略{(πB(t)，πS(t))，t∈［0，T］}，其表示在時刻t持有πS(t)單位股票以及πB(t)單位無風險資產，這個套利組合在任意時間t∈［0，T］均成立：

V(t)πB(t)ert+πS(t)S(t)eqt=ertM(t)，

t∈［0，T］，

其中V(t)是這個投資組合的價值.下面計算投資組合{(πB(t)，πS(t))，t∈［0，T］}.

注意到

V(t)e－qt=πB(t)e(r－q)t+πS(t)S(t)

=e(r－q)tM(t)，t∈［0，T］.

dV(t)e－qt=πB(t)de(r－q)t+πS(t)dS(t)

=e(r－q)tdM(t)+M(t)de(r－q)t，

t∈［0，T］.

利用式(1)有

πB(t)(r－q)e(r－q)tdt+πS(t)［μS(t－a)S(t)dt+

g(S(t－b))S(t)dW(t)］

=e(r－q)th0(t)d(t)+M(t)(r－q)e(r－q)tdt，

t∈［0，T］. （9）

再由式(7)有

g(S(u－b))d(t)

=g(S(u－b))dW(t)+

［μS(u－a)－r+q］dt，t∈［0，T］.

將其代入式(9)有

πB(t)(r－q)dt+πS(t)e－(r－q)t［(r－q)S(t)dt+

g(S(t－b))S(t)d(t)］=h0(t)d(t)+

M(t)(r－q)dt，t∈［0，T］.

因此有

πS(t)=h0(t)(t)g(S(u－b)).

πB(t)=M(t)－πS(t)(t)，t∈［0，T］.

即證明了{(πB(t)，πS(t))，t∈［0，T］}是可復制的自融資策略，而且V(T)=erTM(T)=Y，a.s..注意到滿足無套利性質，由一價定理未定權益Y必須滿足

V(t)=e－r(T－t)EQ(Y|FST)，t∈［0，T］.

證畢.

下面考慮一種特殊的情形.

定理2 設股票價格S滿足定理1的條件，令C(t)是股票價格為S、支付紅利率為q、執行價格為K、到期日為T的歐式看漲期權的價格，則對所有的t∈［T－l，T］，有

C(t)=S(t)e－q(T－t)Φ(d1)－Ke－r(T－t)Φ(d2)，（10）

其中

d1=log S(t)K+∫Tt(r－q+12g(S(u－b))2)du∫Ttg(S(u－b))2du，

d2=log S(t)K+∫Tt(r－q－12g(S(u－b))2)du∫Ttg(S(u－b))2du， （11）

對沖策略為

πS(t)=e－q(T－t)Φ(d1).，

πB(t)=－Ke－r(T－t)Φ(d2)，t∈［T－l，T］.（12）

證明由文獻［5］知，當t∈［T－l，T］，定理1中期權定價問題與經典的Blackscholes定價問題是一致的，不同的是波動率

σ=∫Ttg(S(u－b))2du.

因此，利用Blackscholes公式可得到股票支付紅利率為q，執行價格為K、到期日為T的歐式看漲期權的價格C(t)，對所有的t∈［T－l，T］，有

C(t)=S(t)e－q(T－t)Φ(d1)－Ke－r(T－t)Φ(d2). (13)

從式(13)容易得到其對沖策略為

πS(t)=e－q(T－t)Φ(d1)，

πB(t)=－Ke－r(T－t)Φ(d2)，t∈［T－l，T］.

證畢.

同理，有相應的看跌期權的結論：

定理3 設股票價格S(t)滿足定理1的條件，令P(t)是股票價格為S、支付紅利率為q、執行價格為K、到期日為T的歐式看跌期權的價格， 則對所有的t∈［T－l，T］，有

P(t)=Ke－r(T－t)Φ(－d2)－S(t)e－q(T－t)Φ(－d1)， （14）

其中d1，d2見式（11），且對沖策略為

πS(t)=－S(t)e－q(T－t)Φ(－d1)，

πB(t)=Ke－r(T－t)Φ(－d2)，t∈［T－l，T］. （15）

4 結 論

本文討論了股票價格在擴散項和漂移項均具有時滯且支付連續紅利的期權定價，利用隨機泛函微分方程理論和等價鞅測度理論等方法，得到該問題的閉式解.研究發現，股票價格在擴散項和漂移項具有時滯且支付連續紅利時，不僅會影響期權的價格，而且也會影響其對沖策略.本文中研究的特殊情形，即μS(t－a)=μ(t)，g(S(t－b))=σ(t)，恰好是經典的BlackScholes模型.

參考文獻

［1］ B Lauterbach，P Schultz. Pricing warrants: an empirical study of the BlackScholes model and its alternatives［J］. Journal of Finance， 1990，45: 1118-1209.

［2］ I Elsanousii，B ksendal，ASulem. Some solvable stochastic control problems with delay［J］. Stochastic StochasticsRep， 2000， 71(1/2):69-89.

［3］ D Hobson，L C GRogers. Complete markets with stochastic volatility. Math. Finance［J］， 1998， 8: 27-48.

［4］ Y Kazmerchuk，ASwishchuk，JWu. The pricing of option for securities markets with delayed response［J］. Mathematics and Computers Simulation， 2007，75:69-79.

［5］ M Arriojas，Y Hu，S E Mohhaammed， et al. A delayed black and scholes formula［J］. Stochastic Analysis and Applications， 2007， 25:471-492.

［6］ R C Merton. Theory of rational option pricing［J］. The Bell Journal of Economics and Management Science 1973， (4):141-183.

［7］ K Y Kwok. Mathematical Models of Financial Derivatives［R］. Singapore: SpringerVerlag， 1998， 35-180.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文