開關式Hurst指數分形 Black-Scholes市場中的歐式期權定價

摘 要 考慮標的資產價值服從幾何分形布朗運動， 但其Hurst指數以Poisson過程的方式在狀態(H1 ＜ a) 和狀態(H2 ＞ a) 之間隨機的轉換的開關式Hurst指數分形Black-scholes市場模型中的歐式期權定價問題. 得到在此模型下歐式看漲期權定價公式; 并對定價公式進行簡單地定性分析.

關鍵詞 歐式期權; 開關模式; 分形 Black-Scholes市場; 分數布朗運動; Wick積， 分形It 公式

中圖分類號 O211.6;F830. 9 文獻標識碼 A

European Option Pricing in a Fractional Regime-Switching Model

SHI Ya-feng1， 2， TAO Xiang-xing2， ZHANG Song-yan3

(1. School of Science， Ningbo University， Ningbo，Zhejiang 315211， China;

2. School of Science， Zhejiang University of Science Technology， Hangzhou，Zhejiang 310023， China

3. School of Economics Management， Zhejiang University of Science Technology， Hangzhou，Zhejiang 310023， China)

Abstract The European option pricing problem was investigated under the model that the underlying asset price change follows Geometric Fractional Brownian Motion but its Hurst index switches between H1 and H2 (H1 ＜ a ＜ H2) with Poison process. The formula of European call option pricing under this model and a simple analysis for the results were given.

Key words European option;regime-switching;fractional Black-scholes market ;fractional Brownian motion ; Wick product;fractional It formula

1 引 言

自從20世紀70年代初 Black-Scholes 期權定價公式［1］ 被提出后， 這一公式被廣泛地應用于金融市場的定價分析. 但這一傳統定價公式是建立在許多理想假設之上的. 為了克服這些不足許多學者對 Blach-scholes 公式進行了修正［2-7］. 這些修正都在有效市場假設之上的. 近年來， 對股票市場的大量實證研究結果表明， 股票市場價格變化并不符合正態分布. 而是呈現一種“尖峰肥尾”的分布; 同時股價之間也不是隨機游走的， 而是存在長期相關， 自相似等特征. 根據這一現象有學者提出了分形市場假設 ［8-14］.

鑒于實證表明在“牛市”向“熊市”轉變或“熊市”向“牛市”轉變的那個時間段 Hurst 指數會比較小. 這也是情理之中的， 因為Hurst 指數度測著市場的記憶性. Hurst指數越大， 市場的記憶性就越強. 居于這一事實和受DiMasi， Kabanov 和Runggaldiar［11］ 所提出的開關式波動率的啟發. 本文在分形 Black-scholes 市場中假定其Hurst 指數H在兩種狀態(H1＜a＜H2)之間以Poisson過程隨機的轉換， 并在此假設下研究歐式期權的定價問題， 其中(12＜a＜1)根據不同市場而定， 如上交所取a=0.55 較為合適.

2 基本模型假設

2.1 基本記號

1) αt是取值為1，-1的隨機過程. 表示Hurst指數所處的狀態， αt不同的取值表示不同的狀態， 其關系見式(1)

2) V(St，t，αt) 是到期日為T， 敲定價格為K 的看漲期權的價值.

2.2 基本假設

αt是一個跳過程dαt=－2αtdqt，其中

dqt=1，ω1(αt);0，ω2(αt).

ω1(αt)，ω2(αt)分別表示在狀態αt上“跳” 和“不跳”事件.

并設在［t， t+dt］時間段\"跳\" 與\"不跳\" 發生的概率為

Prob(ω1) = λ(αt)，Prob(ω2) = 1-λ(αt).

并設

H(αt)=H1，αt=－1;H2，αt=1，

其中 0＜H1＜a＜H2＜1，(1)

λ(αt)=λ1，αt=－1；λ2，αt=1.

V(St，t，αt)=V1(St，t)，αt=－1；V2(St，t)αt=1.(2)

接下來介紹本文要考慮的開關式Hurst 指數分形Black-scholes市場，即

假設1 市場有兩種可投資資產， 一種為無風險資產M(t)， 滿足dM(t) = rM(t)dt， 其中r 為常數表示無風險利率. 另一種為風險資產(即股票) ， 其價值S(t) 滿足方程

dS(t)=S(t)(μdt+σdWH(αt)(t)).(3)

其中μ，σ≠0為常數，WH(αt)(t)為Hurst指數為H(αt)的分數布朗運動， 為Wick積， 其定義請參閱文獻［8］.

注 本文中所用的積分∫f(x)dWH(t)為Wick It Skorohod積分， 其具體的定義和性質和對標的資產價值的更多描述請參閱文獻［8］ 和［12］ ， 在文獻［8］ 中作者證明了此類市場無強套利且完備.

假設2 分形Black-scholes市場假設就是指市場有兩種可投資資產， 一種為無風險資產M(t)， 滿足

dM(t) = rM(t)dt，

其中r為常數表示無風險利率. 另一種為風險資產(即股票) ， 其價值S(t)滿足方程

dS(t)=S(t)(μdt+σdWH(t))， (4)

其中，μ，σ≠0為常數，WH(t)為Hurst指數為H的分數布朗運動，為Wick積.

3 準備知識

引理1 如果X(t)滿足方程dX(t)=X(t)#8226;(μdt+σdWH(t))，f∈C21(R×R+)，12＜H＜1，則

df(X(t)，t)=(ft+Hσ2t2H－1X2(t)2fX2+

μX(t)fX)dt+σX(t)fX#8226;dWH(t).

證明請參閱文獻［9］引理1.6和定理4.3的證明.

引理2 在分形Black-scholes市場中， 12＜H＜1， 基于風險資產S(t)， 到期日為T， 敲定價格為K的歐式看漲期權在時刻［9］

t∈［0，T］的價格為:

CH(S(t)，t)=S(t)N(d1)－Ke－r(T－t)N(d2)，(5)

其中

d1=ln S(t)K+r(T－t)+σ22(T2H－t2H)σT2H－t2H，

d2=d1－σT2H－t2H，

引理3 在引理2的假設下， 期權價格CH(S(t)，t)滿足PDE［9］:

Ct+Hσ2t2H－1S22CS2+rSCS－rC=0，C(S，T)=(S(T)－K)+.(6)

由于在下面的定理中要用到式(6)的解， 所以下面引理給出方程的基本解.

引理4 方程

Ct+Hσ2t2H－1S22CS2+rSCS－(λ+r)C=0 (7)

的基本解G(S，t;ξ，T)=e－(λ+r)(T－t)ξ2π(T2H－t2H).

exp {－［ln Sξ+r(T－t)+σ22(T2H－t2H)］22σ2(T2H－t2H)}.

證明 要求方程(7)的基本解，即求下列方程的定解問題.

ut+Hσ2t2H－1S22uS2+rSuS－(λ+r)u=0，u(S，T)=δ(S－ξ).

令 x=lnSξ，并設u=e(λ+r)tW， 上式可轉換為

Wt+Hσ2t2H－12Wx2+(r－Hσ2t2H－1)Wx=0W(x，T)=e－(λ+r)Tξδ(x). (8)

最后用Fourier變換的方法求解(8)， 可得基本解. 證畢.

4 主要結論

定理1 在假設1下， H1≥12時， 到期日為T， 敲定價格為K的歐式看漲期在t∈［0，T］時刻的價格

Vi(S，t)=Vi，0(S，t)+ui(S，t).

其中Vi，0(S，t)=e－λi(T－t)CHi(S，t)， CHi(S，t)見(2.1)， (9)

ui(S，t)=i(S，t)+∑

n=1(λ1λ2)n∫Ttdζ#8226;

∫

0K(n)i(S，t;θ，ζ)i(θ，ζ)dθ(i=1，2).

1(S，t)=f1(S，t)－

λ1∫Ttdτ∫

0G1(S，t;ξ，τ)f2(ξ，τ)dξ#8226;

2(S，t)=f2(S，t)－

λ2∫Ttdτ∫

0G2(S，t;ξ，τ)f1(ξ，τ)dξ. (10)

f1(S，t)=－λ1∫Ttdτ∫

0G1(S，t;ξ，τ)V2，0(ξ，τ)dξ，

f2(S，t)=－λ2∫Ttdτ∫

0G2(S，t;ξ，τ)V1，0(ξ，τ)dξ. (11)

K(n)i(S，t;θ，ζ)

=∫ζtdτ∫∞0Ki(S，t;ξ，τ)K(n-1)i(ξ，τ;θ，ζ)dξ(n＞1)，

K1(S，t;θ，ζ)=∫ζtdτ∫∞0G1(S，t;ξ，τ)G2(ξ，τ;θ，ζ)dξ，

K2(S，t;θ，ζ)=∫ζtdτ∫∞0G1(S，t;ξ，τ)G2(ξ，τ;θ，ζ)dξ，

K(1)i=Ki(i=1，2).(12)

證明 先考慮H1＞12時的情況.

構造投資組合 ∏(t)=Vt－ΔtS(t).(13)

尋找Δt使得在［t，t+dt］時間段內

Eα(d∏(t))=r∏(t)dt. (14)

在［t，t+dt］時間段內，若沒有發生“跳”，則由引理1可得

d∏1(t)=dV－ΔtdS(t)=

(Vt+H(αt)σ2t2H(αt)－1S22VS2+μSVS－

μΔtS)dt+σS(VS－Δt)dWH(αt)(t).

當在［t，t+dt］時段內，”跳”發生時

d∏2(t)=V(S(t+dt)，t+dt，－αt)－

V(S(t)，t，αt)－ΔtdS(t)=［Vt+

H(-αt)σ2t2H(-αt)－1S22VS2+μSVS－

Δt)］dt+σS(VS－Δt)dWH(-αt)(t)+

V（S（t)，t，-αt)-V(S(t)，t，αt).

由于

Eα(d∏)=(1－λ(αt)dt)d∏1(t)+

λ(αt)dtd∏2(t)，(15)

所以取Δt=VS消去隨機項， 略去dt 的高階量， 則由式(13)~(15)得

V(αt)t+H(αt)σ2t2H(αt)－1S22V(αt)S2+

rSV(αt)S+λ(αt)［V(－αt)－V(αt)］=0，V(S，T，αt)=(S(t)－K)+

取αt=±1得

V1t+H1σ2t2H1－1S22V1S2+rSV1S+

λ1［V2－V1］=0，V2t+H2σ2t2H2－1S22V2S2+rSV2S+

λ2［V1－V2］=0.V1(S，T)=V2(S，T)=(S(t)－K)+.

令ui(S，t)=Vi(S，t)-Vi，0(S，t)(i=1，2)， (16)

代入式(16)并結合引理3可得

u1t+H1σ2t2H1－1S22u1S2+rSu1S－

(r+λ1)u1=－λ1(u2－V2，0)，u2t+H2σ2t2H2－1S22u2S2+rSu2S－

(r+λ2)u2=－λ2(u1－V1，0)，u1(S，T)=u2(S，T)=0.

應用引理4和齊次化原理可得

u1=－λ1∫Ttdτ∫

0G1(S，t;ξ，τ)u2(ξ，τ)dξ+

f1(S，t)， (17)

u2=－λ2∫Ttdτ∫

0G2(S，t;ξ，τ)u1(ξ，τ)dξ+

f2(S，t)，(18)

其中f1(S，t)，f2(S，t)見式（11）;

Gi(S，t;ξ，T)=e－(λi+r)(T－t)ξ2π(T2Hi－t2Hi)#8226;

exp {－［ln Sξ+r(T－t)+σ22(T2Hi－t2Hi)］22σ2(T2Hi－t2Hi)}

表示方程 uit+Hiσ2t2Hi－1S22uiS2+rSuiS－(λ+r)ui=0的基本解.

將式(17)和式(18)相互代入可得

u1=λ1λ2∫Ttdτ∫

0K1(S，t;ξ，τ)u1(ξ，τ)dξ+

1(S，t)，

u2=λ1λ2∫Ttdτ∫

0K2(S，t;ξ，τ)u2(ξ，τ)dξ+

2(S，t).

其中i(S，t)，Ki(S，t;ξ，τ)見式(10)和式（12）.

上式積分方程通過迭代并結合式（16）可得Vi(S，t).

對于H1=12時的情況，由于WH1(t)為標準布朗運動， 由于應用It公式與應用引理1再令H1=12有同樣的結果. 故此時結論也是成立的.所以定理得證.證畢.

由于λ1， λ2 一般是小量， 實際上λ1λ2. 若略去λ2 二階以上的小量， λ1 三階以上的小量， 由定理1可得此模型下歐式看漲期權的定價Vi(S， t) (i= 1，2) 有漸近表達式.

推論1 在定理1 的假設下，若λ1 ，λ2 是小量，且λ1λ2， 則

V1(S，t)≈CH1(S，t)－λ1(T－t)CH1(S，t)+

∫Ttdτ∫

0G1(S，t;ξ，τ)V2，0(ξ，τ)dξ+

λ212(T－t)2CH1(S，t)+

λ1λ2∫Ttdτ∫

0K1(S，t;ξ，τ)V1，0(ξ，τ)dξ+

λ21λ2∫Ttdτ∫

0K*(S，t;ξ，τ)V1，0(ξ，τ)dξ，

V2(S，t)≈CH2(S，t)－λ2［(T－t)CH2(S，t)+

∫Ttdτ∫

0G2(S，t;ξ，τ)V1，0(ξ，τ)dξ］+

λ1λ2∫Ttdτ∫

0K2(S，t;ξ，τ)V2，0(ξ，τ)dξ，

其中K*(S，t;ξ，τ)=∫τtdθ∫

0K1(S，t;ζ，θ)G1(ζ，θ;ξ，τ)dζ.

從上述的估計式可以看出當λ1， λ2 是小量時對于開關式Hurst 指數分形Black-scholes市場模型， 歐式期權看漲期權價格可以由分形Black-scholes公式進行修正， 他們的修正項可由上式給出， 可以看得出來V1 的修正項要比V2要多. 這是情理之中的， 因為V1表示在市場狀態為H1 的期權價格， 在此狀態的市場比較不穩定， 所以風險比較大， 故此時期權價格比較高.

5 結 論

本文主要結合開關模式和分形Black-Scholes 市場假設， 對歐式期權定價問題研究進行一種新的嘗試. 進行這種嘗試的目的是為了克服由股票收益分布呈現出“尖峰肥尾”和存在相關性等特征和一個市場的Hurst指數不是不變的特點所帶來的困難. 希望這種嘗試有助于期權定價問題研究的發展. 當然本文所考慮的是比較簡單的情況. 若考慮把模型中的兩種狀態(H1，H2) 推廣到有限狀態(Hi，0＜i＜N)或考慮H1∈(13，12］的情況都是比較有意義的.

參考文獻

［1］ F Black F，M Scholes. The pricing of options and corporate liabilities［J］.J Pol Econ，1973， 81：637-665 .

［2］C Merton Robert. Continuous-time finance，Blackwell Publishers Inc［M］.2版，北京:中國人民大學出版社，2005.

［3］ H E Leland. Option pricing and replication with transaction costs［J］.Journal of Finance， 1985，40（5）: 1283-1301.

［4］ P Carr，H Geman，DMadan，et al. Stochastic volatility for Lèvy processes［J］. Math Financ，2003，13（3）:345-382.

［5］J Wiggina，Option values under stochastic volatility theory and empirical estimates［J］.Journal of Financial Economics，1987， 19:351-372.

［6］L C Evans. Partial differential equations graduate studies in mathematics［M］. AMS， Providence，1998.

［7］J P Fouque，G Papanicolaou，R Sircar. Derivatives in financial markets with stochastic volatility［M］.Cambridge:Cambridge University Press， 2000.

［8］Y Hu，B Oksendal．Fractional white noise calculus and applications to finance［J］．Infinite Dim Anal Quantum Prob Related Topics， 2003，6:1-32.

［9］C Necula ．Option pricing in a fractional Brownian motion environment［R］．Working Paper of the Academy of Economic Studies， Bucharest(Romania)2002，27:8079-8089.

［10］E Peters.分形市場分析將混沌理論應用到投資與經濟理論上［M］.北京: 經濟科學出版社 2002.

［11］G B Di Masi， Y M Kabanov，W J.Runggaldier， Mean variance hedging of option stocks with Markov volatility［J］.Theory of Probability and Applications， 1994， 39: 173-181.

［12］F Biagini， Y Hu， BoKsendal， T Zhang ， Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Applications［M］.New York:Springer.2008.

［13］姜禮尚， 徐承龍， 任學敏，等. 金融衍生產品定價的數學模型與案例分析［M］. 北京:高等教育出版社， 2008.

［14］姜禮尚， 陳亞浙， 劉西垣， 等.數學物理方程講義［M］.3版 ， 北京:高等教育出版社， 2007 .

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文