經(jīng)濟(jì)代理人的最優(yōu)損失控制

摘 要 根據(jù)經(jīng)濟(jì)代理人對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度高低將影響收益效用的事實(shí)，通過對(duì)經(jīng)濟(jì)代理人的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)引進(jìn)閾值，使風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)在不同取值區(qū)間對(duì)應(yīng)不同的效用函數(shù)，對(duì)經(jīng)濟(jì)代理人具有常值絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的效用函數(shù)，損失服從泊松分布、且保險(xiǎn)市場被壟斷的承保人控制的最優(yōu)防損活動(dòng)進(jìn)行了研究.研究表明，風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)、損失的大小以及防損效率將影響最優(yōu)防損水平.

文中結(jié)論推廣了現(xiàn)有文獻(xiàn)中的某些結(jié)果.

關(guān)鍵詞 期望效用；效用函數(shù)；泊松分布；風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)

中圖分類號(hào) O211.9 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

Optimum Loss Prevention of an Economic Agent

MAO Xiangyu

（College of Finance and Statistics， Hunan University，Changsha， Hunan 410082， China）

Abstract Optimum loss prevention activities were examinedfor an economic agent with utility function of constant absolute risk aversion， facing Poission distribution losses in an insurance market dominated by a monopolist insurer. In particular， the utility function is different from some existing papers. It is shown that the risk aversion coefficient， size oftheloss and productivity of loss prevention affect the optimum loss prevention level.

Key words expect utility function; Poisson distribution; risk aversion coefficient

1 引 言

已經(jīng)有許多學(xué)者將期望效用理論應(yīng)用于風(fēng)險(xiǎn)厭惡的經(jīng)濟(jì)事件討論中，

對(duì)損失的最優(yōu)控制進(jìn)行了研究［1-2］.考慮到在實(shí)際觀察中往往出現(xiàn)復(fù)雜的損失.例如，一個(gè)經(jīng)濟(jì)代理人在一個(gè)很長的期間持有財(cái)產(chǎn)權(quán)，那么他(她)可以遭受到多種可能的損失，如: 工業(yè)事故，職業(yè)病，車禍等.因此本文主要對(duì)一個(gè)經(jīng)濟(jì)代理人在一個(gè)計(jì)劃周期內(nèi)，由于承受損失風(fēng)險(xiǎn)而可能帶來多種損失的最優(yōu)損失控制進(jìn)行討論.一般經(jīng)濟(jì)代理人會(huì)選擇保險(xiǎn)來進(jìn)行最優(yōu)損失控制，例如，文獻(xiàn)［3-6］就曾經(jīng)對(duì)經(jīng)濟(jì)代理人的最優(yōu)損失控制問題通過引入保險(xiǎn)來進(jìn)行最優(yōu)損失控制.同其他文獻(xiàn)一樣，在本文中將損失控制定義為：在一個(gè)計(jì)劃周期內(nèi)一個(gè)經(jīng)濟(jì)代理人在純風(fēng)險(xiǎn)中為降低累計(jì)損失的期望值.損失能夠通過減少損失頻率或減少損失程度而得以控制，通常這兩種工具同時(shí)使用來控制損失，這兩個(gè)因素也許是不可分離的，然而防范和減少損失在許多研究中被處理為相互獨(dú)立的，本文也不例外，且文中主要對(duì)防損活動(dòng)進(jìn)行討論.對(duì)于這類問題的研究，現(xiàn)有的一些文獻(xiàn)中基本上采用的效用函數(shù)是

U(x)=1r(1-e-rw).

如文獻(xiàn)［4］等.在本文中，根據(jù)經(jīng)濟(jì)代理人對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度高低將影響收益效用的事實(shí)，通過對(duì)經(jīng)濟(jì)代理人的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)引進(jìn)閾值，使風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)在不同取值區(qū)間對(duì)應(yīng)不同的效用函數(shù).為了論述方便，文中始終假設(shè)：

(a)損失數(shù)服從泊松分布；

(b)經(jīng)濟(jì)代理人有常值絕對(duì)的風(fēng)險(xiǎn)厭惡；

(c)一個(gè)壟斷的承保人控制保險(xiǎn)市場.

考慮到在實(shí)際中，損失控制通常和保險(xiǎn)一起被采用，本文將討論經(jīng)濟(jì)代理人能夠承擔(dān)的最大保險(xiǎn)費(fèi)，以便進(jìn)一步討論保險(xiǎn)費(fèi)的使用對(duì)最優(yōu)防損活動(dòng)的影響.

2 經(jīng)濟(jì)代理人的保險(xiǎn)費(fèi)

在本文中，將多種復(fù)雜的損失數(shù)X復(fù)合為服從參數(shù)為λ的泊松分布，即：

P(X=i)=λie-λi!，i=0，1，2，….(1)

其中，λ表示在一個(gè)周期內(nèi)損失數(shù)的均值（數(shù)學(xué)期望），i表示經(jīng)濟(jì)代理人遭受的損失數(shù)，P表示在一個(gè)周期內(nèi)遭受到的損失數(shù)的概率.

另外，所采用的效用函數(shù)為

U(w)=-e-rw，如果r＞σ;

1r(1-e-rw)，如果0＜r≤σ，（2）

其中，U表示經(jīng)濟(jì)代理人的效用；w表示經(jīng)濟(jì)代理人經(jīng)濟(jì)價(jià)值的總和;r＞0表示風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)；σ表示風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)閾值.式(2)中的效用函數(shù)可理解為:經(jīng)濟(jì)代理人的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)在不同的區(qū)間(0，σ］和(σ，+∞)取值時(shí)，對(duì)應(yīng)的收益效用服從不同的規(guī)律，即對(duì)應(yīng)的收益效用函數(shù)表達(dá)式不同，這與經(jīng)濟(jì)代理人對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度等級(jí)將影響收益效用的事實(shí)是相符的.當(dāng)σ充分大(σ+∞)時(shí)，式（2）可視為文獻(xiàn)［4］等中的收益效用函數(shù)U(x)=1r(1-e-rw)；當(dāng)σ＞0充分小(σ0+)時(shí)，式(2)可視為文獻(xiàn)［7］等中的收益效用函數(shù)U(x)=-e-rw.顯然，具有式（2）的效用函數(shù)的經(jīng)濟(jì)代理人是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的［5-7］.

由式(2)，經(jīng)過計(jì)算有：

dU(w)dw=re-rw＞0，如果r＞σ;

e-rw＞0，如果0＜r≤σ.

d2U(w)dw2=-r2e-rw＜0，如果r＞σ;

-re-rw＜0，如果0＜r≤σ.

上面的式子說明隨著經(jīng)濟(jì)代理人經(jīng)濟(jì)價(jià)值總和的增加，經(jīng)濟(jì)代理人的效用是增加的；但是隨著經(jīng)濟(jì)代理人經(jīng)濟(jì)價(jià)值總和的增加，經(jīng)濟(jì)價(jià)值總和的邊際效用遞減，因此滿足效用函數(shù)的基本條件.

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中往往假設(shè)一個(gè)理性的人通常選擇損失的控制水平是使得他（她）的效用最大化.注意到在實(shí)際中損失控制通常和保險(xiǎn)一起被采用，因此在決策過程中，保險(xiǎn)費(fèi)是一個(gè)重要的因素.對(duì)給定的保險(xiǎn)總額，壟斷的承保人所支付的與代理人所能夠負(fù)擔(dān)的是相等的，因此最大的保險(xiǎn)費(fèi)并不是保險(xiǎn)的均衡價(jià)格.在市場調(diào)整中，假設(shè)無論是承保人還是經(jīng)濟(jì)代理人所有相關(guān)的信息都是對(duì)稱的.為簡單起見，假設(shè)提供了完全的保險(xiǎn)總額、保險(xiǎn)沒有絕對(duì)免賠額、沒有聯(lián)合保險(xiǎn)、也沒有道德風(fēng)險(xiǎn).

注意到，假設(shè)經(jīng)濟(jì)代理人是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的，因此有U(w)=E(U(w))，即

-e-A+rs=∑+∞i=0(-e-rA+iL)λie-λi!，

如果r＞σ;

1r(1-e-A+rs)=∑+∞i=0［1r(1--e-rA+iL)］λie-λi!

如果0＜r≤σ，(3)

其中，A＞0表示風(fēng)險(xiǎn)決策前的初始財(cái)產(chǎn)，s＞0表示最大保險(xiǎn)費(fèi)，L＞0表示損失數(shù).式（3）的右邊是經(jīng)濟(jì)代理人遭受到損失后的財(cái)富效用的期望值，由經(jīng)濟(jì)學(xué)理論知，由于經(jīng)濟(jì)代理人是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的，因此應(yīng)等于經(jīng)濟(jì)代理人的效用.由式（3）可獲得經(jīng)濟(jì)代理人能夠接受的最大保險(xiǎn)費(fèi)為

s=1r(erL-1)＞0，如果r＞σ;

1r(eL-1)＞0，如果0＜r≤σ.(4)

進(jìn)一步，在式(4)的基礎(chǔ)上有

dsdλ=1r(erL-1)＞0，如果r＞σ;

1r(eL-1)＞0，如果0＜r≤σ.

dsdL=λerL＞0，如果r＞σ;

1rλeL＞0，如果0＜r≤σ.

dsdr=λerL(rL-1)+1r2＞0，如果r＞σ;

-1r2λ(eL-1)＜0，如果0＜r≤σ.

由上面的結(jié)果有:

結(jié)論1

(ⅰ)隨著經(jīng)濟(jì)代理人損失數(shù)的期望的增加，最大保險(xiǎn)費(fèi)用增加；

(ⅱ)隨著經(jīng)濟(jì)代理人損失數(shù)的增加，最大保險(xiǎn)費(fèi)用增加；

(ⅲ)若r＞σ，則隨著經(jīng)濟(jì)代理人風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的增加，最大保險(xiǎn)費(fèi)用也增加；若0＜r≤σ，則隨著經(jīng)濟(jì)代理人風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的增加，最大保險(xiǎn)費(fèi)用減少.

3 最優(yōu)防損活動(dòng)

設(shè)一個(gè)壟斷的承保人提供完全的保險(xiǎn)總額的保險(xiǎn)給經(jīng)濟(jì)代理人，代理人有固定絕對(duì)的風(fēng)險(xiǎn)厭惡，損失數(shù)服從泊松分布.這些條件下，在一個(gè)保險(xiǎn)單周期內(nèi)，若經(jīng)濟(jì)代理人將投資資金在防損活動(dòng)中，設(shè)防損支出為y，自然可以假設(shè):在一個(gè)周期中，當(dāng)經(jīng)濟(jì)代理人的防損經(jīng)費(fèi)增加時(shí)，損失數(shù)的期望將以漸近的速度減少，即

ddyλ(y)＜0， d2dy2λ(y)＞0.

此時(shí)對(duì)一個(gè)從事于防損的經(jīng)濟(jì)代理人的最大保險(xiǎn)費(fèi)s1，可由下式得到

-e-rA+ry+rs1

=∑+∞i=0(-e-rA+ry+riL)λi(y)e-λ(y)i!，

如果r＞σ;

1r(1-e-rA+ry+rs1)

=∑+∞i=0［1r(1--e-rA+ry+riL)］λi(y)e-λ(y)i!

，

如果0＜r≤σ.(5)

利用式（4）和式（5）有

s1(y)=1rλ(y)(erL-1).(6)

在這種情形下，效用最大化的代理人將試圖使s1(y)與y之和最小化.設(shè)c(y)=y+s1(y)，并稱c(y)為風(fēng)險(xiǎn)費(fèi)用.風(fēng)險(xiǎn)費(fèi)用最小化與效用最大化問題是等價(jià)的，因此只需考慮

min{c(y)}=min{y+s1(y)}.(7)

對(duì)c(y)求導(dǎo)，并令dc(y)dy=0，有

dc(y)dy=1rr+(erL-1)dλ(y)dy=0.(8)

由式（7）和式（8）式可得

d2c(y)dy2=1r(erL-1)d2λ(y)dy2＞0.(9)

式（8）和式（9）保證了使得c(y)最小的y的存在，即有結(jié)論:

結(jié)論2 經(jīng)濟(jì)代理人的最優(yōu)防損支出是存在的。4 最優(yōu)防損活動(dòng)的比較靜態(tài)分析

由式（8）可得最優(yōu)的防損支出y*滿足

dλ(y)dyy=y*=r1-erL＜0.(10)

下面，對(duì)最優(yōu)解進(jìn)行比較靜態(tài)分析.

對(duì)上面得到的最優(yōu)防損活動(dòng)，通過計(jì)算有

rdλ(y)dy|y=y*=1+erL(rL-1)(1-erL)2＞0，(11)

Ldλ(y)dy|y=y*=r2erL(1-erL)2＞0，

(12)

式（11）說明風(fēng)險(xiǎn)厭惡越大的代理人花費(fèi)在防損活動(dòng)中的費(fèi)用也越多；式（12）意味著隨著損失數(shù)量的增加，經(jīng)濟(jì)代理人的防損經(jīng)費(fèi)增加.

假設(shè)λ1(y)和λ2(y)分別表示經(jīng)濟(jì)代理人的防損工具I(xiàn)和防損工具II損失數(shù)的期望， 注意到dλ(y)dy＜0，即隨著防損經(jīng)費(fèi)的增加，經(jīng)濟(jì)代理人的復(fù)合損失數(shù)的期望減少，

因此，當(dāng)一個(gè)理性的經(jīng)濟(jì)代理人可以在不同防損工具間進(jìn)行選擇時(shí)，必然會(huì)選擇復(fù)合損失數(shù)的期望減少得最快的，

即若dλ1(y)dy＜dλ2(y)dy，經(jīng)濟(jì)代理人將選擇防損工具I(xiàn). 從而有更一般的結(jié)論：

結(jié)論3 若經(jīng)濟(jì)代理人采用兩種不同的防損工具，設(shè)λ1(y)和λ2(y)分別表示防損工具I(xiàn)和防損工具II損失數(shù)的期望，如果對(duì)任何防損經(jīng)費(fèi)y＞0有|dλ1(y)dy|＞|dλ2(y)dy|，則防損工具I(xiàn)比防損工具II是更有效率的.

5 結(jié) 語

本文根據(jù)經(jīng)濟(jì)代理人對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度高低將影響收益效用的事實(shí)，通過采用分段的風(fēng)險(xiǎn)厭惡效用函數(shù)，對(duì)經(jīng)濟(jì)代理人具有風(fēng)險(xiǎn)厭惡，復(fù)合損失數(shù)服從泊松分布、經(jīng)濟(jì)代理人通過購買保險(xiǎn)規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)、且保險(xiǎn)市場被壟斷的承保人控制的經(jīng)濟(jì)代理人的最優(yōu)防損活動(dòng)進(jìn)行了討論.文中得到結(jié)論：風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)、損失的大小以及防損效率均影響最優(yōu)防損水平.

風(fēng)險(xiǎn)厭惡的大小對(duì)代理人花費(fèi)在防損活動(dòng)中的費(fèi)用影響是不同的，如：當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)在0＜γ≤σ時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)厭惡越大的代理人花費(fèi)在防損活動(dòng)中的費(fèi)用也越多；而當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)在γ＞σ時(shí)，則風(fēng)險(xiǎn)厭惡大的代理人花費(fèi)在防損活動(dòng)中的費(fèi)用反而少.隨著損失數(shù)量的增加，防損經(jīng)費(fèi)也將增加.如果一個(gè)經(jīng)濟(jì)代理人采用不同的防損工具，那么防損支出邊際期望值的絕對(duì)值最大的防損工具是最有效率的.

由于當(dāng)σ充分大(σ+∞)時(shí)，（2）中的函數(shù)可視為文獻(xiàn)［4］中的收益效用函數(shù)，因此本文的結(jié)論包含了文獻(xiàn)［4］中的結(jié)果.從前面的論證過程可以看到：本文的討論對(duì)于效用函數(shù)

U(w)=1r(1-e-rw)，如果r＞σ;

-e-rw，如果0＜r≤σ，(13)

也是完全適用的.注意到分段函數(shù)(2)和式(13)關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)r在閾值σ處是不連續(xù)的，事實(shí)上，對(duì)于一些在閾值σ處關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)r連續(xù)的效用函數(shù)，我們可以類似地進(jìn)行討論，如取

U(w)=-e-rw+1+(σ-1)e-σwσ，如果r＞σ;

1r(1-e-rw)，如果0＜r≤σ，

另外，類似于本文的方法，也可考慮將風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)r的取值區(qū)間進(jìn)行更多的分段，使每個(gè)區(qū)間段對(duì)應(yīng)不同的收益效用函數(shù).

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文