混合分數布朗運動下亞式期權定價

摘 要 運用混合分數布朗運動的It公式，將幾何平均亞式期權定價化成一個偏微分方程求解問題，通過偏微分方程求解獲得了幾何平均型亞式看漲期權的定價公式.

關鍵詞 混合分數布朗運動; 幾何平均型亞式期權; Black-Scholes偏微分方程

中圖分類號 O211.6;F830.9 文獻標識碼 A

Asian Option Pricing Model in Mixed Fractional Brownian Motion Environment

SUN Yu-dong， SHI Yi-min

(Department of Applied Mathematics， Northwestern Polytechnical University， Xi'an，Shannxi 710072，China)

AbstractIn order to overcome the shortcomings， the geometric average Asian option was changed into the question of solving partial differential equation by mixed It formula. The pricing formula of the geometric average Asian call and put option were obtained by partial differential equation theory.

Key words mixed fractional Brownian motion; geometric average Asian option; Black-Scholes partial differential equation

1 引 言

亞式期權作為一種路徑依賴期權，是一種新型期權，其執行與否取決于合同期內股票平均價格的高低.由于采用平均值可以減少價格波動的所帶來的影響，從而亞式期權比類似的常規期權更便宜，因此在貨幣和商品市場中比較流行.亞式期權是一種依賴標的資產價格路徑的期權， 它在到期日的收益依賴于期權整個有效期內標的資產的平均價格，根據取平均的方法亞式期權可以分為算術平均型和幾何平均型兩種類型.筆者主要考慮幾何平均亞式期權.文獻［1-2］ 用偏微分方程的方法，研究了幾何平均型亞式期權定價模型，在求解方程時，為了使得方程能夠求解，假定所涉及的參數均為常數；文獻［3-4］ 在風險中性測度下采用鞅方法，討論了幾何平均亞式期權定價問題.但是上訴文獻都是布朗運動下的結論，近些年來，在實際金融市場中由于股票價格對過去價格具有依賴性；一些學者考慮用分數布朗運動刻畫股票價格的變化［5］，甚至有部分學者開始用混合布朗運動研究歐式期權［6］ .本文假定股票價格遵循分數驅動的隨機微分方程，利用分數布朗運動隨機分析理論，得到了混合分數布朗運動環境下幾何平均型亞式期權價格所滿足的Black-Scholes偏微分方程， 并通過求解該偏微分方程給出了亞式看漲期權的定價公式.

2 金融市場數學模型

考慮存在兩種可自由、連續進行交易的資產的無套利和無摩擦市場， Bt表示t時刻無風險資產的價格，St表示風險資產的價格，如股票.本文假設它們在物理測度下仍滿足隨機微分方程

dBt=rtBtdt，(1)

dSt=St((μt－qt)dt+σ1dWHt+σ2dWt)，(2)

其中參數rt，μt都為時間的函數，他們分別表示銀行短期利率、股票期望回報率，波動項系數σ1和σ2為非負常數，Wt是布朗運動， WHt為參數為H的分數布朗運動，Wt是與WHt相互獨立.這里假定作為原生資產的股票支付紅利，紅利率為qt. 設在t時刻形成投資組合θ=(θ0t，θ1t)， 則投資組合的回報為Vt=θ0tBt+θ1tSt，并且由自融資策略(即短時間不改變市場份額)可知V滿足

dVt=θ1tdSt+θ0tdBt+θ1tqtStdt.

令Jt=exp {1t∫t0ln Sτdτ}表示股票價格的路徑變量， 則路徑變量Jt對t求導可得

dJtdt=Jt(ln St－ln Jtt).(3)

定理1 股票價格所滿足隨機微分方程(2)的解為

St=S0exp {∫t0(μτ－qτ)dτ－σ22t－σ22t2H+σ1dWHt+σ2dWt}. (4)

證明 記f(t，x，y)=S0exp {∫t0(μτ－qτ)dτ－λσ22t－σ22t2H+σ1x+σ2y}， 由混合分數布朗運動It公式［6］可得

dSt=df(t，WHt，Wt)=ft(t，WHt，Wt)dt+

fx(t，WHt，Wt)dWHt+fy(t，WHt，Wt)dWt+

Ht2H－1fxx(t，WHt，Wt)dt+12fyy(t，WHt，Wt)dt

=(μt－qt－Hσ21t2H－1－0.5σ22)f(t，WHt，Wt)dt+

σ1f(t，WHt，Wt)dWHt+σ2f(t，WHt，Wt)dWt+

Hσ21t2H－1f(t，WHt，Wt)dt+0.5σ22f(t，WHt，

Wt)dt=f(t，WHt，Wt)((μt－qt)dt+σ1dWHt+

σ2dWt)=St((μt－qt)dt+σ1dWHt+σ2dWt).

證畢.

定理2 混合分數布朗環境下幾何平均亞式期權定價可以化為偏微分方程定解問題:

Ft+(rt－qt)xFx+y(ln x－ln yt)Fy+

(Hσ21t2H－1+σ222)x22Fx2－rtF=0，F(T，x，y)=f(x，y)，(t，x，y)∈［0，T］×

R+×R+.

證明 像其他的普通的歐式未定權益一樣，幾何平均亞式看漲期權都時間和股票價格St，但是它作為一個強路徑依賴期權，與普通的歐式期權有著很大的不同，幾何平均亞式看漲期權在當前時刻的價值還有它過去的價格平均值有關，即它還依賴路徑變量Jt.因此，未定權益的價格過程可表示為F=F(t，St，Jt). 由式(4)和混合分數布朗運動It公式有

dF(t，St，Jt)=(Ft(t，St，Jt)+(μt-qt-λσ22-

Hσ21t2H)StFx(t，St，Jt))dt+lnSt-lnJttJt#8226;

Fy(t，St，Jt)dt+σ1StFx(t，St，Jt)dWHt+

σ2StFx(t，St，Jt)dWt+

(Hσ21t2H-1+

σ222)(S2t2Fx2(t，St，Jt)+StFx(t，St，Jt))dt

=(Ft(t，St，Jt)+(μt-

qt)StFx(t，St，Jt)+

lnSt-lnJttJtFy(t，St，Jt))dt+

(Hσ21t2H-1+σ222)S2t2Fx2(t，St，Jt)dt+

σ1StFx(t，St，Jt)dWHt+σ2StFx(t，St，Jt)dWt.

(5)

因為

dVt=θ0tdBt+θ1tdSt+qtθ1tStdt

=θ0trtBtdt+θ1t(μtStdt+σ1StdWHt+σ2StdWt)

=(θ0trtBt+θ1tμtSt)dt+θ1t(σ1StdWHt+σ2StdWt). (6)

那么根據自融資交易策略Vt=F(t，St，Jt)以及式(5)、式(6)可得

θ1t=Fx(t，St，Jt)，

θ0t=(rtBt)-1(Ft(t，St，Jt)-qtStFx(t，St，Jt)+

ln x-ln JttJtFx(t，St，Jt)+(Hσ21t2H-1+

σ222)S2t2Fx2(t，St，Jt)).

再由Vt=F(t，St，Jt)=θ0tBt+θ1tSt知θ0t=B-1t(F(t，St，Jt)-StFx(t，St，Jt))，因此得二階偏微分方程

Ft+(rt－qt)xFx+ln x－ln ytyFy+

(Hσ21t2H－1+σ222)x22Fx2－rtF=0，

由F(T，ST，JT)=f(ST，JT)知，F(t，x，y)=f(x，y)，(t，x，y)∈［0，T］×R+×R+， 所以有結論成立.

3 模型求解

定理3 幾何平均亞式看漲期權在t時刻價格可以表示為

F(t，St，Jt)=(JttST-tt)1/Texp{r*(T-t)-

∫Ttr(τ)dτ+(σ*H)22(T2H-t2H)+(σ*)22(T-

t)}Φ(d1)-Kexp{-∫Ttr(τ)dτ}Φ(d2)，

其中

d1=

1TlnJttST-ttKT+r*(T-t)+(σ*)2(T-t)+(σ*H)2(T2H-t2H)(σ*)2(T-t)+(σ*H)2(T2H-t2H)，

d2=d1-(σ*)2(T-t)+(σ*H)2(T2H-t2H)，

Jt=exp{1t∫t0lnSτdτ}r*=∫Tt(rτ-qτ)T-τTdτT-t-

σ22(T-t)4T-σ21(T2H-t2H)2(T-t)+Hσ21(T2H+1-t2H+1)(2H+1)T(T-t)，

σ*H=［1-4H(T2H+1-t2H+1)(2H+1)T(T2H-t2H)+

H(T2H+2-t2H+2)(H+1)T2(T2H-t2H)］1/2σ1，σ*=T-t3Tσ2.

證明 因為此時考慮具有固定執行價格的幾何平均亞式期權，所以取f(x，y)=(y－K)+，令

ξ=tln y+(T－t)ln xT，F=U(t，ξ)，

則

Ft=Ut+ln y－ln xTUξ，

Fx=T－tTxUξ，

2Fx2=(T－tTx)22Uξ2－T－tTx2Uξ，

Fy=tTyUξ.

從而混合分數布朗運動環境下Black-Scholes偏微分方程化為

Ut+(Hσ21t2H－1+λσ222)(FtT)22Uξ2+(rt－

qt－Hσ21t2H－1－σ222)(T－tT)Uξ－rtU=0U(T，ξ)=(eξ－K)+.

再令

C(s，z)=U(t，ξ)exp {∫Ttrτdτ}，z=ξ+∫Tt(rτ－

qτ)T－τTdτ－σ224T(T－t)2－σ212(T2H－

t2H)+Hσ21T(2H+1)(T2H+1－t2H+1)，

s=σ226T2(T－t)3－σ212(T2H－t2H)+

2Hσ21T(2H+1)(T2H+1－t2H+1)－

Hσ212(H+1)T2(T2H+2－t2H+2)，

則分數跳擴散環境下Black-Scholes偏微分方程可化為

Cs=2Cz2，C0，z=(ez－K).

根據熱傳導方程經典解理論，其唯一強解C(s，z)=12πs∫

－

u0(τ)e(τ－z)24sdτ， 將邊界條件帶入，可得

C(s，z)=ez+sΦ(z+2s－ln K2s)－

KΦ(z－ln K2s)，

對上述變換進行逆變換可得定理證明.

定理4 當σ2=0時可得分數布朗運動環境下幾何平均亞式看漲期權在t時刻價格

C(t，St，Jt)=(JttST-tt)1/Texp{r*(T-t)-

∫Ttr(τ)dτ+(σ*H}22(T2H-t2H)}Φ(d1)-

Kexp{-∫Ttr(τ)dτ}Φ(d2)，

其中

d1=1TlnJttST-ttKT+r*(T-t)+(σ*H)2(T2H-t2H)(σ*)2(T-t)+(σ*H)2(T2H-t2H)，

d2=d1-(σ*H)2(T2H-t2H)，

Jt=exp{1t∫t0ln Sτdτ}，r*=∫Tt(rτ-qτ)T-τTdτT-t-

σ21(T2H-t2H)2(T-t)+Hσ21(T2H+1-t2H+1)(2H+1)T(T-t)，

σ*H=［1-4H(T2H+1-t2H+1)(2H+1)T(T2H-t2H)+

H(T2H+2-t2H+2)(H+1)T2(T2H-t2H)］1/2σ1.

特別地，當H=0.5可得文獻［1-4］中的結果.

參考文獻

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