帶干擾的保費隨機收取的雙險種風險模型

摘 要 推廣了已有文獻中提出的帶干擾的雙險種復合負二項風險模型， 讓保費收取次數服從負二項分布，兩類險種的索賠也服從負二項分布，得到了帶干擾的保費隨機收取的雙險種風險模型，給出了破產概率的一般表達式和上界.

關鍵詞 負二項隨機序列；雙險種；破產概率

中圖分類號 F840.32 文獻標識碼 A

Study on the Double-Type Insurance Risk Model with Random Income and Diffusion

CHEN Gui-lei ， ZHANG Xiang-hu ， BIAN Ping-yong

(Fundamental department of College of Science， SUST， Tai-an， Shandong 271019， China)

Abstract The risk model a mpound negative binomial risk model of double line perturbed by diffusionwas extended，Asuming thatthe premium collecting frequencies are a stochastic negative binomial series， and the double-type claims are anegative binomial series， thena double-type insurance risk model with random income and diffusion was obtained . The formulas of ultimate ruin probability for this model wasobtained.

Key words negative binomial stochastic series; double-type insurance; ruin probability

1 引 言

破產理論是風險理論的主要研究課題，風險模型則是風險理論中的主要研究對象.連續的時間模型，研究最多的是復合Poisson模型［1］，離散的時間模型，則主要集中在復合二項模型［2-3］.不過，這兩種經典的模型研究的都是單險種，具有一定的理論指導.但是隨著一個世紀以來保險業的迅猛發展，單險種的研究不太貼近現實，人們開始對經典模型加以改進，文獻［4］將保費收入和索賠次數均推廣為負二項分布，得到了雙險種風險模型，有些專家提出了離散的風險模型［5］，及多險種風險模型［6］，而文獻［7］在此基礎上加入擾動項，得到了比較實際的模型.本文考慮到了擾動項，讓保費收取次數服從負二項分布，理賠次數也服從負二項分布［8］，給出一種更貼近現實的模型，考慮了盈余過程的性質、破產概率的表達式以及上界.

2 定義

定義1 假設數u＞0，c＞0，{N(n)，n=1，2，…}為一非負整數值隨機變量序列，且對于任意n2＞n1，Nn2－Nn1服從參數為n2－n1，p的負二項分布，即

PNn2－Nn1=k

=n2－n1+k－1kpn2－n1qk k=0，1，2，…，

則稱Nn，n=1，2，…為負二項序列.

定義2 設u＞0，c＞0，定義隨機變量：

1）Xi，i=1，2，…，Yj，j=1，2，…與Zk，k=1，2，…都是取值于0，+

的獨立同分布的隨機變量序列，假定

EXi=μ0，EYj=μ，E(Zk)=μ1；

2）{M(n)，n=1，2，…}，{N1(n)，n=1，2，…}與{N2(n)，n=1，2，…}是參數分別為p，p1，p2的負二項隨機序列，且0＜p＜1，0＜p1＜1，0＜p2＜1，p+q=1，p1+q1=1，p2+q2=1；

3) W(t)，t≥0是一個標準布朗運動，表示保險公司不確定的收益，σ為大于0的常數；

4）假定{M(n)，n=1，2，…}，{N1(n)，n=1，2，…}，{N2(n)，n=1，2，…}，{Xi，i=1，2，…}，{Yj，j=1，2，…}，{Zk，k=1，2，…}相互獨立.

令

Un=u+X(n)－Yn－Zn+σW(n).

其中X(n)=∑M(n)i=1Xi，Yn=∑N1nj=1Yj，

Zn=∑N2nk=1Zk，且令盈利過程為

S(n)=X(n)－Y(n)－Z(n)+σW(n)，

則Un，n=1，2，…就是本文研究的風險模型，其中，初始資本為uu＞0，兩類險種第i次和第j次理賠分別為Xi，Yj，時間段0，n內保費的收取次數為Mn，兩類險種的賠付次數分別為N1n，N2n；Un就是保險公司在時刻n的盈余.實際上，當單位時間內保費收入大于理賠時，即條件qμ0p＞q1μp1+q2μ1p2成立時，公司才能經營穩定.為此定義ρ=μ0qp1p2pp2q1μ+pp1q2μ1－1＞0為安全負荷系數，T=inf n≥1:Un＜0為破產時刻，最終破產概率ψu=PT＜

U0=u.

3 主要結果

定理1 盈利過程Sn，n=1，2，…具有性質

1）ESn=qμ0p－q1μp1－q2μ1p2n＞0；

2）具有平穩獨立增量性；

3）存在正數r，使得Ee－rSn＜

.

定理2對于盈利過程Sn，n=1，2，…，存在函數gr，使得Ee－rSn=engr.

證明

E(e－rS(n))=E(e－r(X(n)－Y(n)－Z(n)+σW(n)))

=E(e－rX(n))E(erY(n))E(erZ(n))E(e－rσW(n))

=exp (n(－ln (p1－qMXi(r))+

ln (p11－q1MYj(r))+ln (p21－q2MZk(r))+

12r2σ2)).

令

g(r)=－ln (p1－qMXi(r))+ln (p11－q1MYj(r))+

ln (p21－q2MZk(r))+12r2σ2

即可，則引理得證.

定理3 方程g(r)=0存在唯一正解r=R，稱之為調節系數.

定理4 在風險過程Un，n=1，2，…下，設R為調節系數，則最終破產概率為

ψu=e－RuEexp －R#8226;UTT＜

.

證明 對n＞0和r＞0，考察：

Ee－rUn=Ee－rUnT＜nPT＜n+

Ee－rUnT≥nPT≥n.（1）

因為Un=u+X(n)－γn－Zn，所以式（1）左端可以寫為

Ee－rUn

=e－ruexp －rX(n)－Yn－Zn+σW(n)

=exp(－ru+n(－ln(p1－qMXi(r))+

ln (p11－q1MYj(r))+ln(p21－q2MZk(r))+12r2σ2)).

由定理3，選取r=R，g(R)=0，則式（1）左端變為e－RU(n)=e－Ru，式（1）變為

e－Ru=Ee－RUTT＜nPT＜n+

Ee－RUTT≥nPT≥n. （2）

而在式(2)右端第一項中Un可寫成

Un=UT+X(n)－X(T)－

Yn－YT－Zn－ZT+

σ(W(n)－W(T))=U(T)+∑M(n)i=M(T)+1Xi－

∑N1(n)j=N1(T)+1Yj－

∑N2(n)k=N2(T)+1Zk+σW(n－T).

對于給定的T

Ee－RUnT＜nPT＜n

=E(exp (－RU(T)－R∑M(n)i=M(T)+1Xi+R∑N1(n)j=N1(T)+1Yi+

R∑N2(n)k=N2(T)+1Zk－RσW(n－T)T＜n)#8226;

PT＜n=E(e－RU(T)T＜n)#8226;Eexp (－

R∑M(n)i=M(T)+1Xi+R∑N1(n)j=N1(T)+1Yi+R∑N2(n)k=N2(T)+1Zk－

RσW(n－T)T＜n#8226;PT＜n

=Ee－RUnT＜ne(n－T)g(R)PT＜n

=Ee－RUnT＜nPT＜n.（3）

令n→

，則lim n→

Ee－RUnT＜nPT＜n

=Ee－RUnT＜

ψ(u)

若能證明n→

時式（3）中第二項趨于零，則定理得證.記

α=qμ0p－q1μp1－q2μ1p2＞0，

β2=μ20q+pqσ20p2+μ2q1+p1q1σ2p21+

μ21q2+p2q2σ21p22+σ2，

其中σ20=VarXi，σ2=VarYj，σ21=VarZk. 易知：

E(U(n))=E(u+X(n)－Y(n)－Z(n)+

σW(n))=u+nαVar(U(n))=Var(u+

X(n)－Y(n)－Z(n)+

σW(n))=nβ2.

由于α＞0，考察Qn=u+nα－βn23，只要n充分大，Qn＞0. 而當n→

時，Qn→+

，利用Un，Qn的大小關系將式(2)右端第二項拆分成兩項，有

Ee－RUnT≥nPT≥n

=Ee－RUnT≥n，0≤Un≤Qn#8226;

PT≥n，0≤Un≤Qn+E(e－RUn

T≥n，U(n)＞Q(n))P(T＞n，U(n)＞Q(n))

≤P0≤Un≤Qn+e－RQn. （4）

由切比雪夫不等式，得

P0≤Un≤Qn

=P0≤Un≤EUn－βn23

≤PUn－EUn≥βn23

≤Var(U(n))β－2n－43=n－13.

于是當n→

時，式（4）右端趨于零.

所以

e－Ru=Eexp －R#8226;UTT＜

ψu，

即

ψu=e－RuEexp －R#8226;UTT＜

.

推論 ψu≤e－Ru.

證明 當T＜

時，UT＜0，因此Ee－RUTT＜

＞1，由定理4知ψu≤e－Ru，所以e－Ru就是最終破產概率的一個上界.

參考文獻

［1］ J Grandell. Aspects of risk theory ［M］. New York: Springer Verlag， 1991.

［2］ 龔日朝，楊向群. 復合二項風險模型的破產概率［J］. 經濟數學，2001，18（2）：38-41.

［3］ 徐金福，劉再明. 廣義復合二項風險模型下的破產概率［J］. 數學理論與應用，2004，24（1）：93-96.

［4］ 陳貴磊. 一類離散雙險種風險模型［J］. 經濟數學，2006，23（1）：7-10.

［5］ 羅琰，鄒捷中. 一類離散雙險種風險模型［J］. 數學理論與應用，2004，24（3）：112-114.

［6］ 蔣志明，王漢興. 一類多險種風險過程的破產概率［J］. 應用數學與計算機學報，2000，14（1）：9-16.［7］ 方世祖，劉瑤環，孫歆，趙培臣. 帶干擾的雙險種復合負二項風險模型［J］. 廣西師范學院學報:自然科學版，2008，25（1）：4-7.

［8］ S M Roose. 何聲武，謝盛榮， 等. 隨機過程［M］. 北京：中國統計出版社，1997：34-56.

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