關于汽車追尾沖擊模型的維修策略

摘 要 討論了關于汽車追尾的沖擊模型的可修系統.在系統不能修復如新的條件下，假定汽車運行時間構成隨機遞減的幾何過程，逐次追尾后的維修時間構成隨機遞增的幾何過程.分別考慮汽車按比例保修和免費保修條件下，以汽車追尾次數N為策略，以車主在汽車長期運行單位時間內的期望費用為目標函數，導出目標函數的解析表達式P1(N)與P2(N).最后，通過實例分析，求出最優策略N*，使得車主在汽車長期運行單位時間內的期望費用最小.

關鍵詞 按比例保修；免費保修；汽車追尾；沖擊模型；幾何過程；維修策略

中圖分類號 O224 文獻標識碼 A

The Maintenance Policy for the Shock Model on the Rear-end

ZHANG Xiao-shuang1，2， MENG Xian-yun2， ZHU Zhen-hua2， JIA Peng-ru2， LI Yan-yan2

(1.Avic Aviation Powerplant Research Institute，Zhuzhou，Hunan 412002，China;

2.College of Sciences， Yanshan University， Qinhuangdao， Hebei 066004， China)

Abstract A repairable system with the shock model on the rear-end was studied. Under the condition that the system can not be repaired as good as new， we assume that the vehicle running time constitutes a decreasing stochastically geometric process， and the repair time after successive rear-end constitutes an increasing stochastically geometric process. The pro rata warranty，thefree warranty strategy and the replace policy based on the failure number N were studied，andthe explicit expressions P1(N) and P2(N) of the vehicle owners’ expected cost per unit time owing to the vehicle running in the long term was derived. Finally， the optimal strategy N*was obtained by the numerical example，which makes the vehicle owners’ expected cost per unit time minimal in the long term ofvehicle running.

Keywords the pro-rata warranty;the free warranty;the rear-end;shock model;geometric process;the maintenance policy

1 引 言

隨著車輛每年不斷的增加，汽車追尾事件頻繁發生.對于商家和車主來說，都會造成一定的損失，如何來減少他們的損失成為研究的重點.本文對于汽車追尾給車主帶來的損失進行了討論，首先把汽車追尾事件的過程看作一個特殊的沖擊模型，早期階段介紹沖擊模型時是以兩次連續沖擊之間的時間間隔小于系統閥值，系統故障;或以沖擊中系統損失超過閥值時系統失效.本文在參考大量文獻的基礎上，介紹了一種特殊的沖擊模型，沖擊程度考慮為與修理時間有關的函數，同時沖擊程度與費用有關，所以將費用看作修理時間的函數.為了使得汽車追尾的沖擊模型更合理化，本文在汽車運行時間與汽車追尾后的修理時間上運用了Lam提出的幾何過程.整體來說，本文在文獻［1］和文獻［2］提出的沖擊模型的更換策略和

Symbol`@@ 文獻［3］提出的沖擊維修模型的更換策略的基礎上，研究了在按比例保修和免費保修兩種保修情況下，以汽車追尾次數N為策略，分別求出在這兩種保修條件下車主在汽車長期運行單位時間內的期望費用的表達式，并且通過數值例子，求出汽車追尾沖擊模型的最優策略N*使得車主在汽車長期運行單位時間內的期望費用最小.

2 模型假設

假設1 開始時，汽車是新的.汽車發生追尾時，馬上進行修理.汽車追尾N次后，用新的同型號的車更換，更換時間忽略不計.

假設2 汽車從第n－1次追尾后修復完成到第n次追尾后修復完成的時間間隔為汽車的第n個周期.Xn(n=1，2…)為汽車在第n個周期內的工作時間，Xn的分布函數

F(xn)=1－e－an－1λxn(a≥1).Yn(n=1，2…)為汽車在第n個周期內的工作時間，Yn的分布

函數G(yn)=1－e－bn－1μyn(0＜b≤1).

假設3 在第n個周期中汽車給車主帶來的工作報酬為c1(xn)=c1xn (n=1，2…)，在第n個周期中修理汽車需要的費用為c2(yn)=c2yn (n=1，2…).在按比例保修下，商家按比例1－p支付出保修費用.汽車更換時的費用為c3.

假設4 Xn，Yn (n=1，2…)是相互獨立的.

3 模型分析

由假設可知：一次更換的完成是一個更新周期.有更新報酬定理得車主在汽車長期運行單位時間內所花費的費用可以看作一個更新周期內的期望費用，因此只需考慮一個更新周期的長度和在一個更新周期內的汽車給車主帶來的花費.設W為一個更新周期的長度，R1和R2為在一個更新周期內車主因汽車在按比例保修和免費保修下長期運行的花費，P1(N)和P2(N)分別是在按比例保修和免費保修的策略N下車主在汽車長期運行單位時間內的期望費用，則

P1(N)=E(R1)E(W)，P2(N)=E(R2)E(W).

定理1 P1(N)是在按比例保修的策略N下車主在汽車長期運行單位時間內的期望費用，則

P1(N)=

(4p－2)c2μ2b2N－b2b2N－b2N－2+c3－2λ2c1a2N+2－a2a2N－2－a2NλaN+1－aaN+1－aN+μbN－1－1bN－1－bN－2.(1)

證明 由假設可知在一個更新周期內車主因汽車在按比例保修下長期運行的花費：

R1=p∑N－1i=1c2(yi)yi+c3－

(1－p)∑N－1i=1c2(yi)yi－∑Ni=1c1(xi)xi. (2)

一個更新周期的長度：

W=∑Ni=1xi+∑N－1i=1yi.(3)

則

P1(N)=E(R1)E(W)=Ep∑N－1i=1c2(yi)yi+c3－(1－p)∑N－1i=1c2(yi)yi－∑Ni=1c1(xi)xiE∑Ni=1xi+∑N－1i=1yi

=p∑N－1i=1∫

0c2y2idG(bi－1yi)+c3－(1－p)∑N－1i=1∫

0c2y2idG(bi－1yi)－∑Ni=1∫

i=0c1x2idF(ai－1xi)∑Ni=1∫

0xidF(ai－1xi)+∑N－1i=1∫

0yidG(bi－1yi)

=c2p∑N－1i=12μ2b2i－2+c3－(1－p)c2∑N－1i=12μ2b2i－2－c1∑Ni=12λ2a2i－2∑Ni=1λai－1+∑N－1i=1μbi－1

=2c2pμ2b2N－b2b2N－b2N－2+c3－2(1－p)c2μ2b2N－b2b2N－b2N－2－2λ2c1a2N+2－a2a2N－2－a2NλaN+1－aaN+1－aN+μbN－1－1bN－1－bN－2

=(4p－2)c2μ2b2N－b2b2N－b2N－2+c3－2λ2c1a2N+2－a2a2N－2－a2NλaN+1－aaN+1－aN+μbN－1－1bN－1－bN－2.(4） 

定理2 P2(N)是在免費保修的策略N下車主在汽車長期運行單位時間內的期望費用，則

P2(N)=c3－2λ2c1a2N+2－a2a2N－2－a2NλaN+1－aaN+1－aN+μbN－1－1bN－1－bN－2. (5)

證明 由假設可知：

在一個更新周期內車主因汽車在免費保修下長期運行的花費

R2=c3－∑Ni=1c1(xi)xi.(6)

一個更新周期的長度

W=∑Ni=1xi+∑N－1i=1yi.(7)

P2(N)=E(R2)E(W)=Ec3－∑Ni=1c1(xi)xiE∑Ni=1xi+∑N－1i=1yi

=c3－∑Ni=1∫

0c1x2idF(ai－1xi)∑Ni=1∫

0xidF(ai－1xi)+∑N－1i=1∫

0yidG(bi－1yi)

=c3－c1∑Ni=12λ2a2i－2∑Ni=1λai－1+∑N－1i=1μbi－1

=c3－2λ2c1a2N+2－a2a2N－2－a2NλaN+1－aaN+1－aN+μbN－1－1bN－1－bN－2. (8)

因為a＞1，b＜1，所以分析可得當N的值很小時，在按比例保修的策略N下車主在汽車長期運行單位時間內的期望費用P1(N)和在免費保修的策略N下車主在汽車長期運行單位時間內的期望費用P2(N)是遞減的；當N的值很大時，P1(N)和P2(N)是遞增的.因此可以找到一個最優策略N*，使得P1(N)和P2(N)最小，最小值是P1(N*)和P2(N*).

4 實例分析

實例 設c1=1，a=1.1，λ=10，p=0.7，c2=1，b=0.9，μ=0.1，c3=100，則由定理1和定理2得：

P1(N)=

0.0080.92N－0.920.92N－0.92N－2+100－2001.12N+2－1.121.12N+2－1.12N101.1N+1－1.11.1N+1－1.1N+0.10.9N－1－10.9N－1－0.9N－2.(9)

P2(N)=

100－2001.12N+2－1.121.12N+2－1.12N101.1N+1－1.11.1N+1－1.1N+0.10.9N－1－10.9N－1－0.9N－2(10）取N=1，2，…，15，可得P1（N）(見表1），P2（N）（見表2）.

由表1可知，當N=1至N=4時，隨著N的增大，函數P1(N)是遞減的；從N=4開始，隨著N的增大，函數P1(N)遞增的.因此在按比例保修下存在汽車的追尾最優次數N*=4及相應的車主在汽車長期運行單位時間內的期望費用最小為P1(N*)=－14.622 1.由表2可知，當N=1至N=4時，隨著N的增大，函數P2(N)是遞減的；從N=4開始，隨著N的增大，函數P2(N)遞增的.因此在免費保修下存在汽車的追尾最優次數N*=4及相應的車主在汽車長期運行單位時間內的期望費用最小為P2(N*)=－14.622 9.同時得出在最優追尾次數相同時，車主在汽車免費保修下的費用低.

5 結束語

本文在參考文獻的基礎上建立了沖擊程度與修理時間的函數，即費用與修理時間的函數.在按比例保修和免費保修的條件下研究了關于汽車追尾的沖擊模型.本模型以汽車追尾次數N為策略，推導出車主在汽車長期運行單位時間內的期望費用的解析表達式P1(N)與P2(N).最后，通過實例分析，求出最優策略N*，使得車主在汽車長期運行單位時間內的期望費用最小.

參考文獻

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