基于生態競爭方程的企業競爭動態演化研究

摘 要 從生態學視角來研究企業競爭的動態演化已成為一個研究熱點.針對現有研究文獻中只討論二維系統的不足，以三個企業之間的競爭為例，構造了企業間競爭的三維模型，運用微分方程穩定性理論分析其穩定性，并由此揭示出企業間競爭的動力學機制.數值仿真結果表明，該三維模型能有效地模擬企業間競爭的動態演化規律.

關鍵詞 生態競爭方程；企業競爭；穩定性分析；動力學機制

中圖分類號 F062.2 文獻標識碼 A

Dynamic Evolution of Enterprises’ Competition Based on Ecological Competition Equations

YAO Yi

(School of Mathematical Sciences， Nanjing Normal University， Jiangsu， Nanjing 210046，China)

Abstract

The research on dynamic evolution of enterprises competition from the perspective of ecology has attracted much attention. Aiming atthe drawbacks of the existing studies， a three-dimensional competitive model for three enterprises was formulated. The stability of this model was analyzed using the qualitative theory of differential equations， which reveals the dynamical mechanism of enterprises competition. The numerical simulations suggest that this three-dimensional model can reflect the law of dynamic evolution of enterprises competition effectively.

Keywords ecological competition equations；enterprise competition; stability analysis; dynamic mechanism

1 引 言

競爭是現代經濟發展的動力，企業要在激烈的競爭中生存與發展，就必須了解所處的市場，深刻理解競爭的內在發展規律.考慮到經濟系統中企業間競爭與生態系統中種群間競爭的相似性，國內外一些學者嘗試利用生態學理論來研究企業競爭的動態演化規律，并取得了豐碩的成果[1-8].

文獻[1]利用修改的Logistic模型分析了IT企業集群的共生性分析，認為集群內存在若干個核心企業， 它們形成互補或替代關系， 眾多的衛星企業寄生在各自的核心企業下，核心企業和衛星企業在集群內能夠自動維持著這種分工協作的穩定性.文獻[2]利用Logistic模型，對中小企業與大型企業之間的惡性競爭、寄生關系、捕食關系和互惠共生四種互動模式進行數學描述，分析各種模式的穩定條件，并據此提出了相應的中小企業競爭策略的選擇.依據生態系統共生模型，文

獻[3]建立了一個包含正負作用的一般企業的競合模型，通過模型的分析說明了企業集群的發展取決于市場容納量與固定成長率，而這兩者的提高與企業集群初始狀態、企業集群環境與市場環境密切相關，同時，合作能增加企業集群的穩定性.文獻[4]在此前研究的基礎上，增加了企業產出水平的下臨界點，進行了企業競爭模型的局部穩定點分析和全局漸近性態分析，并通過數值仿真實驗具體說明了企業競爭的各種情況和穩定性條件.

已有文獻的研究是深入且有效的，是對企業企業競爭理論的完善和充實.然而，目前這些研究主要集中于利用二維系統研究企業競爭機制，其不足之處在于只能單純刻畫企業之間的競爭或合作模式，無法揭示企業之間合作并與其他企業競爭的過程.本文將討論企業競爭的更一般情形，以三維系統為研究對象，運用微分方程穩定性理論討論它們在完全合作市場、完全競爭市場和混合市場下競爭的動力學機制，并通過數值仿真實驗呈現企業競爭的動態演化規律.

2 生態競爭模型

假設x1(t)，x2(t)，x3(t)分別表示企業1、2、3在t時刻的產出水平，這三個量均為時間t的函數.為了分析的方便，這里的時間t不僅包含一般時間的含義，而且還包含技術、信息、成本、專業化和分工等影響產出水平的因素.

Lotka-Volterra競爭模型描述了這三個企業間的競爭：

dx1dt=α1x1(1－x1N1－γ12x2N2－γ13x3N3)，

dx2dt=α2x2(1－x2N2－γ21x1N1－γ23x3N3)，

dx3dt=α3x3(1－x3N3－γ31x1N1－γ32x2N2)， （1）

其中，α1，α2，α3是三個企業的產出水平在獨立生存狀態下的固定增長率，N1、N2、N3是其對應的最大產出水平，γij表示企業i與j之間的競爭系數，這里假設γij=γji.

本文將市場定義為以下三類：

Ⅰ.完全合作市場：當γij<1時，所有的企業之間的競爭相對較弱，每個企業都能取得一定的發展.需要說明的是，這里所謂的“合作”只是意味著較弱的競爭，并不考慮真正的合作現象.

Ⅱ.完全競爭市場：當γij>1時，所有的企業之間存在強的競爭，只有一個企業能在競爭中獲勝，最終取得全部市場.

Ⅲ.混合市場：在這種市場中，兩個企業之間競爭較弱，他們與第三個企業之間存在強的競爭.

下面，本文將分析在這三種市場中企業競爭的動力學機制和動態演化過程.

3 企業競爭動態演化的分析

采用微分方程定性理論[9]分析系統（1）中的平衡點.由定態方程，得到模型的平衡點分別為：P0=（0，0，0）；P1=（N1，0，0），P2=（0，N2，0），P3=（0，0，N3），P1、P2、P3表示只有一個企業能獲勝；P12=（N11+γ12，N21+γ12，0），P13=（N11+γ13，0，N31+γ13），P23=（0，N21+γ23，N31+γ23），P12，P13，P23表示兩個“合作”企業將在競爭中獲勝；P123表示三個企業各自占有一份市場的情形.為了計算上的方便，這里假設完全對稱的條件：γ12=γ13=γ23=γ，α1=α2=α3=α，N1=N2=N3=N，P123=（N2γ+1，N2γ+1，N2γ+1）.

為了進行平衡點的穩定性分析，計算Jacobian矩陣，

α1－2α1N1y1－α1γ12N2y2－α1γ13N3y3－α1γ12N2y1－α1γ13N3y1－α2γ12N1y2α2－2α2N2y2－α2γ12N1y1－α2γ23N3y3－α2γ23N3y2－α3γ13N1y3－α3γ23N2y3α3－2α3N3y3－α3γ13N1y1－α3γ23N2y2，（2）

其中的y1、y2、y3分別表示平衡點中的對應分量，并計算相應矩陣的特征值，結果如下：

①對于P0=（0，0，0），Jacobian矩陣的特征值為ζ1=α1，ζ2=α2，ζ3=α3，所有的特征值大于0，P0是不穩定的，三個企業都將從零開始發展壯大.

②P1=（N1，0，0），Jacobian矩陣的特征值為ζ1=α3－α3γ13，ζ2=－α1，ζ3=α2－α2γ12.

P2=（0，N2，0），對應的特征值為ζ1=－α2，ζ2=α1－α1γ12，ζ3=α3－α3γ23；

P3=（0，0，N3），對應的特征值為ζ1=α1－α1γ13，ζ2=α2－α2γ23，ζ3=－α3.

以P3為例進行分析.當γ13>1，γ23>1，即企業3與企業1、2同時都存在強的競爭時，P3是穩定的.完全競爭市場競爭模型的仿真實驗（見圖1，

其中α1=α2=α3=1，N1=N2=N3=1，γ12=γ13=γ23=1.5）表明，若初始值的位置靠近P3，則軌線會趨于平衡點P3.因此，在完全競爭市場，競爭的初始實力決定了競爭的最終結果.

圖1 完全競爭市場競爭模型

同時，由于參數γ12沒有影響P3的穩定性，在混合市場（企業1和企業2“合作”）， P3也是穩定的.混合市場競爭模型的仿真實驗（見圖2， 其中α1=α2=α3=1，N1=N2=N3=1，γ12=0.5，γ13=γ23=1.5）表明，當初始值接近P3時，軌線也將收斂到平衡點P3.

③對于P12=（N11+γ12，N21+γ12，0），特征值為

ζ1=α3(1+γ12－γ13－γ23)1+γ12，

ζ2=α2+α1-α22-2α1α2+α21+4α2γ212α12(1+γ12)，

ζ3=α2+α1+α22-2α1α2+α21+4α2γ212α12(1+γ12).

以P12為例進行說明.當γ12<1，γ13+γ23>1+γ12，即企業1和企業2“合作”，都與企業3有強的競爭時，P12是穩定的.圖2中也表明，當初始值接近P12時，軌線將收斂到平衡點P12.

圖2 混合市場競爭模型

由此可見，初始實力在混合市場的競爭中依然是決定因素.

P13=（N11+γ13，0，N31+γ13），其特征值為

ζ1=α2(1+γ13-γ12-γ23)1+γ13，

ζ2=-α3+α1-α23-2α1α3+α21+4α3γ213α12(1+γ13)，

ζ3=-α3+α1+α23-2α1α3+α21+4α3γ213α12(1+γ13);

P23=（0，N21+γ23，N31+γ23），其特征值為

ζ1=α1(1+γ23-γ12-γ13)1+γ23，

ζ2=-α3+α3-α23-2α2α3+α22+4α2γ223α32(1+γ23)，

ζ2=-α3+α3+α23-2α2α3+α22+4α2γ223α32(1+γ23).

P13與P23的分析與P12類似.

④對于P123=（N2γ+1，N2γ+1，N2γ+1），特征值為

ζ1=(γ-1)α2γ+1，

ζ2=(γ-1)α2γ+1，

ζ3=－α，

當γ<1，所有企業都處在弱的競爭狀態，即在完全合作市場，P123是穩定的.完全合作市場競爭模型的仿真實驗（見圖3，其中α1=α2=α3=1，N1=N2=N3=1，γ12=γ13=γ23=0.5

）表明，在弱競爭狀態下，三個企業的發展水平將收斂到P123.

圖3完全合作市場競爭模型

4數值仿真實驗

為了更清楚地理解企業之間的競爭，以下將通過數值仿真實驗來模擬企業競爭的動態演化過程.

1）在完全競爭市場，三個企業之間都存在強的競爭，此時競爭將導致實力最強的企業將戰勝其他實力較弱的企業，并最終能達到自己的最大產出水平（見圖4， 其中α1=α2=α3=1，N1=N2=N3=1，γ12=γ13=γ23=1.5，初始條件:x1(0)=0.2，x2(0)=0.3，x3(0)=0.5）.

時間t

圖4 企業3將贏得競爭

2）在混合市場中，企業的初始水平將決定到底是“合作”企業獲勝還是與之對抗的企業獲勝.當“合作”企業的初始水平與對抗企業相差不大時，“合作”企業將贏得競爭.同時，由于獲勝的“合作”企業之間競爭較弱，使得雙方的產出能力都不能達到各自最大的水平.當“合作”企業的初始水平遠低于對抗企業時，“合作”企業在競爭中失敗.此時，對抗企業卻能通過發展達到其最大產出水平（見圖5，其中α1=α2=α3=1，N1=N2=N3=1，γ12=0.5，γ13=γ23=1.5，初始條件:x1(0)=0.2，x2(0)=0.3，x3(0)=0.5和圖6， 其中α1=α2=α3=1，N1=N2=N3=1，γ12=0.5，γ13=γ23=1.5，初始條件:x1(0)=0.2，x2(0)=0.3，x3(0)=0.8）.在實驗中也發現，勝負的結果與“合作”企業之間的競爭水平關系不大（見圖7，其中α1=α2=α3=1，N1=N2=N3=1，γ12=0.8，γ13=γ23=1.5，初始條件:x1(0)=0.2，x2(0)=0.3，x3(0)=0.5

）.

時間t

圖5 “合作”企業1和2贏得競爭

3）在完全合作市場中，由于所有企業之間的競爭較弱，影響了所有企業的產出水平，雖然最終的產出水平都趨于穩定，但遠小于企業所能達到的最大產出水平（見圖8，其中α1=α2=α3=1，N1=N2=N3=1，γ12=γ13=γ23=0.5，初始條件:x1(0)=0.2，x2(0)=0.3，x3(0)=0.5）.

5 結 論

本文以三個企業為例分析企業間競爭的動態演化規律，通過微分方程定性理論分析了企業間競爭可能出現的不同情況以及穩定性條件，通過數值仿真實驗動態的展示了競爭的演化過程：在完全競爭市場，實力強的企業將戰勝其他企業；在完全合作市場，所有的企業都能發展，但產出水平不能達到各自

的最大水平；在混合市場，實力也將決定競爭的勝負，當“合作”企業的實力與對抗企業之間相差不大，“合作”企業獲勝，然而，“合作”企業均無法達到各自最大的產出水平，對抗企業的實力若遠大于“合作”企業，“合作”企業將失敗，此時，對抗企業最終能獲得自己的最大產出水平.由于本文的分析是在三個企業的競爭基礎上展開，并將競爭與合作的情況全面考慮，因而，所得到的結果更具有一般意義，是對傳統二維模型的有效擴展.

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