高斯過程函數的中心極限定理與應用

摘 要 采用Wiener空間的兩個算子以及相關的恒等式，提出了新的方法證明了關于高斯過程函數的中心極限定理，并給出了該中心極限定理的應用實例.

關鍵詞 導數算子； Malliavin隨機變分；中心極限定理；高斯過程

中圖分類號 O211 文獻標識碼 A

Central Limit Theorem for Function of Gaussian Process and Its Applications

SUNLin

(Applied Mathematics， Guangdong University of Technology， Guangdong， Guangzhou 510090， China)

AbstractUsing two operators and the relative identity of Wiener space， this paper presented a new method to provethe central limit theorem for function of Gaussian process. Furthermore， the applications of this central limit theoremwere presented.

Keywords derivative operator; Malliavin calculus; central limit theorem; Gaussian processes

1引 言

前蘇聯著名概率論學者Gnedenko和Kolmogrov曾說過“概率論的認識論的價值只有通過極限定理才能被揭示，沒有極限定理就不可能去理解概率論的基本概念的真正含義” [1].因此研究統計量或者隨機變量的統計特性，最重要的就是研究其極限理論.而實際問題中所獲得的很多數據都可以認為來自高斯過程函數總體，比如來自正態隨機變量就可以看成來自關于高斯過程恒等映射的總體.從而自上世紀30年代起，概率極限理論已獲得完善的發展.近年來關于高斯過程函數的統計特性成為研究中的熱門方向之一，大量學者研究了關于高斯過程函數的極限定理，如Nualart和Peccati (2005)[2]，Nualart和Ortiz-Latorre (2008)[3]， Peccati (2007)[4] ，Hu和Nualart(2005)[5] ，Peccati和Taqqu (2008)[6]以及Peccati和Taqqu (2007)[7].大量的文獻如Deheuvels、Peccati與Yor (2006) [8]，Hu和Nualart(2009) [9] 應用了該定理.

本文首先利用Malliavin隨機變分法，通過導數算子和散度型算子，并利用恒等式構造了證明高斯過程函數的中心極限定理的新方法，該證明避免了采用Dambis-Dubins-Schwarz以及Clark-Ocone公式.進一步結合具體實例，給出了該中心極限定理的應用.

2 主要結論及其證明

定理 1[3]：設定k≥2，且Fnn≥1為k階維納混沌中平方可積隨機變量序列.若lim n→+

EF2n=‖fn‖2H⊙k→σ2，則當n→

時，下面命題是等價的：

ⅰ）Fn→N(0，σ2)；

ⅱ）lim n→

EF4n→3σ2；

ⅲ）對于所有的1≤l≤k－1，有

lim n→+

‖fnlfn‖2H2(n－1)=0；

ⅳ）‖DFn‖2HL2(Ω)n→+

kσ2，

其中，fn是關于隨機變量Fn的平方可積核函數，

fnlfn表示兩核函數的l次指數壓縮.

證明 將采用下面的證明路線:ⅳ)ⅰ)ⅱ)ⅲ)ⅳ).

1）ⅳ)ⅰ)

不失一般性，令σ2=1，則由已知條件‖DFn‖2HL2(Ω)n→+

σ2，待證當n→+

時，有依分布收斂Fn→ε～N(0，1)成立.也就是說對于任意二次連續可微有界函數φ#8226;有下面式子成立：

lim n→+

Eφ(Fn)=Eφ(ε). (1)

對于0≤t≤1，定義

ψt=EφtFn+1－tε.(2)

注意到ψ0=Eφε且ψ1=EφFn，由微積分基本定理知

EφFn－Eφε

=ψ1－ψ0=∫10ψ′tdt. (3)

另一方面，利用Malliavin隨機變分恒等式

δDF=kF與E［〈DF(ξ)，u((ξ))〉］=E［DF(ξ)δu(ξ)］，易知∫10ψ′(t)dt可以表示為：

∫10ψ′tdt=∫10ddtEφtFn+1－tεdt

=∫10EddtφtFn+1－tεdt

=12k∫10Eφ″tFn+1－tε‖DFn‖2dt

-12∫10Eφ″tFn+1－tεdt

=12∫10Eφ″tFn+1－tε#8226;

1k‖DFn‖2－1dt. (4)

由式(3)和式(4)知

EφFn－Eφε

=12∫10Eφ″tFn+1－tε#8226;

1k‖DFn‖2－1dt.(5)

兩邊取絕對值，并利用φ#8226;的二階導的有界性以及假設條件‖DFn‖2HL2(Ω)n→+

k，則有

EφFn－Eφε

=12∫10Eφ″tFn+1－tε#8226;

1k‖DFn‖2－1dt→0.

故lim n→+

Eφ(Fn)=Eφ(ε)成立，即有當n→

時，Fn→N(0，σ2).

2）ⅰ)  ⅱ)

首先由參考文獻Nualart（2006）知對于任意p≥2，有

EFnp≤ckEFn2， (6)

其中，ck∈R且與n獨立.

式（4)結合假設條件lim n→+

EF2n=σ2可得當n→

時，

EFnp≤ckEFn2→ckσ2.(7)

則對于任意p≥2，有

sup nEFnp<+

.(8)

進一步根據假設當n→

時，Fn→η～N(0，σ2)，根據期望的連續性有EF4n→Eε4，從而要證明lim n→

EF4n→3σ2，只需證Eη4→3σ2即可.

令X～N(0，σ2)且Y=Xσ～N(0，1)，則對于任意n≥0，有

Eηn=EXn=σnEXσn=σnEYn.

另一方面，隨機變量Y的特征函數可以表示為

φt=EeitY=e－t22=∑+

n=0－1nt2n2nn!

=∑+

n=01n!φn0tn=1－t22#8226;1!+

t422#8226;2!－t623#8226;3!+…，

其中，φn00，n=2k+1，

－1k2k!2kk!，n=2k.

從而

EYn=φn0in=0，n=2k+1，

2k!2kk!=n!!，n=2k.(9)

令n=4，則有EYn=4!222!=3.

3）ⅱ)ⅲ) 見參考文獻Nualart和Peccati(2005).[2]

4）ⅲ)ⅳ) 見參考文獻Nualart和Ortiz-Latorre(2008).[3]

3應用實例

由定理1可知：若Fnn≥1為k≥2階維納混沌中平方可積隨機變量序列.且lim n→+

EF2n→σ2，則如果要證明當n→

時，Fn→N(0，σ2).只需證明‖DFn‖2HL2(Ω)n→+

kσ2即可.該定理在證明統計量以及隨機變量的函數滿足中心極限定理時非常有用.下面給出該定理的應用例子.

首先由于林德伯格—勒維中心極限定理在概率中有著重要地位，是數理統計中大樣本統計推斷的理論基礎.該定理說明如果現實生活中的某個量是由許多獨立的因素影響疊加而成的，而其中偶然因素的影響又是一致得微小，則可以斷定這個量近似服從正態分布.可采用定理1來證明該定理.

實例1(林德伯格—勒維定理) 設X1，X2，…，Xn，…是獨立同分布的隨機變量序列， 且

E(Xi)=μ，Var(Xi)=σ2，i=1，2，…，n，…

則∑ni=1Xi－nμσn→N(0，1).

證明 該定理表明：當n充分大時， n個具有相同期望和方差的獨立同分布的隨機變量之和近似服從正態分布.雖然在一般情況下， 很難求出X1+X2+…+Xn分布的具體形式， 但當n很大時， 可求出其近似分布.由定理結論有

∑ni=1Xi－μn→N(0，σ2).(10)

采用定理1來證明式(10).證明的關鍵在于找到合適的函數序列Fn∈Hk使得當n→

時：有EF2n→σ2且‖DFn‖22L2(Ω)kσ2.

對于任意k≥1，令ξi=Xi－μ，i=1，2，…，n，則ξi為獨立且服從標準正態分布的隨機變量.進一步令Fn=1nhkξ1+hkξ2+…+hkξn，這里k≥1且hk#8226;為厄米多項式(詳見參考文獻Nualart (2006)).另一方面，

EF2n=E1nhkξ1+hkξ2+…+hkξn2

=1nnEh2kξ1=1k!=σ2. （11)

同時根據導數算子的定義知，對于1≤i≤n，有DiFn=0，…，1nh′kξi，0…0，故

‖DFn‖22=D1Fn2+D2Fn2+…+

DnFn2→Eh2k－1ξ1

=1k－1!=kσ2.(12)

由式(11)和式(12)知EF2n→σ2且‖DFn‖22L2(Ω)kσ2成立，從而林德伯格—勒維定理證畢.

實例 2(高斯移動平均)考慮獨立高斯時間序列Znn≥0，滿足EZn=0且

VarZn=σ21－λ，n=0；

σ2，n≥1，

這里λ2<1.再定義迭代過程

X0=Z01－λ2，Xn=λXn－1+1－λ2Zn，n≥1.

則Xn可以表示為

Xn=∑nj=0cn－jZj .

其中cn－j=λn－j.易證Xn是平穩遍歷時間序列且滿足

EX0=0，

VarXn=1.

下面證明∑ni=1Xin→N(0，1).利用定理1，需要構造合理的Fn，令

Fn=1nhkX0+hkX1+…+hkXn，

其中，k≥1且hk#8226;為厄米多項式(詳見參考文獻Nualart (2006))，則顯然Fn∈Hk，且有

EF2n=E1nhkX0+hkX1+…+hkXn2

=1nnEh2kX1=1k!=σ2，

以及

‖DFn‖22=D1Fn2+D2Fn2+…+DnFn2

→Eh2k－1X1=1k－1!=kσ2.

根據定理1知Fn→N(0，1).取k=1以及利用厄米多項式h1x=x知∑ni=1Xin→N(0，1).

實例 3 (帶漂移項的布朗運動)20世紀初，Bachelier采用帶漂移的布朗運動來刻畫股票的價格行為模式，即：

St=s0+σBt，t∈0，T.

顯然St為均值為S0，方差為σ2的高斯過程.固定觀察間隔h，得到觀察量Sh，…，Sjh，…，Snh，令 t=h，…，jh，…，nh′，Bt=Bh，…，Bjh，…，Bnh′，S0=s0，…，s0，…，sn′與S=Sh，…Sjh…Snh′.從而該隨機向量的聯合分布密度函數可以表示為

LS;σ2=2π－n2Γ－12#8226;

exp－12S－S0′Γ－1S－S0，(13)

其中，

Γ=［Cov［Si，Sj］］i，j=1，2，…，n=σ2［Cov ［Bi， Bj］］i，j=1，2，…，n =σ2［i∧j］i，j=1，2，…，n.

對式(13)兩邊取對數，并對σ2求導可得其極大似然估計量

2=1nS′Γ－1St′Γ－1t－t′Γ－1Y2t′Γ－1t.(14)

于是利用定理1得出由式(14)給出的估計量的中心極限定理.令

Fn=1σ2n22－σ2

=1σ2n21nS′Γ－1St′Γ－1t－t′Γ－1Y2t′Γ－1t－σ2，

顯然有

lim n→

EFn=E1σ2n2σ^2－σ22

=1σ4n2σ4nnn+2－2n+2+3+σ4－2σ2n－1nσ2

=1.(15)

另一方面將St=s0+σBt代入式(15)并對其求Malliavin導數可得

DFn=12n2DB′tΓ－1Bt－2t′Γ－1Btt′Γ－1DBtt′Γ－1t，(16)

其中

DBt=(1［0，h］(s)，1［0，2h］(s)，…，1［0，nh］(s))′.由式(16)知

‖DFn‖2H=2n‖DB′tΓ－1Bt‖2H+t′Γ－1Bt2‖t′Γ－1DBt‖2Ht′Γ－1t2－2t′Γ－1DBt〈DB′tΓ－1Bt，t′Γ－1DBt〉Ht′Γ－1t

=2nB′tΓ－1Bt－t′Γ－1Bt2t′Γ－1t=22σ2. (17)

根據式(15)和式(17)，結合定理1知

Fn=1σ2n2σ^2－σ2～N0，1

4結 論

本文主要采用了新的方法證明了關于高斯過程函數的中心極限定理，并將給出了該定理的具體應用.雖然本文只給出了一維情況下的中心極限定理，但對于多維情況，可以得到類似的結論.當然，除了研究高斯過程函數的幾乎處處中心極限定理之外，對高斯過程函數的幾乎處處大偏差性質、幾乎處處局部中心極限定理及幾乎處處中心極限定理收斂度等問題需進一步研究.

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