基于VaR和集中度約束的貸款組合優化模型

摘 要 資產負債管理是把資產與負債組合視為有機整體，協調流動性、安全性和贏利性.本文通過資產的集中度約束把銀行資產合理分配在不同行業中，有效降低銀行資產集中度風險，通過能反映銀行風險承受能力的VaR約束控制了貸款組合風險.應用實例的結果表明，本模型能夠謀求“三性”的最佳配置，有效降低銀行經營過程中的集中度風險和流動性風險，并實現銀行經營效益的最大化，這對銀行的貸款管理具有重要的現實意義.

關鍵詞 貸款組合；集中度風險；流動性風險；資產負債

中圖分類號 F224.3文獻標識碼 A

Loan Portfolios Optimization Model Based on VaR and Concentration Constraint

YANGZhong-yuan1，2， XUWen1

(1. Bank of Dalian， Dalian，Liaoning， 116001，China;

2. Chinese Academy of Social Science， Institute of Finance Banking， Beijing 100732，China)

AbstractAsset-liability management is to regard asset-liability portfolio as an organic integrity to balance mobility， security and profitability between them. Bank assets were allocated to different industries by asset concentration constraint， which reduced the bank asset concentration risk effectively. The VaR constraint， which reflectedthe bank risk tolerance ability， controled the loan portfolio risk. The practical case’s results show that this model can reach the optimal allocation among “mobility-security-profitability”， lowering the concentration risk and mobility risk effectively in bank operation and realizing the optimal bank operation effectiveness， which is practically significant toloan management.

Keywordsloan portfolio; risk of concentration; liquidity risk; asset-liability

1 引 言

銀行危機的實質在于銀行資產配置失誤而導致的流動性不足[1].資產負債管理是一種總體風險控制與資源配給方法，是把資產與負債組合視為有機整體，協調流動性、安全性和贏利性，以資產負債管理控制銀行的綜合風險已成為有關各方關注的熱點.特別是銀行貸款急劇增加時，有效的資產負債管理對銀行的健康發展顯得尤為重要.

根據控制或管理的側重點不同，現有的資產負債管理模型可分為三大類：

第一類是基于風險最小化的資產分配模型研究.Yi等利用投資組合收益的均值方差度量風險，研究了多時段的資產負債管理[2].Calafiore以投資期內的累積風險最小為目標，建立了多時段投資組合模型[3].印凡成等[4]用S型隸屬函數刻畫投資者對投資收益、投資風險、流動性水平的滿意度，構建了半絕對偏差投資組合模型.這種模型的特點是追求銀行資產風險最小化.

第二類是基于收益最大化的資產分配模型研究.Yang等給出了收益最大的多階段動態的資產組合選擇優化模型[5].Chiu和Li研究了基于安全第一準則下的盈余最大化的資產負債管理[6].遲國泰等建立了資產負債組合優化決策模型，解決了商業銀行各種資產數量的優化配置問題[7].這類方法的特點是追求組合收益最大化.

第三類是基于收益和風險因素的資產分配模型研究.Grebeck等利用隨機規劃研究了風險最小和預期收益最大的資產組合問題[8].Perez等利用妥協規劃法求解了資產組合優化模型，并給出了資產組合的夏普單指數模型[9].Roman等建立了組合收益預期價值、方差以及CVaR的多目標資產組合優化模型[10].Shing和Nagasawa建立了期望收益最大和組合風險最小的多目標隨機規劃模型[11].這類模型的缺點是當目標定得較高時，則會導致銀行面臨較大的風險.

本文通過資產的荷芬達爾指數控制銀行資產在不同行業中的分配，使集中度風險在銀行可控的范圍內，通過能反映銀行風險承受能力的VaR約束控制了貸款組合風險，從而實現銀行資產負債的合理匹配.

2 貸款組合優化模型

2.1 目標函數表達式的建立

第k行業第i個貸款的平均收益率：

i，k=1m∑mj=1rij，k，(1)

其中，rij，k為第k行業第i個貸款的第j年收益率，m為貸款的期限.

貸款組合的期望收益率的表達式為

μ(X)=∑mk=1∑nki=1xi，ki，k， (2)

其中，i，k為第k行業第i個貸款的平均收益率，xi，k為第k行業第i筆貸款的比重.

各項貸款方差和協方差進行估計式:

σ2i，k=1m－1∑mj=1(rij，k－i，k)2， (3)

σil=1m－1∑mj=1(rij，k－i，k)(rlj，k－l，k). (4)

銀行貸款組合的風險表達式為

σ2(X)=∑mk=1∑nki=1x2i，kσ2i，k+

∑mk，p=1∑nki≠l=1xi，kxl，pρilσi，kσl，p.(5)

其中，

SymbolrA@ il為兩種不同貸款收益率的相關系數.

2.2 約束條件的建立

2.2.1 法律法規約束

商業銀行依據商業銀行法和中央銀行的監管條例，并根據自身的內部條件和經營環境總結出的資產負債比例，可以有效減少流動性風險，這些法律法規的監管約束[12]主要有：

1)備付金比例:

z1+z4≥5%∑mk=1∑nki=1xi，k .(6)

2)法定存款準備金比例:

z2 =6%.(7)

3)系統內存款準備金比例:

z3 =7%.(8)

4)基于流動性的庫存現金比例:

z1 ≥0. 06%.(9)

5)基于盈利性的庫存現金比例:

z1≤1.5%. (10)

6)拆出資金比例:

z5+z6≤8%(1–z2-z3-z4).(11)

7)存、貸比例，即

∑mk=1∑nki=1xi，k≤75%.(12)

8)非負約束

0≤xi，k≤1，0≤zi≤1. (13)

9)平衡關系式

∑mk=1∑nki=1xi，k+∑6i=1zi=1.(14)

2.2.2 VaR約束

法律、法規約束只能反映監管的合規性，而不能反映銀行自身的風險承受能力對帶寬分配的影響，所以需要引入VaR約束將風險值控制在銀行的可承受能力之內.

VaR=Φ-1(1-c)σ(X)-μ(X) ，(15)

其中，Φ(#8226;)為標準正態分布的分布函數，σ(X)為貸款組合的收益率的標準差，μ(X)為貸款組合的期望收益率.

一定的置信水平下，把預期損失VaR在控制在一定的范圍內，因而構造VaR約束條件為

Φ-1(1-c)σ(X)-μ(X)≤VaR. (16)

2.2.3 資產集中度約束

若貸款過度集中在某個行業，則會導致銀行資產集中度風險過大，因而通過合理的調配貸款在各個行業的集中程度顯得尤為重要.

第k行業的貸款占貸款總額的比重：

sk=∑nki=1x(k)i.(17)

貸款的荷芬達爾指數:

RH=∑mk=1s2k.(18)

荷芬達爾指數越大，表明貸款集中度越高，貸款集中度風險也就越大，反之，貸款集中度風險越小.

貸款集中度風險約束條件為

RH=∑mk=1s2k≤C，(19)

其中，C為銀行集中度風險的閾值上限.

銀行通過歷史數據測算自身集中度風險的閾值上限C，只要貸款的集中度RH小于閾值C，就說明貸款集中度風險在銀行的可控范圍內.

2.3 模型的建立

以式(4)貸款組合風險最小為目標函數:

Obj1 Min σ2(X)=∑mk=1∑nki=1x2i，kσ2i，k+

∑mk，p=1∑nki≠l=1xi，kxl，pρilσi，kσl，p.(20)

Obj 2 Max μ(X)=∑mk=1∑nki=1xi，ki，k.(21)

以式(6)~(14)的法律法規、風險價值VaR式(16)、集中度RH式(19)為約束條件.

3 應用實例

3. 1 ABC 銀行的基本數據

某銀行現有資金頭寸設為1個單位，該銀行實際執行的資產利率表見表1.

在房地產業、交通及物流、制造業、基建行業、零售業、服務業6個不同行業中，采集了180個企業以往的貸款年收益率作為樣本數據，見表2.

3.2 貸款組合優化模型的建立與求解

根據歷史數據，銀行決策者結合風險事件來確定集中重度風險的承受能力.根據表1和表2中的相關數據，代入式(20)和式(21)可以得到資產風險最小化和收益最大化兩個目標函數.根據約束條件式(6)~(19)，構建法律法規約束、VaR約束和資產集中度約束條件.

假設銀行根據自身的風險承受能力，給定VaR=5%，c=95%，銀行的集中度風險的閾值上限C分別取四個離散點25%、30%、35%、40%，通過Matlab可以求解雙目標優化模型，資產組合的收益、風險、行業集中結果見表3.

3.3 對比分析

3.3.1 資產的行業分布分析

根據表3中1~8行，以房地產業、交通及物流、制造業等6個行業為橫坐標，資產分配比重為縱坐標，得到不同集中度約束下的資產分配對比圖，如圖1所示.

表3和圖1反映出資產的行業分布特點是：

1)銀行在收益較高行業投放貸款比重大，隨著銀行風險集中度閾值的增大，銀行在貸款收益較高的行業投放的貸款額度隨之增大.

2)銀行在收益較低行業投放貸款比重小，隨著銀行風險集中度閾值的增大，貸款收益較低的行業投放的貸款額度隨之減小.

3)現有模型由于沒有考慮銀行自身的集中度風險承受能力，將51.75%的貸款投放給收益最高的房地產行業.

圖1 不同集中度約束下的資產分配比重

3.3.2 收益與集中度的關系

在3.2.1的模型中，對銀行的集中度風險的閾值C連續取值，可以得到資產組合收益率與集中度閾值之間的對應關系，如圖2所示.

集中度C

圖2 資產組合收益率與貸款集中度關系

在圖2中，C*為銀行所承受的最大貸款集中度，C0為現有模型確定的貸款集中度，Rmax為資產組合的收益率的最大值.

從圖2揭示了資產組合收益與集中度具有如下對應關系：

1)當C*≤C0時，資產組合的收益率隨著貸款集中度閾值的增大而增大.

2)當C*＞C0時，資產組合的收益率不會無限的增大，而是趨于定值Rmax.

3)資產組合的收益率受到銀行所承受的最大貸款集中度C*的約束.

綜上，本模型在集中度風險控制方面要優于現有模型.據銀行的自身集中度風險承受能力合理分配資產，有效降低了貸款的集中度風險，同時也保證資產組合具有較高的收益.

4 結 論

銀行為了追求收益最大化，將過多的貸款投放到收益較高行業，而在收益較低行業投放貸款比重減小，這導致銀行資產的集中度過高，使銀行面臨巨大的集中度風險.本研究通過設定貸款集中度閾值，將資產合理的分配到各個行業，有效降低了銀行的集中度風險，同時引入VaR約束反映銀行風險承受能力，控制了貸款組合風險.在貸款規模的快速擴張時期，本研究為銀行決策者在宏觀上把握資產分布提供理論支持.

參考文獻

［1］ 葉望春，夏清華.銀行危機對商業銀行資產配置的啟示[J]. 世界經濟，2001，(9):69-72.

［2］ L YI， Z F LI，DLI. Multi-period portfolio selection for asset-liability management with uncertain investment horizon[J]. Journal of industrial and management optimization， 2008， 4(3):535-552.

［3］ CALAFIORE G C. Multi-period portfolio optimization with linear control policies[J]. Automatica， 2008， 44(10): 2463-2473.

［4］ 印凡成，周淳，黃健元.半絕對偏差投資組合模型構建及其應用[J].經濟數學，2010，27(2):57-61.

［5］ G L YANG， S MHUANG， WCHEN. An utilities based approach for multi-period dynamic portfolio selection[J] Journal of systems science and systems engineering， 2007， 16(3):277-286.

［6］ M C CHIU， D LI. Asset-liability management under the safety-first principle[J]. Journal of optimization theory and applications， 2009， 143(3):455-478.

［7］ 遲國泰，徐琤，李延喜.銀行資產負債管理中的資產分配模型[J].大連理工大學學報，2001，41(4):501-504.

［8］ M J GREBECK， S T RACHEV，F J FABOZZI. Stochastic programming and stable distributions in asset-liability management[J]. Journal of Risk，2009，12(2):29-47.

［9］ G B PEREZ， T A BILBAO， L JANTOMIL. Selecting the optimum portfolio using fuzzy compromise programming and Sharpe's single-index model， Applied mathematics and computation， 2006， 182(1): 644-664.

［10］D ROMAN， D K DARBY， GMITRA. Mean-risk models using two risk measures: A multi-objective approach [J]. Quantitative finance，2007，7(4):443-458.

［11］C SHING，H NAGASAWA. Interactive decision system in stochastic multi-objective portfolio selection［J］. International Journal of Production Economics，1999：60-61.

［12］袁樂平，黃博文.基于VaR約束的商業銀行資產負債組合配給模型探討[J].中南大學學報：社會科學版，2005，11(2):217-221.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文