在不允許賣空條件下的最優(yōu)比例再保險投資

摘 要 假設(shè)保險公司的盈余過程服從一個帶擾動項的布朗運動，保險公司可以投資一個無風(fēng)險資產(chǎn)和n個風(fēng)險資產(chǎn)，還可以購買比例再保險，并且風(fēng)險市場是不允許賣空的.本文在均值方差優(yōu)化準(zhǔn)則下研究保險公司的最優(yōu)投資再保策略選擇問題，利用LQ隨機控制方法求解模型，得到了保險公司的最優(yōu)組合投資策略的解析和保險公司投資的有效投資邊界的解析表達(dá)式.

關(guān)鍵詞 HJB方程; 均值方差準(zhǔn)則; 有效邊界;LQ隨機控制

中圖分類號 F224；O213 文獻(xiàn)標(biāo)識碼 A

Optimal Proportional Reinsurance and Investment with No-Shorting Constraint

LU Zhong-ming， GUO Wen-jing

(School of Finance， Nanjing University of Finance economics， Nanjing，Jiangshu 210046)

Abstract The basic claim process is assumed to follow a Brownian motion with drift. In addition， the insurer is allowed to invest in a risk-free asset and n risky assets and to purchase proportion reinsurance. Under the constraint of no-shorting， themean-variance portfolio selection problem was studied. The LQ stochastic control method was applied to get the explicit form of the optimal investment strategies and efficient frontier .

Keywords HJB equation ; mean-variance criterion; efficient frontier; LQ stochastic control

1 引 言

再保險是指保險人通過訂立合同， 將保險人自己承擔(dān)的風(fēng)險通過投保的形式轉(zhuǎn)移給其他的保險人， 以降低自己面臨風(fēng)險的保險行為， 即“保險人的再保險”.從保險人的角度看，再保險行為就是投資行為， 保險人要在收益和風(fēng)險之間權(quán)衡.因此， 再保險問題與投資組合問題有相似之處， 再保險分為比例再保險和非比例再保險兩類.比例再保險，是指保險公司在接受保險業(yè)務(wù)時，如果認(rèn)為所承擔(dān)的保險金額過高，一旦出現(xiàn)危險，將超過自己的償付能力，于是按一定比例把一部分保費轉(zhuǎn)讓給其他保險公司（稱為再保險公司）以共同承擔(dān)風(fēng)險.為了保證保險公司對保險對象及時履行經(jīng)濟(jì)賠償?shù)牧x務(wù)，確保公司的賠償能力，保險公司必須從保費收入中提存一定的準(zhǔn)備金，這樣才能保證保險公司在賠償時有足夠的資金來源.通過再保險， 保險公司將自己承保業(yè)務(wù)的一部分轉(zhuǎn)讓給其他保險公司， 從而分散所承擔(dān)的風(fēng)險.現(xiàn)代保險公司普遍采用再保險來分散危險，通過簽訂再保險合同， 原保險人可以積極大膽地開展業(yè)務(wù)， 承保超過其自身能力所能承擔(dān)的風(fēng)險， 增加業(yè)務(wù)收入， 同時， 使被保險人的需求得到滿足，特別是對于巨額風(fēng)險的保障， 保證企業(yè)生產(chǎn)秩序的正常運作.

由于投資日益成為保險業(yè)的一個重要因素，風(fēng)險模型不僅考慮投保風(fēng)險，也考慮了投資風(fēng)險，近年來這方面引起了很大關(guān)注.除了投資，人們可以還考慮把再保險概念融入到模型之中.事實上，受投資影響或者受投資和再保險的影響，最優(yōu)化各項目標(biāo)已成為精算學(xué)的熱門話題.特別是，最大化指數(shù)期望效用和最小化破產(chǎn)概率是精算學(xué)中兩個重要目標(biāo)函數(shù).

Brown(1995)用連續(xù)的幾何Brown運動模擬保險公司的盈余過程，最早研究了CARA(Constant Absolute risk Aversion)效用最大化以及破產(chǎn)概率最小化目標(biāo)下的最優(yōu)投資策略選擇問題，發(fā)現(xiàn)最優(yōu)的投資策略［1］.Yang和Zhang(2005)考慮了跳躍擴(kuò)散模型中使指數(shù)效用最大化的最優(yōu)投資問題，他們也得到了最優(yōu)策略和值函數(shù)的近似表達(dá)式［2］.運用同樣的擴(kuò)散模型，Promislow和Young(2005)考慮了在受投資和比例再保險影響下，最優(yōu)化破產(chǎn)概率的問題［3］.Luo等人(2008)考慮了和Promislow和 Young(2005)相似的最優(yōu)化問題，而且不允許賣空，也不允許借款［3-4］.

但是，這些文章只考慮了單一的風(fēng)險資產(chǎn)，并且市場是允許賣空的.事實上，保險公司為了減少風(fēng)險，增加利潤，可以將其財富投資多個風(fēng)險資產(chǎn).因此，為了使破產(chǎn)（效用）分析更符合實際，在這里本文考慮的投資市場是包含n個風(fēng)險資產(chǎn)和1個無風(fēng)險資產(chǎn)的資本市場，風(fēng)險市場不允許賣空.除了投資，也假定保險公司可以購買比例再保險來減少潛在的保險風(fēng)險.具體來說，投資多個風(fēng)險資產(chǎn)和購買比例再保險.保險公司的目標(biāo)是最小化最終財富與目標(biāo)財富的偏差.

本文則是在無賣空下研究連續(xù)時間下的均值方差組合問題，這屬于限制范圍下的組合選擇問題，即認(rèn)為市場是不充分的.通過求解LQ(Linear Quadratic)控制問題相對應(yīng)的HJB方程，討論風(fēng)險模型中的最優(yōu)比例再保險問題，借鑒投資組合的均值-方差理論， 研究同時兼顧風(fēng)險和收益的最優(yōu)比例再保險模型，使得終止時刻的實際財富與期望總盈余量的偏差最小，得到了最優(yōu)投資策略的解析形式和保險公司投資有效邊界的表達(dá)式.

2 模型構(gòu)建

根據(jù)Promislow和Young (2005)，構(gòu)建保險公司的盈余過程服從布朗運動：

dC(t)=adt－bdW0(t)，(1)

其中a，b為正的常數(shù)，W0(t)是一維標(biāo)準(zhǔn)Brown運動.假設(shè)保費以常數(shù)c=(1+θ)a比例連續(xù)支付，安全負(fù)載θ＞0.由式(1)得盈余過程:

R(t)=cdt－dC(t)=θadt+bdW0(t). (2)

假設(shè)保險公司可以將盈余進(jìn)行投資到一個金融市場，該市場由一個無風(fēng)險資產(chǎn)和n個風(fēng)險資產(chǎn)構(gòu)成的資本市場.無風(fēng)險的價格過程為

dP0(t)=r(t)P0(t)dt.

風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程服從下面的擴(kuò)散過程：

dPi(t)=Pi(t)［bi(t)dt+∑nj=1σij(t)dWj(t)］，

其中bi(t)表示風(fēng)險資產(chǎn)的瞬時期望收益率；σij(t)表示對應(yīng)Brown運動Wj(t)的瞬時擴(kuò)散率;Wj(t)是一維標(biāo)準(zhǔn)Brown運動.

令b(t)=(b1(t)，b2(t)，…，bn(t))T，σ(t)=(σij(t))n×n，假定對正常數(shù)δ有σ(t)σ(t)′≥δΙ，其中Ι為n階單位矩陣.此外，還可假定保險公司可以購買比例再保險以減少保險損失.因此策略α是一個隨機過程，即（π(t)，q(t)），這里π(t)=(π1(t)，…，πn(t))且πi(t)表示保險公司t時刻在風(fēng)險資產(chǎn)i上的投資量，q(t)表示再保險的比例，q(t)∈(0，1），對于t∈［0，T］.并且本文限制風(fēng)險資產(chǎn)的賣空，即πi(t)≥0，i=1，…，n. 此外保險公司可以從貨幣市場借錢，也就是X(t)－∑ni=1πi(t)不被限制，這里的X(t)是在保險公司采取投資-再保策略α后的盈余過程.動態(tài)的X(t)是

dX(t)=rX(t)+［θ－ηq(t)］adt+

b［1－q(t)］dW0(t)+∑ni=1(μi－r)πi(t)dt+

∑nj=1∑ni=1σijπi(t)dWj(t).(3)

即

dX(t)={rX(T)+［θ－ηq(t)］a+π(t)T(μ－

rIn)}dt+b［1－q(t)］dW0(t)+

π(t)Tσ(t)dW(t)， (4)

其中η＞θ表示再保險的安全負(fù)載，In=（1，1，L，1），μ=(μ1(t)，μ2(t)…，μn(t))，σ(t)=(σij(t))n×n，π(t)=(π1(t)，π2(t)，…，πn(t))T，B=(μ1－r，μ2－r，…，μn－r).令

D=σ(t)′=σ11…σn1σ12…σn1σ1n…σnn，

并且假定D滿足非退化條件：

D′D≥δI，

其中δ＞0為給定的常值，I為n維單位矩陣.

均值-方差組合選擇主要是找到可行的投資策略，也就是動態(tài)的投資組合滿足上述所有限制條件.在這里令e［X(T)］=d，表示保險公司期末財富的期望值，其對應(yīng)的方差為

VarX(T)=E［X(T)－EX(T)］2=E［X(T)－d］2.

保險公司的目標(biāo)就是使得終止時刻的實際財富與期望總盈余量的偏差最小.與一般投資者不同的是，這里的風(fēng)險包括承保風(fēng)險和投資風(fēng)險兩部分.因此，保險公司的投資模型可以建立為

min π≥0，0＜q＜1VarX(T)=E［X(T)－d］2，s.t.E［X(T)］=d.(5)

為了求解最小方差引入拉格朗日參數(shù)λ(λ＞0)，它反應(yīng)了投資者對風(fēng)險的厭惡程度，于是方程(5)轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問題

min π≥0;0＜q＜1E12［X(T)－d］2+2λ［EX(T)－d］s.t.EX(T)=d(6)

顯然式(6)滿足式(5)的最優(yōu)控制，而且式(6)很明顯等價于

min π≥0，0＜q＜1E12［X(T)－(d－λ)］2，s.t.(π，X)滿足(4）.(7)

作變換

Y(t)=X(t)－(d－λ)，(8)

則式(5)變?yōu)?/p>

dY(t)=［Y(t)r(t)+(θ－ηq(t))a+

π(t)T(μ－rIn)+(d－λ)r(t)］dt+

b［1－q(t)］dW0(t)+π(t)Tσ(t)dW(t)，Y(0)=y:=x－(d－λ).(9)

于是問題(7)變?yōu)?/p>

min π≥0，0≤q≤1E［12Y(T)2］.s.t. (π，Y)滿足式(9）. (10)

3 最優(yōu)投資策略和有效前沿3.1 HJB方程

令V(t，y)=min 0≤π，0＜q＜1Et［12Y(T)2］，

其中Et表示起始時間為t、Y(t)=y條件下的條件期望算子.據(jù)文獻(xiàn)［5-10］，要得到最優(yōu)投資策略，需要求解下面形式的HJB方程

Vt+inf 0＜q＜1{［yr(t)+(θ－ηq(t))a+(d－

λ)r(t)］Vy+12(1－q)2b2Vyy}+

inf π≥012π′D′DπVyy+BπVy=0.(11)

由文獻(xiàn)［5］中的引理3.1和3.2可得，當(dāng)VyVyy＜0 時，

inf π≥012π′D′DπVyy+BπVy

=Vyyinf π≥012π′D′DπVyy+VyVyyBπ

=-12V2yVyy‖ξ‖2，(12)

其中ξ(t)=(D′)－1+(D′)－1B，而使得 12‖(D′)－1z+(D′)－1B‖2最小 .

取最值時

π(t，y)=－D(t)－1ξ(t)VyVyy.(13)

當(dāng)π(t，y)=－D(t)－1ξ(t)VyVyy，于是式(11)的HJB方程轉(zhuǎn)化為

Vtinf π≥0{［yr(t)+(θ-ηq(t)a+(d-

λ)r(t)］Vy+12(1-q)2b2Vyy}-12V2yVyy‖ξ‖2=0.(14)

因此要使式(14)值最小，對q求導(dǎo)可得：

q=1+aηb2VyVyy，(15)

下面分VyVyy≤0和VyVyy＞0兩種情形來討論：

(i）當(dāng)VyVyy≤0時，方程式(11)轉(zhuǎn)化為：

Vt+［yr(t)+θa-ηa+(d-λ)r(t)］Vy-

12(a2η2b2+‖ξ‖2)V2yVyy=0.(16)

文獻(xiàn)［2］證明了式(11)形式的偏微分方程解析式存在，并且具有二次形式.這里不妨設(shè)式(7)具有解：

V(t，x)=12P(t)x2+Q(t)x+R(t).

于是

Vt(t，x)=12P(t)′x2+Q(t)′x+R(t)′，

Vx(t，x)=P(t)x+Q(t)，

Vxx(t，x)=P(t) ， (17)

把式(17)代入到方程(16)的左邊可得：

LHS=Vt+［yr(t)+θa-ηa+(d-λ)r(t)］Vy-

12(a2η2b2+‖ξ‖2)V2yVyy=［12P(t)′+

r(t)P(t)-12(a2η2b2+‖ξ‖2)P(t)］y2+

［Q(t)′+r(t)Q(t)+P(t)(θa-ηa+(d-

λ)r(t))-(a2η2b2+‖ξ‖2)Q(t)］+

［R(t)′+Q(t)(θa-ηa+(d-λ)r(t))-

12(a2η2b2+‖ξ‖2)Q(t)2P(t)］.(18)

由式(18)可以看出，若微分方程(19)存在唯一解，則有唯一的最優(yōu)投資策略存在.

12P(t)′+r(t)P(t)－12(a2η2b2+

‖ξ‖2)P(t)=0，P(T)=1.(19)

Q(t)′+r(t)Q(t)+P(t)(θa－ηa+(d－

λ)r(t))－(a2η2b2+‖ξ‖2)Q(t)=0，Q(t)=0. (20)

R(t)′+Q(t)(θa－ηa+(d－λ)r(t))－

12(a2η2b2+‖ξ‖2)Q(t)2P(t)=0，R(T)=0.(21)

求解式(19)，得

P(t)=e ∫Tt［2r(s)－(a2η2b2+‖ξ‖2)］ds，

從而可以算得

Q(t)=e ∫Tt［r(s)－(a2η2b2+‖ξ‖2)］ds∫Tt［θa－ηa+(d－

λ)r(z)］e ∫Tzr(s)dsdz，

R(t)=∫Tt［(θa－ηa+(d－λ)r(v))－12(a2η2b2+

‖ξ‖2)e －∫Tvr(s)ds∫Tv(θa－ηa+(d－

λ)r(z))e ∫Tzr(s)dsdz］e∫Tv［r(s)－(a2η2b2+‖ξ‖2)］ds

#8226;∫Tv(θa－ηa+(d－λ)r(v))e∫Tzr(s)dsdzdv，

由

VyVyy≤0，即VyVyy=P(t)y+Q(t)P(t)=y+Q(t)P(t)≤0，

得

y≤e －∫Ttr(s)ds∫Tt［(η－θ)a－(d－

λ)r(z)］e∫Ttr(s)dsdz，

另外由0＜q＜1算得

e－∫Ttr(s)ds∫Tt［(η－θ)a－(d－λ)r(z)］e∫Ttr(s)dsdz－

b2aη＜y＜e－∫Ttr(s)ds∫Tt［(η－

θ)a－(d－λ)r(z)］e∫Ttr(s)dsdz.

歸納以上推導(dǎo)，并將y換回到x得

定理1 當(dāng)

e－∫Ttr(s)ds∫Tt［(η－θ)a－(d－λ)r(z)］e∫Tzr(s)dsdz－

b2aη+(d－λ)＜x＜e－∫Ttr(s)ds∫Tt［(η－θ)a－

(d－λ)r(z)］e∫Tzr(s)dsdz+(d－λ)

時，存在最優(yōu)策略(π，q)，使得方程(11)最小，即

(π，q)=

－［σ(t)′］－1ξ(t)［x－(d－λ)+e－∫Ttr(s)ds#8226;

∫Tt［(η－θ)a－(d－λ)r(z)］e∫Tzr(s)dsdz］，

1+aηb2［x－(d－λ)+e－∫Ttr(s)ds#8226;

∫Tt［(η－θ)a－(d－λ)r(z)］e∫Tzr(s)dsdz］.(22)

(ii）當(dāng)VyVyy＞0時，使得方程式(11)取最值的π=0，此時(11)式就變?yōu)?/p>

Vt+［yr(t)+θa-ηa+(d-λ)r(t)］Vy-

12a2η2b2V2yVyy=0.(23)

把式(17)代入到方程(23)的左邊可得：

LHS=Vt+［yr(t)+θa-ηa+(d-λ)r(t)］Vy-

12a2η2b2V2yVyy=［12P(t)′+r(t)P(t)-

12a2η2b2P(t)］y2+［Q(t)′+r(t)Q(t)+

P(t)(θa-ηa+(d-λ)r(t))-a2η2b2Q(t)］y+

［R(t)′+Q(t)(θa-ηa+(d-λ)r(t))-

12a2η2b2Q(t)2P(t)］.

( 24)

由式(24)可以看出，若微分方程(25)存在唯一解，則有唯一的最優(yōu)投資策略存在.

12P(t)′+r(t)P(t)－12a2η2b2P(t)=0，P(T)=1.(25)

Q(t)′+r(t)Q(t)+P(t)(θa－ηa+(d－

λ)r(t))－a2η2b2Q(t)=0，Q(T)=0. (26)

R(t)′+Q(t)(θa－ηa+(d－λ)r(t))－

12a2η2b2Q(t)2P(t)=0，R(T)=0.(27)

解微分方程(25)~(27)得

P(t)=e∫Tt［2r(s)－a2η2b2］ds，

Q(t)=e∫Tt［r(s)－a2η2b2］ds∫Tt［θa－ηa+

(d－λ)r(z)］e∫Tzr(s)dsdz.

R(t)=∫Tt［(θa－ηa+(d－λ)r(v))－12a2η2b2

#8226;e－∫Tvr(s)ds∫Tv(θa－ηa+(d－λ)r(z))e∫Tzr(s)dsdz］#8226;

e∫Tv［r(s)－a2η2b2)］ds∫Tv(θa－ηa+(d－

λ)r(v))e∫Tzr(s)dsdzdv.

由VyVyy＞0 ，即 VyVyy=P(t)y+Q(t)P(t)=y+Q(t)P(t)＞0，得y＞e－∫Ttr(s)ds∫Tt［(η－θ)a－(d－λ)r(z)］e∫Ttr(s)dsdz，另外由0＜q＜1算得：

e－∫Ttr(s)ds∫Tt［(η－θ)a－(d－λ)r(z)］e∫Ttr(s)dsdz－

b2aη＜y＜e－∫Ttr(s)ds∫Tt［(η－θ)a－

(d－λ)r(z)］e∫Ttr(s)dsdz，

顯然這兩者矛盾，所以此時不存在最優(yōu)策略.

因此最優(yōu)控制問題(7)的最優(yōu)解為

(π，q)=

－［σ(t)′］－1ξ(t)［x－(d－λ)+e－∫Ttr(s)ds#8226;

∫Tt［(η－θ)a－(d－λ)r(z)］e∫Tzr(s)dsdz］，

1+aηb2［x－(d－λ)+e－∫Ttr(s)ds#8226;

∫Tt［(η－θ)a－(d－λ)r(z)］e∫Tzr(s)dsdz］.(28)

3.2 有效邊界

在這里，令

V(t，y)=mine［12Y(T)2］，

Y(t)=X(t)－(d－λ).

根據(jù)文獻(xiàn)，式(5)的最優(yōu)解可以通過求解LQ優(yōu)化問題得到：

minE［12Y(T)2］s.t.(π(t)，Y(t))滿足式(9）.(29)

本節(jié)推導(dǎo)問題式(29)的有效邊界

E［12Y(T)。2］=E12［X(T)－(d－λ)］2

=E12［X(T)－d］2+λ［EX(T)－d］+12μ2

minE12［X(T)－d］2+λ［EX(T)－d］

=minE12［Y(T)2］－12λ2=V(0，y)－12λ2

=12P(0)y2+Q(0)y+R(0)－12λ2

=12P(0)［x－(d－λ)］2+Q(0)［x－

(d－λ)］+R(0)－12λ2.

當(dāng)0＜q＜1時，在最優(yōu)策略(π，q)，即

π(t，y)=－D(t)－1ξVyVyy=－D(t)－1ξ［y+Q(t)P(t)］時，

P(t)=e∫Tt［(a2η2b2+‖ξ‖2)－2r(s)］ds，

Q(t)=e∫Tt［r(s)－(a2η2b2+‖ξ‖2)］ds∫Tt［θa－

ηa+(d－λ)r(z)］e∫Tzr(s)dsdz，

R(t)=∫Tt［(θa－ηa+(d－λ)r(v))－12(a2η2b2+

‖ξ‖2)e－∫Tvr(s)ds∫Tv(θa－ηa+(d－

λ)r(z))e∫Tzr(s)dsdz］e∫Tv［r(s)－(a2η2b2+‖ξ‖2)］ds

∫Tv(θa－ηa+(d－λ)r(v))e∫Tzr(s)dsdzdv.

將P(0)，Q(0)和R(0)代入上式，因此

min E12［X(T)－d］2+λ［EX(T)－d］取得最小值為：

minE12［X(T)－d］2+λ［EX(T)－d］=

minE12［Y(T)2］－12λ2=V(0，y)－12λ2

=12P(0)y2+Q(0)y+R(0)－12λ2

=12P(0)［x－(d－λ)］2+Q(0)［x－(d－λ)］+

R(0)－12λ2=

12E－(a2η2b2+‖ξ‖2)］T{erT［x－(d－

λ)］+(θa－ηa+(d－λ)r)(erT－1)r}2－12λ2.

根據(jù)Lagrange對偶定理，上式取得最值當(dāng)且僅當(dāng)在

λ=d－xerT－(θa－ηa)(erT－1)r1－e［(a2η2b2+‖ξ‖2)T

時取得.

定理2 保險公司在再保險的情況下的有效邊界由如下表達(dá)式給出

VarX(T)=1e(a2η2b2+‖ξ‖2)T－1#8226;

［(d－xerT)2－(θa－ηa)2(erT－1)2r2e－(a2η2b2+‖ξ‖2)T］.

4 結(jié) 論

從本文模型的求解得到最優(yōu)再保-投資策略的解析式，根據(jù)解析式可以得到如下結(jié)論：1)其他條件不變時，保險公司的安全負(fù)載和初始財富越大，保險公司分配于風(fēng)險資產(chǎn)上的投資量則越少，購買比例再保險的比例也就越大.這表示保險公司應(yīng)當(dāng)將更多資金用于購買比例再保險來降低風(fēng)險；同樣在其他參數(shù)不變的條件下，隨著再保險公司安全負(fù)載的增大，分配于風(fēng)險資產(chǎn)上的投資量越大，購買再保險的比例就越小.這就意味著，保險公司將更多資金用于投資風(fēng)險市場，較少地購買比例再保險.2)其他條件不變，保險公司的預(yù)期目標(biāo)財富越大，分配于風(fēng)險資產(chǎn)上的投資量就越多.很明顯，保險公司想要最終財富越大，就應(yīng)當(dāng)拿更多的錢投資于風(fēng)險資產(chǎn)，因為投資風(fēng)險市場的收益遠(yuǎn)大于無風(fēng)險收益的債券收益.3)若銀行利率越高，保險公司分配于風(fēng)險資產(chǎn)上的投資量就越少.這意味著，當(dāng)銀行利率比較高時，保險公司應(yīng)該拿更多的錢存放于銀行以獲得穩(wěn)健較高的銀行利息收入.因此，本文模型得到的最優(yōu)策略與實際情況基本相符，保險公司可以借助于本文的模型來配置保險公司的資產(chǎn)，以達(dá)到同時兼顧安全性和收益性的要求.

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文