含有信用風險的跳擴散市場的最優組合選擇

摘 要 假定投資者將其財富分配在這樣兩種風險資產中，一種是股票，價格服從跳躍擴散過程；一種是有信用風險的債券，其價格服從復合泊松過程.在均值方差準則下通過最優控制原理來研究投資者的最優投資策略選擇問題，得到了最優投資策略及有效邊界.最后通過數值例子分析了違約強度、債券預期收益率以及目標財富對最優投資策略的影響.

關鍵詞 跳躍擴散過程； 信用風險； 最優投資策略；有效邊界

中圖分類號 O221 文獻標識碼 A

Optimal Portfolio Selection for Containing Credit Risk in a Jump-Diffusion Market

ZHANG Lin，GUO Wen-jing

(School of Finance， Nanjing University of Finance and Economics， Nanjing，Jiangsu 210046)

Abstract Assume that an investor can allocate his wealth dynamically between a risky stock， whose price follows a jump-diffusion process， and a risky bond， whose price is subject to negative jumps due to its credit risk. Its price contains discontinuous sample paths， so it is subject to the compound Poisson process. The optimal investment strategy under the mean-variance principle was studied by the stochastic control approach. The closed and explicit formulas for the optimal investment strategy and the efficient frontier were derived. Finally， the effects of default intensity， the expected rate of return and the wealth target onoptimal investment strategy were analyzed by numerical examples.

Keywords jump-diffusion process; credit risk; optimal investment strategy; efficient frontier.

1 引 言

在現有的文獻中，研究最優投資決策問題時，通常假定風險資產（股票）的價格服從連續的擴散過程［1-6］.但大量的金融實證研究表明：風險資產的價格路徑不是擴散過程，而是在連續中伴隨有跳躍，如股票價格受到突然的沖擊而出現劇烈波動，風險資產的收益率的邊際分布呈現出尖峰厚尾性.為了更接近于實際市場，Merton(1976)最早提出用跳躍擴散過程來擬合風險資產的價格過程.跳躍擴散過程的引入在很大程度上解釋了風險資產價格路徑的不連續性，同時也解釋了尖峰厚尾的特性.

另外，在投資對象中，通常假定債券是無風險資產［4-7］，但在實際金融市場中，債券的價格會受到各種突發情況的影響受到損失，如沒有按時支付利息等.因此，本文考慮的債券不是無風險的，而是有違約風險的資產，本文用復合泊松分布［8］來描述其價格過程.

考慮兩個資產，一個是股票型資產，其價格過程假定為跳躍擴散過程，另一個是有違約風險的債券.本文采用均值方差模型準則來選擇最優投資策略，通過最優控制方法求解模型，解得最優投資策略及有效邊界的解析表達式.

2 模 型

假定投資市場有1支股票，其價格過程服從隨機微分方程：

dS(t)=μS(t－)dt+σS(t－)dW(t)+S(t－)dJ(t)，（1）

其中，μ和σ是常數.{W(t);t≥0}是一個標準布朗運動.J(t)是強度為λ的泊松過程，表示可能發生的跳躍.

另一個投資機會是有信用風險的債券，它的價格服從隨機微分方程：

dB(t)=rB(t－)dt－B(t－)dQ(t)，（2）

其中，Q(t)是一個復合泊松過程，即

Q(t)=∑N(t)i=1Yi，（3）

其中，{N(t);t≥0}是一個簡單的強度為γ的泊松過程，{Yi;i≥1}是一個獨立同分布隨機變量，并且也獨立于泊松過程.Yi是第i次違約時，債券隨機損失的價格百分比.債券的價格非負，并且假定P(0≤Y1≤1)=1.復合泊松過程Q(t)和布朗運動W(t)是相互獨立的.

令wt為t時刻投向股票上的投資量，X(t)是投資者t時刻財富.其中初始財富為X(0)=x，這樣財富過程可表示微分方程.

dX(t)=［X(t)r+(μ－r)wt］dt+wtσdW(t)+

wtdJ(t)－［X(t)－wt］dQ(t). （4）

投資者的目標是在實現終期財富的預定目標水平為b的情況下使得風險最小，因此建立均值方差模型為

min wVarX(T)，

s.t. E［X(T)］=b. （5）

由文獻［6］式（2），令Y(t)=X(t)－(b－m)，其中m∈R+.式（5）等價于二次控制問題:

min wE［12Y(T)2］. （6）

那么方程（4）就變為：

dY(t)=［Y(t)r+(μ－r)wt+(b－m)r］dt+

wtσdW(t)+wtdJ(t)－

［Y(t)+(b－m)－wt］dQ(t)，

Y(0)=y=x－(b－m).（7）

3 最優投資策略

由于某種原因跳躍因素的存在，跳躍擴散過程的關于投資選擇的均值-方差模型中，滿足跳躍擴散過程的驗證性定理的證明參考文獻［5-6］，在此驗證定理的基礎上，應用動態規劃原理，求解模型來得到最優投資策略w的解析式.

定義 稱wt為允許的，若wt為Ft－可料過程且

E(∫T0||wt||2dt)＜

.

引理1假定z(t，x)關于t在時間區間［0，T］上連續可微，關于x在區間(0，

)上二次連續可微，并且是下面變分問題的凸解［5-6］：

inf w{Awz(t，x)+L(t，x;w)}=0，z(T，x)=Ψ(T，x(T))， （8）

w*∈arg sup {Aπz(t，x)+L(x;π)}， （9）

則z(t，x)就是值函數，i.e.z(t，x)=g(t，x)，且w*就是最優控制問題（4）~（5）的最優解.

下面將利用引理1來得到最優投資策略的表達形式.令

g(t，y)=min wE［12(Y(T))2］. （10）

根據引理1，該問題的最優控制必須解HJB方程：

gt(t，y)+min w{［yr+(μ－r)wt+(b－m)r］gy+

12w2tσ2gyy+λ［g(t，y+wt)－

g(t，y)］+γ［E［g(t，y－(y+(b－m)－

wt)Y1)］－g(t，y)］}=0，

g(T，y)=12y2=0 （11）

猜想式（11）的解有如下形式

g(t，y)=12P(t)y2+Q(t)y+R(t).（12）

將式（12）代入式（11）計算整理得

12P′(t)y2+Q′(t)y+R′(t)+

12P(t)min w(λ+γEY21+σ2){wt+

{(μ－r+λ+γEY1)［P(t)y+Q(t)］－γEY21P(t)［y+(b－m)］}22P(t)(λ+γEY21+σ2)

+P(t)ry2+Q(t)ry+(b－m)r［P(t)y+Q(t)］+

γ［12P(t)y2E(－2Y1+Y21)－P(t)(b－

m)yE(Y1－Y21)+12P(t)(b－m)2EY21

－Q(t)(b－m)EY1－Q(t)yEY1］=0，（13）

其中，P′(t)、Q′(t)、R′(t)分別表示函數P(t)，Q(t)，R(t)的一階導數.

容易驗證若P(t)、Q(t)、R(t)滿足

12P′(t)+［r+12γE(－2Y1+Y21)－

(μ－r+λ+γEY1－γEY21)22(λ+γEY21+σ2)］P(t)=0，

P(T)=1，（14）

Q′(t)+［r－γEY1－

(μ－r+λ+γEY1)(μ－r+λ+γEY1－γEY21)λ+γEY21+σ2］Q(t)+［(μ－r+λ+γEY1－γEY21)γEY21λ+γEY21+σ2+

r－γE(Y1－Y21)］(b－m)P(t)=0，

Q(T)=0.（15）

R′(t)=［－12AeA(T－t)+BeB(T－t)+

(μ－r+λ+γEY1)22(λ+γEY21+σ2)eG(T－t)］(b－m)2，

R(T)=0.（16）

則方程（13）有唯一最優控制

w*t=－(μ－r+λ+γEY1)［y+Q(t)P(t)］－γEY21［y+(b－m)］λ+γEY21+σ2.（17）

常微分方程（14~16）有唯一解

P(t)=eA(T－t)，

Q(t)=(b－m)eB(T－t)(eD(T－t)－1)，

R(t)={－12［1－eA(T－t)］+［1－eB(T－t)］+

1G(μ－r+λ+γEY)22(λ+γEY21+σ2)［1－eG(T－t)］}#8226;

(b－m)2.

則 Q(t)P(t)=(b－m)(1－e－D(T－t))，

A=2r+γE(－2Y1+Y21)－

(μ－r+λ+γEY1－γEY21)2λ+γEY21+σ2，

B=r－γEY1－

(μ－r+λ+γEY1)(μ－r+λ+γEY1－γEY21)λ+γEY21+σ2，

D=r－(γEY1－γEY21)+

γEY21(μ－r+λ+γEY1－γEY21)λ+γEY21+σ2，

G=－γEY21+(γEY21)2－(μ－r+λ+γEY1)2λ+γEY21+σ2.

歸納以上討論，有以下結論成立：

定理1 對給定的參數m∈R+和期望財富E［X(T)］=b，最優控制問題（6）的最優控制為

w*t=

-(μ－r+λ+γEY1)［y+(b－m)(1－e－D(T－t))］－γEY21［y+(b－m)］λ+γEY21+σ2. （18）

為了得到最優控制問題（5）的最優解，根據Lagrange對偶定理，只需對參數m∈R最大化最小方差，即

max m{min wVar［X(T)］} ，（19）

即

min w12Var［X(T)］=min wE{12［X(T)－b］2+

m［EX(T)－b］}=min wE［12(Y(T))2－12m2=

g(0，y)－12m2=12P(0)(x－(b－m))2+

Q(0)(x－(b－m))+R(0)－12m2=

12eAT［x2－2x(b－m)+(b－m)2］+(eAT－

eBT)［x(b－m)－(b－m)2］

－A(b－m)2(1－eAT)+B(b－m)2(1－eBT)+

(μ－r+λ+γEY1)22(λ+γEY21+σ2)(b－m)21G(1－eGT)－12m2.（20）

當

m*=－(xeBT－b)(λ+γEY21+σ2)G(μ－r+λ+γEY1)2(1－eGT)+b（21）

時式(12)取最大值.

定理2 對給定的參數m∈R+和期望財富E［X(T)］=b，最優控制問題（5）的最優控制為

w*t=

-(μ－r+λ+γEY1－γEY21)x－(xeBT－b)(λ+γEY21+σ2)G(μ－r+λ+γEY1)(1－eGT)e－D(T－t)λ+γEY21+σ2 .（22）

4 有效邊界

把式（21）代入式（20），可以得到

Var［X(T)］=eATx2－

(xeBT－b)2(λ+γEY21+σ2)G(μ－r+λ+γEY1)2(1－eGT)－b2.（23）

根據有效邊界定義，可以有以結果，即有效邊界由下式給出

E［X(T)］=

xeBT(λ+γEY21+σ2)G(μ－r+λ+γEY1)2(1－eGT)+(λ+γEY21+σ2)G

+（μ-r+λ+γEY1)2(1-eGT)(μ-r+λ+γEY1)2(1-eGT)+(λ+γEY21+σ2)G#8226;

（eATx2-Var［X(T)］-

(xeBT)2(λ+γEY21+σ2)G(μ-r+λ+γEY1)2(1-eGT)+(λ+γEY21+σ2)G）12，

可以看到互助基金定理不成立.

5 數據模擬

下面通過一些數據實例證實含有信用風險的最優投資組合策略隨著各因素的預期值變化而變化的動態性質.

假設證券市場可供投資兩種證券，一種股票，一種有違約風險的債券.市場系數給定如下λ=1，r=0.1，μ=0.3，σ=0.6，初始時間t=0，投資期為T=1（年）.

最優投資策略的動態性質：

為了討論各因素對最優投資策略的影響，設期望收益b=3.5，x=1.5，分別探討違約強度γ和違約損失率EY1以及EY21對最優投資策略的影響.按照γ、EY1、EY21的不同取值根據公式（22）計算得到對應的投資策略見表1.

同理，給定違約強度γ=1，違約率EY1=0.01以及EY21=0.003，按照r，b，x的不同取值，根據公式（22）計算對應的策略見表2.

表1表明違約強度γ，違約損失率EY1越大，分配于股票上的投資量就越多，這意味著投資者要減少投資于含有信用風險債券.而對于EY21則相反，EY21越大，分配于股票的投資量是越小的.

表2表明含信用風險債券的收益率r以及初始財富x越大，則分配于股票上的投資量越少，這說明投資者將更多的資金用于購買債券.而目標財富b越大，分配于股票上的投資量越多，意味著投資者要想獲得更多的收益，則需要投資在股票上更多的資金.

6 結 論

本文討論了有信用風險資產的最優投資策略的選擇問題，在均值-方差準則下，通過最優控制原理得到了最優投資策略及有效邊界的解析形式.最后通過數值例子分析了違約強度、債券預期收益率以及目標財富對最優投資策略的影響.文章結論也可以拓展到有大量的股票和債券下情況.

參考文獻

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文