兩種記分函數下多屬性拍賣投標均衡策略

摘 要 以拍賣人期望收益最大化為機制設計目標，討論兩種不同偏好的記分函數條件下，最高得分密封投標拍賣和連續完全信息多屬性英式拍賣中，賣者的最優投標策略和買者的最優拍賣設計問題.主要結論是：1) 無論選擇哪種拍賣方式和記分函數，拍賣人均有動機隱瞞自己的真實偏好，除非競價人是同質的或參與人數足夠多.2) 競價人最優屬性策略qi﹡與拍賣方式無關，但最優價格策略p﹡與拍賣方式有關.

關鍵詞 多屬性拍賣；記分拍賣；最優競價策略；最優拍賣設計

中圖分類號 F724.59文獻標識碼 A

Research on Multi-attribute Scoring Auction’s Bidding Equivalence Strategy

TANG Shao-ling，LIULin

（Statistics and Financial Mathematics Department of Hunan Normal University，Changsha，Hunan 410081，China）

Abstract Forthe purpose of maximizing auctioneer’s expected payoff，andunder the condition of two kinds of scoring functions with different preferences， this paper discussed the optimal strategies for the bidder and the optimal auction design in First-score sealed-bid auction， Second-score sealed-bid auction and Sequential Full-Information-Revelation Multi-attribute English auction. The research results show that: 1)no matter choosing what kind of auction protocol ， the auctioneer has the motivation to conceal his true preferences under two different scoring functions， unless the bidders are homogeneous or the number of participants is enough.2) The optimal price strategy p﹡  is related with auction protocols. But the bidder’s optimal attribute strategy qi﹡does not so on.Keywords Multi-attribute auctions; scoring auction; optimal bidding strategy; optimal auction design

1 引 言

多屬性拍賣(Multi-attribute auctions)是傳統拍賣的拓展.Bichler（2000）[1]將多屬性拍賣機制定義為：拍賣人與競拍人交易時考慮拍賣品多個屬性的一種拍賣模式，即雙方除價格外還在其他品質屬性上進行多重談判的拍賣模式.多屬性拍賣常用于政府采購，也可用于私人部門的大宗物品的采購，在電子商務領域有著越來越廣泛的應用.有關調查研究顯示[2]：52%以上的工業品的采購業務使用了網上拍賣，且單項合同平均金額超過了$200萬.采購拍賣通常由1個買者（拍賣人）和n個賣者（競價人）組成，拍賣時，雙方就各自對拍賣品的效用和偏好進行溝通.根據行動規則不同，多屬性采購拍賣分為菜單式拍賣(menu auction)、選美式拍賣(beauty contest)和記分拍賣(scoring auction)三種.Asker Cantillon(2008)[3]證明了記分拍賣在各種拍賣環境下均占優于菜單式拍賣和選美式拍賣.在記分拍賣機制設計中，拍賣方需將拍賣品各個屬性的效用及自己的偏好轉化為一個綜合評分函數（即記分函數）；拍買方宣告記分函數后，競價人遞交競標（p，q1，q2，…，qm），其中p為價格，q1，q2，…，qm為m個品質屬性值；爾后，拍賣人根據記分規則來確定中標者，贏標者提供與自己競標信息相符的產品.

單項目下的多屬性記分拍賣機制，主要有最高得分密封投標拍賣、次高得分密封投標拍賣和多屬性英式拍賣三種［4-5］.關于記分拍賣最優機制設計，現有的研究文獻分為兩類，一類選擇使社會福利（市場效率）最大化為目標，另一類選擇使拍賣人期望收益最大化為目標.兩者的主要區別在于拍賣人的均衡策略不同［6-8］：在實現市場效率最大化的記分拍賣中，拍賣人的最優策略是如實宣告自己的真實偏好；而在實現拍賣人期望收益最大化的記分拍賣中，拍賣人可能會隱瞞真實偏好.Asker Cantillon(2008)[3]、David（2006）[5]分別證明了拍賣人刻意隱瞞真實偏好可能會獲得更高的收益.本文主要對應于David的記分函數（可定義為價格屬性偏好型記分函數），提出另一種本文將其定義為品質屬性偏好型的記分函數；并選擇以拍賣人期望收益最大化為機制設計目標，對比分析兩種不同偏好的記分函數下，多屬性最高得分密封投標拍賣和多屬性英式拍賣中的投標均衡策略問題，即賣者最優投標策略與買者最優拍賣設計問題.

2 效用函數與記分函數

2.1 賣者的效用函數

效用函數是競賣人做出最優決策的重要依據.在多屬性記分拍賣中，競賣人的效用函數取決于自己的生產成本以及拍賣項目所要求的屬性（屬性由買者在拍賣前定義，且所有賣者都知道）.設價格屬性為p，其余屬性為qi（i=1，2，…，m）.屬性qi一般為買者偏好而對賣者不利的品質屬性，即qi增加，項目的品質增加，賣者提供它的成本也會增加.若遇上品質增加而成本降低的情形，可將qi設為倒數形式.通常假設拍賣項目的屬性qi是效用獨立的.

每個賣者都擁有關于他們所售產品質量成本的私有信息.設成本參數為θ，買者只知道賣者成本參數θ的分布函數，但沒有關于每個賣者成本參數θ的特定值信息.設θ為[θ-，](0<θ-<<

)上的獨立同分布，其分布函數為F(#8226;)，概率密度函數f(#8226;)為正且連續（常假設為均勻分布）.若假設每個品質屬性qi都有一固定的成本系數ai（ai>0），當屬性值增加，賣者的成本亦增加時，此時，賣者的成本函數可表達為

Cs(q1，q2，…，qm，θ)=θ(∑mi=1aiqi).（1）

賣者的效用函數（亦即廠商的利潤函數）定義為下列擬線性函數Us：

Us(p，q1，q2，…，qm，θ)=p－θ(∑mi=1aiqi).（2）

當qi每增加一個單位時，賣者的效用將減少θai個單位.

2.2 記分函數

買者（拍賣人）宣布的記分函數是用來公開選擇贏標者的評判規則（得分最高者贏標）取決于買者的偏好以及屬性對買者效用的影響程度.我們討論兩種買者不同偏好的記函數：第一種是David[5]提出的，由于該函數是價格p與品質屬性qi1/2的線性組合，表明對于m+1個產品屬性，買者對價格p最為敏感，價格越高評分越低（給買者帶來的效用越低），因此，稱之為價格偏好型記分函數（見下式(3)）；第二種是筆者首次提出的，可稱之為品質屬性偏好型記分函數（見式(4)），評分值S是價格p與品質屬性qi2的線性組合，表明買者更看重品質屬性qi，品質越高，得分越高，給買者帶來的效用也越高.

1）價格偏好型記分函數形式：

S(p，q1，q2，…，qm)=－p+∑mi=1wiqi.（3）

2）品質屬性偏好型記分函數形式：

S（p，q1，q2，…，qm)=-p+∑mi=1wiq2i.(4)

上述記分函數中小寫的wi是買者公告的品質屬性qi的權重向量（可能是真實的也可能是虛假的）.qi的真實權重Wi（用大寫字母表示）是由買者事前比較各屬性的重要性程度綜合確定的，比如采用模糊層次分析法確定.當買者如實宣告品質屬性qi的真實權重Wi時，此時的記分函數即為買者的效用函數（S=Ub），即：

Ub(p，q1，q2，…，qm)=－p+∑mi=1Wiqi，(5)

或

Ub(p，q1，q2，…，qm)=－p+∑mi=1Wiq2i.(6)

如果買者宣布的是虛假的權重向量wi，且wi< Wi時，意味著買者刻意隱藏自己真實的效用值信息，誘使賣者為贏得拍賣不得不遞交具有更高品質的競標，買者因此可獲得更多的期望收益.容易看出：對應于式(3)~(4)兩種不同偏好的記分函數，買者對價格屬性的評分值均為-p，而對品質屬性的估值V(q1，q2，…qm)為

V(q1，q2，...qm)=∑mi=1wiqi，(7)

或

V(q1，q2，...qm)=∑mi=1wiq2i.(8)

3 最高得分密封拍賣投標均衡策略

3.1 拍賣規則

最高得分密封投標拍賣機制類似于傳統單屬性拍賣的第一價格密封拍賣，拍賣的基本規則是：拍賣人首先宣布對需求項目的要求（包括記分函數）；然后，競價人遞交密封投標；最終，得分最高者贏得拍賣，并提供他所承諾的物品.

3.2 競賣人最優投標策略

與單屬性拍賣不同，在多屬性記分拍賣中，競賣人需要決定包括價格在內的所有產品屬性值，而影響投標策略的主要因素是競賣人的成本參數與買者宣布的記分規則.

引理1 給定記分規則與賣者的效用函數，在多屬性記分拍賣機制中，使賣者效用最大化的最優品質屬性qi﹡(θ)是獨立于價格及其他參與者的類型，有：

q*i(θ)=arg max{V(q1，q2，…，qm)-

Cs(q1，q2，…，qm，θ)}.(9)

3.2.1 價格偏好型記分函數下的最優投標

當拍賣人宣布的是價格偏好型記分函數式(3)時，賣者將根據他的私有成本參數θ、記分規則和關于其他賣者的信息來決定自己的最優投標.David依據上述模型條件證明了賣者實現效用最大化的占優策略為：

q*i(θ)=(wi2aiθ)2;p*(θ)

=∑mi=1w2i4ai(1θ+1(-θ)n-1

∫θ(-t)n-1t2dt).(10)

式(10)表明，賣者遞交的最優品質屬性qi﹡(θ)取決于買者宣布的品質屬性的權重wi和賣者的私有成本參數θ.在成本參數θ一定的條件下，公開的權重wi越大，賣者需要提供物品的品質qi﹡(θ)也越高，他要求的價格也會越高；而關于其他賣者的信息只影響該賣者的要價p﹡(θ)，且競賣人數n越多（競爭越激烈），賣者的要價就會越低.

3.2.2 品質屬性偏好型記分函數下的最優投標

當拍賣人宣布的是品質屬性偏好型記分函數（見式(4)）時，同理可以證明賣者的占優策略為

q*i(θ)=θai2wi，i∈(1，2，…，m)，

p*(θ)=∑mi=1a2i2wi(θ2+1(-θ)n-1∫θt-(-t)n-1dt).(11)

式(11)表明：買者宣告的權重系數wi一定時，賣者的生產成本越高（θ越大），其最優投標要求的品質屬性qi﹡(θ)也越高，其要價也越高.

3.3 買者最優拍賣設計

買者的最優拍賣設計是指如何確定使買者期望收益最大化的記分規則.Che(1993)[4]和David(2006)[5]等人指出：首先應把買者的期望收益看作環境參數的函數來計算；然后，找出能使買者期望收益最大化的記分規則的權重向量wi的值.

定義1 給定記分規則S、賣者的最優投標qi﹡(θ)與p﹡(θ)、賣者人數n和類型θ的分布，最高得分密封投標拍賣中買者的期望收益EP1定義為

EP1(θ-，)=∫θ-Ub(p*(t)，q*1(t)，…，q*m(t))#8226;

(1－F(t))n－1#8226;n#8226;f(t)dt，(12)

式中：f(t)—類型為t的競價人的概率密度，(1-F(t))n-1#8226;n#8226;f(t)—遞交最優投標(p﹡(t)， q1﹡(t)， q2﹡(t)，…qm﹡(t))的競價人t贏標的概率.

3.3.1 價格偏好型效用函數下最優權重

定義2 給定記分規則（包括宣布的最優權重wi， i∈（1，…，m））、買者的價格偏好型效用函數（見式(1~5)）、賣者人數n和賣者的成本參數θ（在[θ-，]上獨立同分布），最高得分密封投標拍賣中買者的期望收益EP1為：

EP1(θ-，)=－n(－θ-)n(∑mi=1w2i4ai)(∫θ-(－t)n－1tdt+

∫θ-∫t(－z)n－1z2dzdt)+

n(－θ-)n(∑mi=1Wi#8226;wi2ai)∫θ-(－t)n－1tdt.（13）

而實現上述期望收益最大化的最優權重值wi，就是使得EP1(θ-，)wi=0的解：

wi(θ-，)=Wi#8226;∫θ-(－t)n－1tdt(∫θ-(－t)n－1tdt+∫θ-∫t(－z)n－1z2dzdt).(14)

3.3.2 品質屬性偏好型效用函數下最優權重

同理，將品質屬性偏好型效用函數（見式(6)）及最優投標(式(11))代入式(12)，可得買者的期望收益：

EP′(θ-，)=-n(-θ-)n(∑mi=1a2i2wi)(∫θ-t2(-t)n-1dt+

∫θ-∫tz(-z)n-1(dzdt)+

n（-θ-)n(∑mi=1Wi#8226;a2i4w2i)∫θ-t2(-t)n-1dt.（15）

令方程EP1(θ-，)wi=0，可解得其最優權重wi為：

wi(θ-，)=Wi#8226;∫θ-t2(－t)n－1dt(∫θ-t2(－t)n－1dt+∫θ-∫tz(－z)n－1dzdt).(16)

由式(14)、式(16)不難看出：對應于買者兩種不同偏好的效用函數，買者宣告的最優權重wi與真實權重Wi的比率wi/ Wi為一常數，且wi/ Wi≤1，即：

wiWi=∫θ-(－t)n－1tdt(∫θ-(－t)n－1tdt+∫θ-∫t(－z)n－1z2dzdt).(17)

或

wiWi=∫θ-t2(－t)n－1dt(∫θ-t2(－t)n－1dt+∫θ-∫tz(－z)n－1dzdt).（18）

式(17)~(18)表明：影響真假權重比率wi/ Wi的主要因素是競價人數n和競價人類型分布區間［θ-，］的大小（David提出用比率/θ-來反映）.在其他條件一定時，競價人數n增加，比率wi/ Wi也隨之增大（最終可趨近于1），拍賣人宣告的記分函數S也就越接近于他的效用函數Ub.也就說，只有當賣方人數足夠多時，拍賣人才會如實宣告記分規則的真實權重Wi.另一方面，如果競價人類型分布區間很狹窄（比率/θ-很小），表明競價人同質性很強，競爭會很激烈，拍賣人也就沒有必要操縱效用函數，也會如實宣告真實權重Wi.反之，比率/θ-越大，競價人異質性越強，那么強的競價人易于贏得拍賣獲得較高收益，這就促使拍賣人有動機隱藏真實權重信息Wi，而宣告非真實的最優權重wi，以獲得高的買方期望收益.

4 多屬性英式拍賣投標均衡策略

多屬性英式拍賣是網上拍賣最常用的拍賣機制.相對于其他拍賣機制，多屬性英式拍賣的主要優點在于它是激勵相容機制，即競價人沒有動機根據其他競價人的信息來更改自己的競標.按照競價人遞交競標的時間順序不同，多屬性英式拍賣可分為同時完全信息公開拍賣或連續完全信息公開拍賣.“同時”意指所有感興趣的賣者在每一輪競價中能同時競標；而“連續” 意指每個賣者被賦予了序列號，每輪競標須按順序依次競標.下面主要分析討論連續型多屬性英式拍賣的投標均衡策略問題.

4.1 拍賣規則

在這種拍賣方式下，拍賣人需要宣布：1)描述需求項目的記分函數.2)關閉時間區間的長度.3)允許的最小投標增量D.與傳統的單屬性英式拍賣不同，多屬性英式拍賣允許競價人投下與現時最好競標相同的標.但一般來說，每一輪的競標，賣者的投標St都應高于當前最佳投標St-1，即新投標St≥St-1+D，否則拍賣在理論上會無期限地進行下去.

4.2 競賣人最優投標策略

在向上叫價（此處是指得分值S上升而不是指價格p上升，實際上價格p是逐漸下降的）的多屬性英式拍賣的每一輪競價中，競賣人的最優策略是根據記分規則與現時投標尋找并遞交能增加自己效用的新投標，即每一輪投標必須使得該賣者的效用Us≥0，否則就退出拍賣.

當競價窗口顯示的最新投標為St-1（即前一序列號賣者遞交競標的得分或者是買者確定的起拍標得分）時，本序列號賣者的占優策略取決于當前競標St-1及自己的效用值.

情形1 若投下比當前競標St-1更高的競標St（St=St-1+D），使得賣者的效用Us≥0，則該賣者贏標的概率一定大于前一序列號的賣者，此時的最優投標與記分函數有關.

價格偏好型記分函數下最優投標為：

p*(θ，S)=∑mi=1w2i2aiθ-St-1-D，

q*i(θ)=(wi2aiθ)2.(19)

品質屬性偏好型記分函數下最優投標：

p*(θ，S)=∑mi=1θ2a2i4wi-St-1-D，

q*i(θ)=θai2wi.(20)

情形2 如果投下St（=St-1+D）會使得該賣者的效用Us<0，則可選擇投下與St-1相等的標以滿足Us≥0，此時，該賣者與前一賣者贏標的概率相同，各為0.5（如為最后投標，由拍賣人隨機選擇贏者），兩種記分函數條件下的最優投標如下.

價格偏好型記分函數下的最優投標：

p*(θ，S)=∑mi=1w2i2aiθ-St-1，

q*i(θ)=（wi2aiθ)2.(21)

品質屬性偏好型記分函數下最優投標：

p*(θ，S)=∑mi=1θ2a2i4wi-St-1，

q*i(θ)=θai2wi.(22)

情形3 若當前競標St-1已使得該賣者的效用Us<0，則選擇立即退出拍賣.

由上可知：在連續完全信息多屬性英式拍賣中，競價人每一輪的最優策略只與當前競標St-1和自己的成本參數有關，不需要任何關于其他賣者的信息，這就是多屬性英式拍賣機制的最大優勢——它是一種激勵相容的拍賣機制.而在最高得分密封投標拍賣中，決定最優競標價格時必須考慮其他賣者的信息.

4.3 買者最優拍賣設計

在連續完全信息多屬性英式拍賣中，買者的最優策略是確定能實現期望收益最大化的記分函數的最優權重wi以及每一輪競價允許的最小投標增量D.下面先來討論這個最小增量D的限制性條件.

4.3.1 最小投標增量D的上限

假定k是具有最低成本θk的賣者，l是具有第二低成本參數θl的賣者，如采用價格偏好型記分函數，David證明了當且僅當

D≤14#8226;(1θk－1θl)#8226;∑mi=1w2iai.(23)

此時，具有最低成本的賣者k將贏得拍賣，他的最優投標為：

p*=∑mi=1w2i2ai(1θk-12θ)-D;q*i=(wi2aiθk)2(24)

當買者宣布采用品質屬性偏好型記分函數時，同理可證明最小增量D的上限為：

D≤14(θ2l-θ２k)∑mi=1∑mi=1a2iwi.(25)

贏者k的最優投標為：

p*=∑mi=1a2i4wi(θ2k+θ2l)-D;q*i=θkai2wi.(26)

3.3.2 收益等價定理及最優權重

David[5]證明了這種連續完全信息多屬性英式拍賣買者的期望收益與最高得分和次高得分密封投標拍賣的期望收益都只相差常數D（其最優權重wi相同），這一結果可理解為多屬性拍賣的收益等價定理.如采用品質屬性偏好型記分函數，本文的證明也得到了同樣的結論（證明過程略）.也就說，對拍賣人而言，連續完全信息多屬性英式拍賣與最高得分密封拍賣是策略等價的.

5 記分函數形式與判別規則問題

理論上，拍賣人可構造多種反映自己不同偏好的記分函數.但從實踐的角度來看，選擇合適的記分函數并非易事.如本文筆者新提出的品質屬性偏好型記分函數，在各種拍賣環境下，與David提出的價格偏好型記分函數相比，在競價人最優策略和拍賣人最優拍賣設計的理論分析中都沒有什么問題.但是，當分析競價人遞交最優競標得分值的上界時，采用品質屬性偏好型記分函數就會顯現出一個與現實習慣不符的問題來.

在拍賣舉行前，每個競價人都應知曉自己遞交的最優競標價格的下界pmin和得分值的上界Smax，也就是使得該賣者效用為零的兩個臨界值.當采用價格偏好型記分函數時，兩個臨界值的計算為：

Us0(pmin，q*1，q*2，…，q*m，θ)=Pmin-θ(∑mi=1aiq*i)

=pmin-θ(∑mi=1ai(wi2aiθ)2)=0

pmin=∑mi=1(w2i4aiθ).(27)

Smax =－pmin +(∑mi=1wi#8226;qi)

=－∑mi=1(w2i4aiθ)+∑mi=1(w2i2aiθ)，

Smax =∑mi=1(w2i4aiθ).(28)

不難看出，在此記分函數下，最優競標價格的下界值pmin和得分值的上界值Smax相等且為正，其大小取決于拍賣人宣告的權重向量wi和賣者自己的成本參數θ.如果采用筆者提出的品質屬性偏好型記分函數，這兩個臨界值的計算結果為

Us0(pmin，q*1，q*2，…，q*m，θ)=Pmin-θ(∑mi=1aiq*i)

=pmin-θ(∑mi=1ai(θai2wi))=0

pmin=∑mi=1(aiθ2wi).(29)

Smax =－pmin +(∑mi=1wi#8226;q*2i)

=－∑mi=1(aiθ)22wi+∑mi=1wi(aiθ2wi)2.

Smax =-∑mi=1(aiθ)24wi).(30)

式(29)~(30)顯示，盡管競價人最優競標的兩個臨界值也只與wi和θ有關，但是，得分值的上限為負（Smax<0）.也就是說，若采用這種品質屬性偏好型記分函數，所有理性競價人（賣者效用≥0）遞交競標的得分均為負值，意味著拍賣人需按負分值的大小來確定贏者，這就不太符合按正分值大小進行決策的傳統習慣，可能會給拍賣過程帶來一些不便.

5結論與研究展望

本文著重討論了拍賣人兩種不同偏好的記分函數條件下，最高得分密封投標拍賣和連續完全信息多屬英式拍賣投標均衡策略問題.其主要結論是：1)在上述兩種多屬性記分拍賣中，無論采用哪種形式的記分函數，拍賣人均有動機隱瞞自己的真實偏好，除非競價人是同質的或參與人數足夠多.2)競價人的最優屬性策略q*i，在各種拍賣環境里都只與自己的成本參數θ以及拍賣人宣告的屬性權重向量wi有關；但最優價格策略p*會因拍賣方式不同而有所不同.需要注意的是若拍賣人采用筆者提出的屬性偏好型記分函數，理性競賣人的競標得分均為負值，拍賣人在決策時要小心處理.

隨著社會經濟與信息技術的發展，多屬性采購拍賣技術顯得越來越有價值，已成為現代商業的重要組成部分.在我國，關于多屬性采購拍賣的研究才剛剛起步，未來還有許多問題值得去探討.比如：屬性指標體系的構建問題、多屬性采購拍賣的技術門檻問題、多項目多屬性拍賣（有多個贏者）、多屬性組合拍賣、多屬性雙向拍賣、有多重標準的多屬性拍賣模式，等等.除此之外，對多屬性拍賣的實證研究也將成為未來研究的熱點.

參考文獻

［1］ M BICHLER. An experiment analysis of multi-attribute auction[J].Decision Support System，2000，29(10):249-268.

[2] M ELI. Snir.Online auctions enabling the secondary computer market [J]. Forthcoming Information Technology and Management，2006，7(3):213-234.

[3] Asker JOHN，Cantillon ESTELIE. Properties of scoring auctions[J].Rand Journal of Economic，2008，39(1):69-85.

[4] YK CHE. Design competition through multidimensional auctions[J]. RAND Journal of Economics，1993，24(4):668-680.

[5] David ESTLIER.Rain azoulay-schwarta， sarit Kraus. bidding in sealed-bid and English multi-attribute auctions[J].Science Direct， 2006，42(2):527-556.

[6] C Chen-Ritzo， T HARRISON， M K WASNICA， et al. Better， faster， cheaper: a multi-attribute supply chain auction mechanism［C］//Penn State University ISBM report 10-2003， 2003.

[7] P MILGROM. An economist’s vision of the b-tob marketplace［R］. An Executive White Paper October 2000.

[8] N VULCAN， N R JENNINGS. Efficient mechanisms for the supply of services in multi-agent environments[J].Decision Support Systems，2000，28(1/2):5-19.

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