隨機(jī)利率下分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散Ornstein-Uhlenbeck期權(quán)定價(jià)模型

摘 要 假設(shè)股票價(jià)格遵循分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)和復(fù)合泊松過程驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程，短期利率服從Hull-White模型，建立了隨機(jī)利率情形下的分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散Ornstein-Uhlenbeck期權(quán)定價(jià)模型，利用價(jià)格過程的實(shí)際概率測(cè)度和公平保費(fèi)原理，得到了歐式看漲期權(quán)定價(jià)的解析表達(dá)式，推廣了Black-Scholes模型.

關(guān)鍵詞 分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散;Ornstein-Uhlenbeck;隨機(jī)利率

中圖分類號(hào) O211， F830 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

Stochastic Interest Rates Model for European Options under Fractional Jump-Diffusion Ornstein-Uhlenbeck Process

YAN Hui-yun1，CAO Yi-yin2

(1.Xi’an University of Finance and Economics， Xi'an，Shannxi 710100， China；

2.Department of Economics and Management， North China Electric Power University，Baoding，Hebei 071000，China)

AbstractUnder the assumptions that stocks price process is driven by fractional diffusion process with non-homogeneous Poisson process， and the risk-less rate satisfies Hull-White model， the fractional jump-diffusion Ornstein-Uhlenbeck model under stochastic interest rates was built. Using physical probabilistic measure of price process and the principle of fair premium， the pricing formula of European option was obtained，which generalizes the Black-Scholes model.

Keywords fractional-jump diffusion; Ornstein-Uhlenbeck; stochastic interest rates

1 引 言

近年來，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從跳-擴(kuò)散過程或者Lévy過程的期權(quán)定價(jià)理論已引起了眾多學(xué)者的關(guān)注.跳擴(kuò)散過程或者Lévy過程是一類具有平穩(wěn)獨(dú)立增量過程，關(guān)于跳擴(kuò)散過程或者Lévy過程以及在金融中應(yīng)用可參見文獻(xiàn)[1-3]. 另一方面，在通常金融市場(chǎng)模型中用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)取代標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)早已被眾多學(xué)者認(rèn)同，主要是由于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)具有較好地“厚尾”和長(zhǎng)程依賴特性，而且仍然是一個(gè)高斯過程.關(guān)于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)隨機(jī)分析理論可參見文獻(xiàn)[4-5] 分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)在金融中的應(yīng)用可見文獻(xiàn)[6-7]. 1998年Bladt和Rydberg首次提出了期權(quán)定價(jià)的保險(xiǎn)精算方法[8]， 利用實(shí)際概率測(cè)度和公平保費(fèi)原理，在非均衡、套利存在、非完備情形下，將期權(quán)定價(jià)問題轉(zhuǎn)化成為公平保費(fèi)問題.文獻(xiàn)[9]考慮了股票價(jià)格遵循布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的Ornstein-Uhlenbeck過程下的歐式期權(quán)定價(jià)問題，但是給出的定價(jià)公式與Ornstein-Uhlenbeck過程的均值回復(fù)率沒有關(guān)系，這顯然不符合實(shí)際.本文假定股票價(jià)格服從分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散過程驅(qū)動(dòng)的Ornstein-Uhlenbeck過程，并假定金融市場(chǎng)短期利率為Hull-White模型，利用保險(xiǎn)精算方法，得到了比文獻(xiàn)[9]更符合實(shí)際的歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式.

2 預(yù)備知識(shí)

引理1 假定ξ服從正態(tài)分布N(0， σ2)， 則有

Eexp {ξ}I{ξ≥k}=exp {σ22}Φ(σ2－kσ)，

其中

Φ(#8226;)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).

證明 因?yàn)?/p>

Eexp {ξ}I{ξ≥k}

=∫+

kex12πσexp {－x22σ2}dx

=eσ22∫+

k12πσexp {－(x－σ2)22σ2}dx

=eσ22∫+

σ2－kσ12πexp {－t22}dt

=eσ22Φ（σ２-kσ).

定理1 假定ai，k，i=1，2，…，n為實(shí)數(shù)，ξ1，ξ2，…，ξn服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，且i≠j時(shí)，

cov (ξi，ξj)=ρij，則有

E［exp {∑ni=1aiξi}I{∑ni=1aiξi≥k}］

=exp {12∑ni=1∑nj=1ρijaiaj}Φ(∑ni=1∑nj=1ρijaiaj－k∑ni=1∑nj=1ρijaiaj).

證明 令w=∑ni=1aiξi， 則w仍是正態(tài)隨機(jī)變量，且滿足E［w］=0，E［w2］=∑ni=1∑nj=1ρijaiaj，再令D2=∑ni=1∑nj=1ρijaiaj， 將w帶入引理1可得

E［exp {∑ni=1aiξi}I{∑ni=1aiξi≥k}］

=E［exp {DwD}IDwD≥k］

=exp {D22}Φ(D2－kD).

3 隨機(jī)利率情形下分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散

Ornstein-Uhlenbeck模型

假定股票價(jià)格過程及金融市場(chǎng)的短期利率rt滿足隨機(jī)微分方程

dSt=St－{(μt－λθ－εln St－)dt+

σ1dWHt+σ2dBHt+dJt}， （1）

drt=(b－art)dt+c1dWHt+c2dBHt， (2)

其中，μt為期望收益率，它是時(shí)間t的函數(shù)，波動(dòng)率σ1，σ2和均值回復(fù)率ε及a，b，c1c2都為常數(shù)，{BHt， t≥0}和{WHt， t≥0}為完備概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)， {Jt， t≥0}是個(gè)復(fù)合泊松過程可以表示為

Jt=∑Nti=0Ui. (3)

{Nt， t≥0}表示強(qiáng)度為λ的泊松過程， Ui表示在第i次發(fā)生跳時(shí)跳幅(無跳躍發(fā)生時(shí)U0=0)， {Ui， i≥0}為一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，并且θ=E(Ui)， Ui>－1(i=1，2，…). 假定{BHt， t≥0}， {WHt， t≥0}， {Nt， t≥0}和{Ui， i≥1}相互獨(dú)立.{Ft， t≥0}是由{WHt， t≥0}， {Nt， t≥0}和{Ui， i=0，1，2，…}生成的σ-代數(shù)流.

定理2 令Xt=σ1WHt+σ2BHt， 則隨機(jī)微分方程 (1) 的解為

St=S0∏Nti=0(1+Ui)exp {e－εt∫t0［μu－λθ－

H(σ21+σ22)u2H－1］eεudu+

e－εt∫t0eεudXu}.(4)

證明 假定在［0，t］之間沒有跳發(fā)生， 由分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng) It公式及式(1)可得

deεtln St=eεtdln St+εeεtln Stdt

=eεt［μt-λθ-H(σ21+

σ22)t2H-1］dt+eεtdXt，

那么

St=S0exp {e－εt∫t0［μu－λθ－

H(σ21+σ22)u2H－1］eεudu+

e－εt∫t0eεudXu}.

假定只在時(shí)刻T1∈［0，t］發(fā)生一次跳，則

ST1－=S0exp {e－εT1∫T10［μu－λθ－

H(σ21+σ22)u2H－1］eεudu+e－εt∫T10eεudXu}(5)

St=ST1exp {e－ε(t－T1)∫tT1［μu－λθ－

H(σ21+σ22)u2H－1］eεudu+e－ε(t－T1)∫tT1eεudXu}.(6)

由式(1)有

ST1－ST1－1n=∫T1T1－1n(μu－λθ－εln Su－)Su－du+

∫T1T1－1nSu－dXu+∫T1T1－1nSu－dJu.

當(dāng)n→

時(shí)，可得ST1－ST1－=ST1－U1， 所以

St=S0(1+U1)exp {e－εt∫t0［μu－λθ－H(σ21+

σ22)u2H－1］eεudu+e－εt∫t0eεudXu}.

當(dāng)跳的次數(shù)服從poisson過程時(shí)，則有定理結(jié)論成立.

定理3 令Yt=c1WHt+c2BHt，隨機(jī)微分方程(2)的解為

rt=rt0e-a(t-t0)+ba+∫tt0ea(u-t)dYu.(7)

證明 由分?jǐn)?shù)型It公式

d(exp {a(t－t0)}rt)

=aexp {a(t－t0)}rtdt+

exp {a(t－t0)}drt

=exp {a(t－t0)}(artdt+drt)

=exp {a(t－t0)}(bdt+c1dWHt+c2dBHt).

下面考慮損益為(ST－K)+的歐式看漲期權(quán)，其中交割日期為T， 交割價(jià)格為K.

定義1{St， t≥0}在［t，T］上的期望收益率定義為

exp {∫ T tβudu}=E［ST］St. (8)

定理4{St， t≥0}在［t，T］上的期望收益率滿足

∫ T tβudu=e－ε(T－t)∫Tt［μu－λθ－

H(σ21+σ22)u2H－1］eεudu

+H(σ21+σ22)e2ε(T－t)∫Tte2εuu2H－1du+λθ(T－t).

證明 由式(4)有

ST=St∏NT－ti=0(1+Ui)exp {e－ε(T－t)∫Tt［μu－λθ－

H(σ21+σ22)u2H－1］eεudu+e－εt∫TteεudXu}.

所以

E［ST］St=exp {e－ε(T－t)∫Tt［μu－λθ－

H(σ21+σ22)u2H－1］eεudu}.

E［∏NT－ti=0(1+Ui)］E［exp {e－ε(T－t)∫TteεudXu}］.

由于

E［exp {σ1e－ε(T－t)∫TteεudWHu}］

=exp ［Hσ21e－2ε(T－t)∫Tte2εuu2H－1du］，

E［exp {σ2e－ε(T－t)∫TteεudBHu}］

=exp ［Hσ22e－2ε(T－t)∫Tte2εuu2H－1du］.

所以

E［exp {e－ε(T－t)∫TteεudXu}］

=exp ［H(σ21+σ22)e－2ε(T－t)∫Tte2εuu2H－1du］，

以及

E［∏NT－ti=0(1+Ui)］=E［E［∏NT－ti=0(1+Ui)NT－t］］

=∑+

n=0PNNT－t=nE［∏NT－ti=0(1+Ui)NT－t=n］

=∑+

n=0(λ(T－t))nn!e－λ(T－t)(1+θ)n

=eλθ(T－t).(9)

從而定理證明.

定義2 歐式看漲期權(quán)(ST－K)+的保險(xiǎn)精算價(jià)格定義為

c(t，St，K，T)=E［(exp {－∫ T tβudu}ST－

exp {－∫Ttrudu}K)Iexp {－∫ T tβudu}ST>exp {－∫Ttrudu}K］， (10)

其中股票價(jià)格按期望收益率折現(xiàn)，執(zhí)行價(jià)按無風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn).

定理5 具有損益 (ST－K)+的歐式看漲期權(quán)保險(xiǎn)精算價(jià)格為

c(t，St，K，T)=e－λθ(T－t)St∑+

n=0(λ(T－t))ne－λ(T－t)n!

E［∏ni=1(1+Ui)Φ(d(n)1)］－Kexp {－rta(1－e－a(T－t))－

ba(T－t)+D2}∑+

n=0(λ(T－t))ne－λ(T－t)n!， (11)

其中，

Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)， 且

d(n)1=［lnStK+rta(1－e－a(T－t))+

ba(T－t)－λθ(T－t)+D1+

R1+ln ∏N(T－t)i=0(1+Ui)］/2(D1+R1+D2+R2).

d(n)1=［ln StK+rta(1－e－a(T－t))+

ba(T－t)－λθ(T－t)－D1+

ln ∏N(T－t)i=0(1+Ui)－2D2－R2］/

2(D1+R1+D2+R2).

D1=H(σ21+σ22)e2ε(T－t)∫Tte2εuu2H－1du，

R1=2Hσ1c1eε(T－t)∫Tt(T－u)eεu+a(u－t)u2H－1du，

D2=H(c21+c22)∫Tt(T－u)2e2a(u－t)u2H－1du，

R2=2Hσ2c2eε(T－t)∫Tt(T－u)eεu+a(u－t)u2H－1du.

證明 令

dn=ln StK+rta(1－e－a(T－t))+

ba(T－t)－λθ(T－t)－

D1+ln ∏N(T－t)i=0(1+Ui)，

A={exp {－∫Ttβ(s)ds}ST>exp {－∫Ttrsds}K}，

A0={σ1e－ε(T－t)∫TteεudWHu+σ2e－ε(T－t)∫TteεudBHu

+c1∫Tt(T－u)ea(u－t)dWHu+

c2∫Tt(T－u)ea(u－t)dBHu≥－dn}.

由定理2及定理3可得

exp {－∫Ttβudu}ST=St∏N(T－t)i=0(1+Ui)exp {－λθ(T－

t)－D1+e－εt∫TteεudXu}.

exp {－∫Ttrudu}K=Kexp{-rta(1-e-a(T-t))-

ba(T-t)-∫Tt∫τtea(u-t)dYudτ}.

又因?yàn)橛煞謹(jǐn)?shù)型It公式有

∫Tt∫τtea(u-τ)dBHudτ=∫Tt(T-u)ea(u-t)dBHu.

所以歐式看漲期權(quán)執(zhí)行條件

exp {－∫Ttβudu}ST>exp {－∫Ttrudu}K等價(jià)于

XT－Xt+∫Tt(T－u)ea(u－t)dYu>

ln KSt－rta(1－e－a(T－t))－ba(T－t)+

λθ(T－t)+D1－ln ∏N(T－t)i=0(1+Ui).

即

σ1e－ε(T－t)∫TteεudWHu+σ2e－ε(T－t)∫TteεudBHu+

c1∫Tt(T－u)ea(u－t)dWHu+

c2∫Tt(T－u)ea(u－t)dBHu≥－dn.

那么

c(t，St，K，T)=E［［exp {－∫ T tβudu}ST－

exp {－∫Ttrudu}K］IA］

=E［E［(exp {－∫Ttβudu}ST－

exp {－∫Ttrudu}K)IANT－t］］

=∑+

n=0［λ(T－t)］ne－λ(T－t)n!E#8226;

［(exp {－∫Ttβudu}ST－

exp {－∫Ttrudu}K)IA|NT－t=n］

=∑+

n=0(λ(T－t))ne－λ(T－t)n!Π1－Π2，

其中

Π1=E［exp {－∫Ttβudu}STIANT－t=n］

=e－D1－λθ(T－t)StE［E［∏ni=1(1+

Ui)exp {σ1e－ε(T－t)∫TteεudWHu+

σ2e－ε(T－t)∫TteεudBHu}IA0|NT－t=n］］

=e－λθ(T－t)StE［∏ni=1(1+Ui)Φ(d(n)1)］，

以及

∏2=E［Kexp {－∫Ttrudu}IA］

=Kexp {－rta(1－e－a(T－t))－

ba(T－t)}E［E［exp

{－c1∫Tt(T－u)ea(u－t)dWHu－

c2∫Tt(T－u)ea(u－t)dBHu}IA0|NT－t=n］］

=Kexp {－rta(1－e－a(T－t))－

ba(T－t)+D2}E［Φ(d(n)2)］.

推論1 當(dāng)ε=0時(shí)， 可得分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散環(huán)境下帶有隨機(jī)利率的歐式看漲期權(quán)價(jià)格

c(t，St，K，T)=e－λθ(T－t)St∑+

n=0(λ(T－t))ne－λ(T－t)n!

E［∏ni=1(1+Ui)Φ(d(n)1)］－Kexp {－rta(1－

e－a(T－t))－ba(T－t)+

D2}∑+

n=0(λ(T－t))ne－λ(T－t)n!E［Φ(d(n)2)］，(12)

其中

d(n)1=［ln StK+rta(1－e－a(T－t))+

ba(T－t)－λθ(T－t)+

D1+R1+ln ∏N(T－t)i=0(1+Ui)］/

2(D1+R1+D2+R2)，

d(n)2=［ln StK+rta(1－e－a(T－t))+

ba(T－t)－λθ(T－t)－

D1+ln ∏N(T－t)i=0(1+Ui)－2D2－R2］/

2(D1+R1+D2+R2)

D1=H(σ21+σ22)∫Ttu2H－1du，

R1=2Hσ1c1∫Tt(T－u)ea(u－t)u2H－1du，

D2=H(c21+c22)∫Tt(T－u)2e2a(u－t)u2H－1du，

R2=2Hσ2c2∫Tt(T－u)ea(u－t)u2H－1du.

注釋

1) 當(dāng)ε=0，H=12時(shí)， 可得跳-擴(kuò)散環(huán)境下帶有隨機(jī)利率的歐式看漲期權(quán)價(jià)格［9］

c(t，St，K，T)=e－λθ(T－t)St∑+

n=0(λ(T－t))ne－λ(T－t)n!.

E［∏ni=1(1+Ui)Φ(d(n)1)］－

Kexp {－rta(1－e－a(T－t))－

ba(T－t)+D2}#8226;

∑+

n=0(λ(T－t))ne－λ(T－t)n!E［Φ(d(n)2)］，(13)

其中

d(n)1=［ln StK+rta(1－e－a(T－t))+

ba(T－t)－λθ(T－t)+

D1+R1+ln ∏N(T－t)i=0(1+Ui)］/

2(D1+R1+D2+R2)，

d(n)2=［ln StK+rta(1－e－a(T－t))+

ba(T－t)－λθ(T－t)－

D1+ln ∏N(T－t)i=0(1+Ui)－2D2－R2］/

2(D1+R1+D2+R2).

D1=H(σ21+σ22)(T－t)，

R1=σ1c1a2［ea(T－t)－1－a(T－t)］

D2=c21+c224a3［e2a(T－t)－1－

2a(T－t)－2a2(T－t)2］，

R2=σ2c2a2［ea(T－t)－1－a(T－t)］.

特別地，當(dāng)b=0，c1=0，c2=0，a→0時(shí)，可得跳-擴(kuò)散環(huán)境下歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式.

2) 當(dāng)b=0，c1=0，c2=0，a→0時(shí)， 可得分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散Ornstein-Uhlenbeck過程下歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式［10］

c(t，St，K，T)=e－λθ(T－t)St∑+

n=0(λ(T－t))ne－λ(T－t)n!.

E［∏ni=1(1+Ui)Φ(d(n)1)］－Kexp {－r(T－t)}#8226;

∑+

n=0(λ(T－t))ne－λ(T－t)n!E［Φ(d(n)2)］，(14)

其中

d(n)1=［ln StK+r(T－t)－λθ(T－t)+H(σ21+

σ22)e2ε(T－t)∫Tte2εuu2H－1du+ln ∏N(T－t)i=0(1+Ui)］/

2H(σ21+σ22)e2ε(T－t)∫Tte2εuu2H－1du.

d(n)2=d(n)1－2H(σ21+σ22)e2ε(T－t)∫Tte2εuu2H－1du.

特別地，當(dāng)ε=0時(shí)，可得分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散環(huán)境下歐式期權(quán)定價(jià)公式

c(t，St，K，T)=

e－λθ(T－t)St∑+

n=0(λ(T－t))ne－λ(T－t)n!E［∏ni=1(1+

Ui)Φ(d(n)1)］－Kexp {－r(T－t)}#8226;

∑+

n=0(λ(T－t))ne－λ(T－t)n!E［Φ(d(n)2)］， (15)

其中

d(n)1=［ln StK+r(T－t)－

λθ(T－t)+(σ21+σ22)2(T2H－

t2H)+ln ∏N(T－t)i=0(1+Ui)］/

(σ21+σ22)(T2H－t2H)，

d(n)2=d(n)1－(σ21+σ22)(T2H－t2H).

參考文獻(xiàn)

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文