帶交易費用的最優投資和比例再保險

摘 要研究了保險公司的最優投資和再保險問題.保險公司的盈余通過跳擴散風險模型來模擬，可以把盈余的一部分投資到金融市場，金融市場由一個無風險資產和n個風險資產組成.并且保險公司還可以購買比例再保險；在買賣風險資產時，考慮了交易費用.通過隨機控制的理論，獲得了最優策略和值函數的顯示解.

關鍵詞 隨機控制; Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)；投資；再保險

中圖分類號 F830，O211.3文獻標識碼 A

Optimal Investment and Proportional Reinsurance with Transaction Costs

YANGPeng1， LINXiang2

(1.Department of Basic ，Xijing College， Xian，Shannxi 710123，China;

2. School of Mathematics， Central South University， Changsha，Hunan 410075，China)

Abstract This paper studied an optimal investment and reinsurance problem for insurance company， whose surplus was modeled by a jump diffusion risk process.The insurance company can invest part of the surplus in a risk-free asset， and n risky asset and purchase proportional reinsurance for claims. When purchasing risky asset，we assume there exist transaction costs.Thestochastic control theory was appliedto solve this problem，andthe close form expression for vulue function and optimal policy was obtained.

Keywords stochastic control; Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB) equation; investment;reinsurance

1 引 言

Browne［1］首先應用隨機控制理論研究了擴散風險模型的最優投資問題.之后，許多學者在這一領域進行了研究.Bai 和Guo［2］對擴散風險模型，獲得了使終值財富的指數效用最大的投資和再保險策略.林祥和楊鵬［3］對擴散風險模型， 考慮投資和再保險對邊界分紅的影響，得到了使得期望邊界紅利最大的最優投資和再保險策略，以及最大期望貼現紅利的顯示表達，并通過數值計算得到投資和再保險對紅利的影響.對跳-擴散風險模型，Irgen 和Paulsen［4］，獲得了使終值財富的指數效用最大的投資和再保險策略.Yang和Zhang［5］，對跳擴散風險模型獲得了使終值財富的指數效用最大的投資策略，但沒有考慮再保險.林祥和錢藝平［6］研究了最小化破產概率的最優策略，得到了破產概率和最優策略的顯示解.

再保險的保費計算通常使用期望值原理.Hald 和 Schimidli［7］研究了最大化調節系數的最優投資問題，對再保險的保費他們考慮了方差原理.目前，還沒發現有文獻應用方差原理來研究最優投資和再保險問題.

買賣股票是需要傭金、印花稅、過戶費的，即交易股票是有交易費用的，尤其是頻繁的交易時，交易費用是很大的.因此在風險投資時，應考慮交易費用，考慮交易費用才更符合實際情況.Zhang 等［8］僅對擴散風險模型，考慮了含交易費用的投資投資和再保險問題.本文對Zhang 等［8］的研究模型進行推廣，研究了跳-擴散風險模型的帶交易費用的最優投資和再保險問題.再保險的保費應用方差原理.得到了最優策略和值函數的顯示解.

2 模型和Hamilton-Jacobi-Bellman方程

2.1 模型

考慮跳-擴散風險模型:

dXt=cdt+βdW0t－d∑Nti=1Yi，(1)

X0=x，

其中，

x≥0表示保險公司的初始盈余；

c>0是保險公司單位時間的保費收入；{Yk，k=1，2，…}是一列獨立同分布的(嚴格)正值隨機變量，其共同分布為Fy，密度函數為fy，F(0)=0，Yk表示第k次賠付的大小；{N(t)，t≥0}是參數為λ>0的泊松過程，表示到時刻t為止的總的索賠發生次數；{W0t，t≥0}是標準的布朗運動，β≥0是常數，表示擴散變差參數.此外，假設{Yk，k=1，2，…}，{N(t)，t≥0}和{W0t，t≥0}之間是相互獨立的.{Xt，t≥0}為保險公司在t時刻的盈余.

下面考慮比例再保險，比例再保險的水平為1－a，即保險公司的自留額為0≤a≤1，分出為1－a，即在每次理賠時保險公司支付100a%，同時再保險公司支付剩余的100(1－a)%.假設保險公司向再保險公司支付的再保費率為(1－a)λμ1+α(1－a)2λμ2，且c<λ(μ1+αμ2)，α為一常數，μ1=EY，μ2=EY2.則考慮比例再保險后，保險公司在t時刻的盈余為

dXat=［c－1－aλμ1－α1－a2λμ2］dt+

βdW0t－d∑Nti=1aYi. (2)

考慮一個金融市場，由n+1個金融資產組成，其中一個是無風險資產（債券），時刻t的價格{Bt，t≥0}滿足方程

dBt=r0Btdt，

其中，r0>0為無風險利率.n個風險資產（股票），在時刻t時的價格Sit滿足下面的隨機微分方程:

dSit=Sit［ridt+∑nj=1σijdWj(t)］，

i=1，2，…，n，

其中，ri≥r0，σij>0為常數，W(t)={W1(t)，…，Wn(t)}是n維標準布朗運動，假設Wjt，j=0，1，2，...，n相互獨立.

買賣風險資產都需要交易費用.

θb=［θb1，θb2，…，θbn］′，

θs=［θs1，θs2，…，θsn］′

分別為買賣風險資產的交易費用，即買一個單位的風險資產i將花費1+θbiSi(t)的資金，賣一個單位的風險資產i將得到1+θsiSi(t)的現金.

設πb，πs分別為買和賣風險資產的資金，這里πb=(π1b，π2b，…，πnb)， πs=(π1s， π2s，…，πns).因為不能同時買賣風險資產，所以有πb#8226;π′s=0.

比例再保險水平at和在風險資產上的投資πb，πs作為控制變量.在任意時刻t≥0，πb=πb(t)，πs=πs(t)和比例再保險水平a=a(t)由保險公司選擇，記π#8226;=(a(#8226;)，πb(#8226;)，πs(#8226;)).一旦π#8226;被選擇了，則保險公司的財富過程為

dXπt=［c－1－aλμ1－α1－a2λμ2+

r0Xπt+πb(t)(r－r0I－θb)+πs(t)(r+

r0I－θs)］dt+［πb(t)+πs(t)］D′D［πb(t)+

πs(t)］′dW1t+β dW0t－d∑Nti=1aYi.(3)

Xπ0=x，

其中，I是n維單位列向量，

r=(r1，r2，…，rn)'，D=σ11 σ21… σn1

σ12 σ22… σn2



σ1n σ2n… σnn.

定義1一個策略π#8226;=(a(#8226;)，πb(#8226;)，πs(#8226;))稱為可行的，如果π#8226;關于流Ft是可料的，且對于每個t≥0過程π#8226;滿足下面的條件

1) ∫T0［πibt］2dt<

 對所有T<

，

i=1，2，…，n.

2) ∫T0［πist］2dt<

對所有T<

，

i=1，2，…，n

3) 0≤a≤1 .

所有可行的策略記為∏.

2.2 Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程

假設保險公司的目的是使得時刻T時財富的期望效用最大.設效用函數為ux=m－δγe－γx，其中δ>0，γ>0.顯然有u′>0，u″<0.記Vπt，x為時刻t盈余為x時，策略為π時的期望效用，即

Vπt，x=EuXπTXπt=x， 0

目標是尋找最優的值函數

Vt，x=sup π∈∏Vπt，x(4)

和最優的策略π*使得

Vt，x=Vπ*t，x. (5)

采用Flemming和Soner[9]或Schmidli[10]中介紹的標準方法，得到最優的期望財富指數效用Vt，x滿足下面的HJB方程.

定理1 假設由(4)定義的V關于t是連續可微，關于x是二次連續可微函數，則V滿足下面的HJB方程:

sup π∈∏{Vt+［πb(t)B1+πs(t)B2］Vx+

［c－1－aλμ1－α1－a2λμ2+r0x］Vx+

12［πb(t)+πs(t)］D′D［πb(t)+πs(t)］′Vxx +

12β2Vxx+λE［V(t，x－aY)－V(t，x)］}=0. (6)

邊界條件

VT，x=ux， (7)

這里Vt，Vx，Vxx分別為V關于t的一階導數，關于x的一階導數和關于x的二階導數，且

B1=(r1－r0－θb1，r2－r0－θb2，…，rn－r0－θbn)′，

B2=(r1+r0－θs1，r2+r0－θs2，...，rn+r0－θsn)′.

由Flemming和Soner［9］或Schmidli［10］有下面的檢驗定理.

定理2 設W∈C2是一凹函數是HJB方程(6)的解，滿足邊界條件(7)，則式(4)給出的期望財富指數效用V恰好等于W.進一步，若π*使得

Wt+［π*b(t)B1+π*s(t)B2］Wx+12［π*b(t)+

π*s(t)］D′D［π*b(t)+π*s(t)］′Wxx+

［c－1－a*λμ1－α1－a*2λμ2+

r0x］Wx+12β2Wxx+λE［W(t，x－a*Y)－

W(t，x)］}=0，(8)

則π*#8226;是最優的策略，也就是Wt，x=Vt，x=Vπ*t，x.

3 輔助結果

引理1 設s1定義為

s1z=12‖D′－1z+D′－1B1‖2， (9)

其中，z∈［0，

)n.則s1有唯一的最小值1∈［0，

)n，i.e.

‖D′－11+D′－1B1‖2≤

‖D′－1z+D′－1B1‖2 ，z∈［0，

)n.(10)

Kuhn-Tucker條件對于式(9)中最小的1在區間［0，

)導致Lagrange multiplier向量1∈［0，

)n使得

1=

s11=D′D－11+D′D－1B1，

11=0.

引理2 設s2定義為

s2z=12‖D′－1z+D′－1B2‖2，(11)

其中，z∈［0，

)n，則s2有唯一的最小值：

2∈［0，

)n， i.e.

‖D′－12+D′－1B2‖2≤

‖D′－1z+D′－1B2‖2， z∈［0，

)n.(12)

Kuhn-Tucker條件對于式(11)中最小的s2在區間［0，

)導致Lagrange multiplier向量2∈［0，

)n使得

2=

s22=D′D－12+D′D－1B2，

22=0.

引理3 設 l1 定義

l1z=12z′D′Dz－ρ1B′1z，(13)

其中，z∈［0，

)n，這里ρ1≥0.則l1有唯一的最小值：ρ1D－11∈［0，

)n，這里

1=D′－11+D′－1B1， (14)

其中，1為引理1給出的s1z的唯一最小值.進一步′1D－11=0且

l1ρ11=l1ρ1D－1=－12ρ21‖1‖.(15)

引理4設l2定義為

l2z=12z′D′Dz－ρ2B′2z，(16)

其中，z∈［0，

)n， 這里ρ2≥0.則l2有唯一的最小值ρ2D－12∈［0，

)n，其中

2=D′－12+D′－1B2，(17)

其中，z2為引理2給出的s2z的唯一最小值.進一步′2D－12=0且

l2ρ22=l2ρ2D－1=－12ρ22‖2‖. (18)

3 最優投資和比例再保險策略

假設有一解Wx，b，滿足Wx>0和Wxx<0，則由引理1—引理4的輔助結果，有

sup πb≥0πbB1Wx+12πbD′Dπ′bWxx

=Wxxinf πb≥012πbD′Dπ′b+WxWxxπbB1

=－12W2xWxx‖1‖2，

及

sup πs≥0πsB2Wx+12πsD′Dπ′sWxx

=Wxxinf πs≥012πsD′Dπ′s+WxWxxπsB2

=－12W2xWxx‖2‖2，

其中，1和2由式(14)和式(17)給出，所以有

π*b=－D－11WxWxx，

π*s=－D－12WxWxx.(19)

把式(19)代入式(6)，得到

sup a{［c－1－aλμ1－α1－a2λμ2+r0x］Wx+

12β2Wxx+λE［W(t，x－aY)－W(t，x))］}+

Wt－12W2xWxx‖1‖2+‖2‖2=0.(20)

由Browne［1］或Yang和Zhang［5］，假設有解:

Wt，x=m－δγexp {－xγer0(T－t)+

12‖1‖2+‖2‖2(T－t)+h(T－t)}.(21)

這里h(#8226;)是一個適合的的函數使得式(21)是式(20)的一個解，且h(0)=0.因此有

Wt=［W(t，x)－m］［xr0γer0(T－t)+12(‖1‖2+

‖2‖2)－h′(T－t)］，

Wx=［W(t，x)－m］［－γer0(T－t)］，

Wxx=［W(t，x)－m］［γ2e2r0(T－t)］，

λE［W(t，x－aY)－W(t，x))］

=λ［W(t，x)－m］E［exp {γaYer0(T－t)}－1］.

代入式(20)，有

sup a{－h′(T－t)+［c－1－aλμ1－α1－a2λμ2］#8226;

［－γer0(T－t)］+12β2γ2e2r0(T－t)+

λE［exp {γaYer0(T－t)}－1］}=0.(22)

假設

G(a)=－h′(T－t)+［c－1－aλμ1－

α1－a2λμ2］#8226;

［－γer0(T－t)］+12β2γ2e2r0(T－t)+

λE［exp {γaYer0(T－t)}－1］，

則令Gaa=0，有

μ1+2αμ2(1－a)=E［Yexp {γaYer0(T－t)}］.(23)

定理3方程(23)有唯一正根，且0<<1.

證明 設

h(a)=μ1+2αμ2(1－a)-E［Yexp {γaYer0(T－t)}］

=μ1+2αμ2(1－a)－∫

0yeγayer0(T－t)F(dy)，

則

h′a=－2αμ2－∫

0y2γer0T－teγayer0(T－t)F(dy)<0，

h″a=－∫

0y3γ2e2r0T－teγayer0(T－t)F(dy)<0.

因此h(a)關于a是一單調遞減、凹函數.又因為

h0=2αμ2>0，

h1=μ1－∫

0yeγyer0(T－t)F(dy)<0.

所以式(23)有唯一正解0<<1.

把代入式(22)，得到

h′(T－t)=［c－1－λμ1－α1－2λμ2］#8226;

［－γer0(T－t)］+12β2γ2e2r0(T－t)+

λE［exp {γYer0(T－t)}－1］.(24)

所以

Wt，x=m－δγexp {－xγer0(T－t)+

12(‖1‖2+‖2‖2)(T－t)+h(T－t)}.

因此，從定理2有下面的定理.

定理4 對盈余過程(3)，最優的比例再保險策略a*為

μ1+2αμ2(1－a)=E［Yexp {γaYer0(T－t)}］

的正解，且0

π*b=D－11γer0(T－t)，(25)

π*s=D－12γer0(T－t).(26)

最優的值函數為

Vt，x=m－δγexp {－xγer0(T－t)+12(‖1‖2+

‖2‖2)(T－t)+h(T－t)}，(27)

其中，hT－t是下面方程的解.

h′(T－t)=［c－1－a*λμ1－α1－a*2λμ2］#8226;

［－γer0(T－t)］+12β2γ2e2r0(T－t)+

λE［exp {γa*Yer0(T－t)}－1］，(28)

推論 當理賠分布為指數分布，即Fy=1－e－βy，得出最優的比例再保險策略a*滿足方程

1β+4αβ2(1－a)=ββ－γaer0(T－t)2，(29)

hT－t滿足方程:

h(T－t)=［c－1－a*λμ1－α1－a*2λμ2］#8226;

γr0［1－er0(T－t)］+14r0β2γ2e2r0(T－t)－1+

λ∫T－t0ββ－γa*er0sds－λT－t. (30)

參考文獻

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