帶交易費用的最優(yōu)投資和比例再保險

摘 要研究了保險公司的最優(yōu)投資和再保險問題.保險公司的盈余通過跳擴(kuò)散風(fēng)險模型來模擬，可以把盈余的一部分投資到金融市場，金融市場由一個無風(fēng)險資產(chǎn)和n個風(fēng)險資產(chǎn)組成.并且保險公司還可以購買比例再保險；在買賣風(fēng)險資產(chǎn)時，考慮了交易費用.通過隨機(jī)控制的理論，獲得了最優(yōu)策略和值函數(shù)的顯示解.

關(guān)鍵詞 隨機(jī)控制; Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)；投資；再保險

中圖分類號 F830，O211.3文獻(xiàn)標(biāo)識碼 A

Optimal Investment and Proportional Reinsurance with Transaction Costs

YANGPeng1， LINXiang2

(1.Department of Basic ，Xijing College， Xian，Shannxi 710123，China;

2. School of Mathematics， Central South University， Changsha，Hunan 410075，China)

Abstract This paper studied an optimal investment and reinsurance problem for insurance company， whose surplus was modeled by a jump diffusion risk process.The insurance company can invest part of the surplus in a risk-free asset， and n risky asset and purchase proportional reinsurance for claims. When purchasing risky asset，we assume there exist transaction costs.Thestochastic control theory was appliedto solve this problem，andthe close form expression for vulue function and optimal policy was obtained.

Keywords stochastic control; Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB) equation; investment;reinsurance

1 引 言

Browne［1］首先應(yīng)用隨機(jī)控制理論研究了擴(kuò)散風(fēng)險模型的最優(yōu)投資問題.之后，許多學(xué)者在這一領(lǐng)域進(jìn)行了研究.Bai 和Guo［2］對擴(kuò)散風(fēng)險模型，獲得了使終值財富的指數(shù)效用最大的投資和再保險策略.林祥和楊鵬［3］對擴(kuò)散風(fēng)險模型， 考慮投資和再保險對邊界分紅的影響，得到了使得期望邊界紅利最大的最優(yōu)投資和再保險策略，以及最大期望貼現(xiàn)紅利的顯示表達(dá)，并通過數(shù)值計算得到投資和再保險對紅利的影響.對跳-擴(kuò)散風(fēng)險模型，Irgen 和Paulsen［4］，獲得了使終值財富的指數(shù)效用最大的投資和再保險策略.Yang和Zhang［5］，對跳擴(kuò)散風(fēng)險模型獲得了使終值財富的指數(shù)效用最大的投資策略，但沒有考慮再保險.林祥和錢藝平［6］研究了最小化破產(chǎn)概率的最優(yōu)策略，得到了破產(chǎn)概率和最優(yōu)策略的顯示解.

再保險的保費計算通常使用期望值原理.Hald 和 Schimidli［7］研究了最大化調(diào)節(jié)系數(shù)的最優(yōu)投資問題，對再保險的保費他們考慮了方差原理.目前，還沒發(fā)現(xiàn)有文獻(xiàn)應(yīng)用方差原理來研究最優(yōu)投資和再保險問題.

買賣股票是需要傭金、印花稅、過戶費的，即交易股票是有交易費用的，尤其是頻繁的交易時，交易費用是很大的.因此在風(fēng)險投資時，應(yīng)考慮交易費用，考慮交易費用才更符合實際情況.Zhang 等［8］僅對擴(kuò)散風(fēng)險模型，考慮了含交易費用的投資投資和再保險問題.本文對Zhang 等［8］的研究模型進(jìn)行推廣，研究了跳-擴(kuò)散風(fēng)險模型的帶交易費用的最優(yōu)投資和再保險問題.再保險的保費應(yīng)用方差原理.得到了最優(yōu)策略和值函數(shù)的顯示解.

2 模型和Hamilton-Jacobi-Bellman方程

2.1 模型

考慮跳-擴(kuò)散風(fēng)險模型:

dXt=cdt+βdW0t－d∑Nti=1Yi，(1)

X0=x，

其中，

x≥0表示保險公司的初始盈余；

c>0是保險公司單位時間的保費收入；{Yk，k=1，2，…}是一列獨立同分布的(嚴(yán)格)正值隨機(jī)變量，其共同分布為Fy，密度函數(shù)為fy，F(0)=0，Yk表示第k次賠付的大小；{N(t)，t≥0}是參數(shù)為λ>0的泊松過程，表示到時刻t為止的總的索賠發(fā)生次數(shù)；{W0t，t≥0}是標(biāo)準(zhǔn)的布朗運動，β≥0是常數(shù)，表示擴(kuò)散變差參數(shù).此外，假設(shè){Yk，k=1，2，…}，{N(t)，t≥0}和{W0t，t≥0}之間是相互獨立的.{Xt，t≥0}為保險公司在t時刻的盈余.

下面考慮比例再保險，比例再保險的水平為1－a，即保險公司的自留額為0≤a≤1，分出為1－a，即在每次理賠時保險公司支付100a%，同時再保險公司支付剩余的100(1－a)%.假設(shè)保險公司向再保險公司支付的再保費率為(1－a)λμ1+α(1－a)2λμ2，且c<λ(μ1+αμ2)，α為一常數(shù)，μ1=EY，μ2=EY2.則考慮比例再保險后，保險公司在t時刻的盈余為

dXat=［c－1－aλμ1－α1－a2λμ2］dt+

βdW0t－d∑Nti=1aYi. (2)

考慮一個金融市場，由n+1個金融資產(chǎn)組成，其中一個是無風(fēng)險資產(chǎn)（債券），時刻t的價格{Bt，t≥0}滿足方程

dBt=r0Btdt，

其中，r0>0為無風(fēng)險利率.n個風(fēng)險資產(chǎn)（股票），在時刻t時的價格Sit滿足下面的隨機(jī)微分方程:

dSit=Sit［ridt+∑nj=1σijdWj(t)］，

i=1，2，…，n，

其中，ri≥r0，σij>0為常數(shù)，W(t)={W1(t)，…，Wn(t)}是n維標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，假設(shè)Wjt，j=0，1，2，...，n相互獨立.

買賣風(fēng)險資產(chǎn)都需要交易費用.

θb=［θb1，θb2，…，θbn］′，

θs=［θs1，θs2，…，θsn］′

分別為買賣風(fēng)險資產(chǎn)的交易費用，即買一個單位的風(fēng)險資產(chǎn)i將花費1+θbiSi(t)的資金，賣一個單位的風(fēng)險資產(chǎn)i將得到1+θsiSi(t)的現(xiàn)金.

設(shè)πb，πs分別為買和賣風(fēng)險資產(chǎn)的資金，這里πb=(π1b，π2b，…，πnb)， πs=(π1s， π2s，…，πns).因為不能同時買賣風(fēng)險資產(chǎn)，所以有πb#8226;π′s=0.

比例再保險水平at和在風(fēng)險資產(chǎn)上的投資πb，πs作為控制變量.在任意時刻t≥0，πb=πb(t)，πs=πs(t)和比例再保險水平a=a(t)由保險公司選擇，記π#8226;=(a(#8226;)，πb(#8226;)，πs(#8226;)).一旦π#8226;被選擇了，則保險公司的財富過程為

dXπt=［c－1－aλμ1－α1－a2λμ2+

r0Xπt+πb(t)(r－r0I－θb)+πs(t)(r+

r0I－θs)］dt+［πb(t)+πs(t)］D′D［πb(t)+

πs(t)］′dW1t+β dW0t－d∑Nti=1aYi.(3)

Xπ0=x，

其中，I是n維單位列向量，

r=(r1，r2，…，rn)'，D=σ11 σ21… σn1

σ12 σ22… σn2



σ1n σ2n… σnn.

定義1一個策略π#8226;=(a(#8226;)，πb(#8226;)，πs(#8226;))稱為可行的，如果π#8226;關(guān)于流Ft是可料的，且對于每個t≥0過程π#8226;滿足下面的條件

1) ∫T0［πibt］2dt<

 對所有T<

，

i=1，2，…，n.

2) ∫T0［πist］2dt<

對所有T<

，

i=1，2，…，n

3) 0≤a≤1 .

所有可行的策略記為∏.

2.2 Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程

假設(shè)保險公司的目的是使得時刻T時財富的期望效用最大.設(shè)效用函數(shù)為ux=m－δγe－γx，其中δ>0，γ>0.顯然有u′>0，u″<0.記Vπt，x為時刻t盈余為x時，策略為π時的期望效用，即

Vπt，x=EuXπTXπt=x， 0

目標(biāo)是尋找最優(yōu)的值函數(shù)

Vt，x=sup π∈∏Vπt，x(4)

和最優(yōu)的策略π*使得

Vt，x=Vπ*t，x. (5)

采用Flemming和Soner[9]或Schmidli[10]中介紹的標(biāo)準(zhǔn)方法，得到最優(yōu)的期望財富指數(shù)效用Vt，x滿足下面的HJB方程.

定理1 假設(shè)由(4)定義的V關(guān)于t是連續(xù)可微，關(guān)于x是二次連續(xù)可微函數(shù)，則V滿足下面的HJB方程:

sup π∈∏{Vt+［πb(t)B1+πs(t)B2］Vx+

［c－1－aλμ1－α1－a2λμ2+r0x］Vx+

12［πb(t)+πs(t)］D′D［πb(t)+πs(t)］′Vxx +

12β2Vxx+λE［V(t，x－aY)－V(t，x)］}=0. (6)

邊界條件

VT，x=ux， (7)

這里Vt，Vx，Vxx分別為V關(guān)于t的一階導(dǎo)數(shù)，關(guān)于x的一階導(dǎo)數(shù)和關(guān)于x的二階導(dǎo)數(shù)，且

B1=(r1－r0－θb1，r2－r0－θb2，…，rn－r0－θbn)′，

B2=(r1+r0－θs1，r2+r0－θs2，...，rn+r0－θsn)′.

由Flemming和Soner［9］或Schmidli［10］有下面的檢驗定理.

定理2 設(shè)W∈C2是一凹函數(shù)是HJB方程(6)的解，滿足邊界條件(7)，則式(4)給出的期望財富指數(shù)效用V恰好等于W.進(jìn)一步，若π*使得

Wt+［π*b(t)B1+π*s(t)B2］Wx+12［π*b(t)+

π*s(t)］D′D［π*b(t)+π*s(t)］′Wxx+

［c－1－a*λμ1－α1－a*2λμ2+

r0x］Wx+12β2Wxx+λE［W(t，x－a*Y)－

W(t，x)］}=0，(8)

則π*#8226;是最優(yōu)的策略，也就是Wt，x=Vt，x=Vπ*t，x.

3 輔助結(jié)果

引理1 設(shè)s1定義為

s1z=12‖D′－1z+D′－1B1‖2， (9)

其中，z∈［0，

)n.則s1有唯一的最小值1∈［0，

)n，i.e.

‖D′－11+D′－1B1‖2≤

‖D′－1z+D′－1B1‖2 ，z∈［0，

)n.(10)

Kuhn-Tucker條件對于式(9)中最小的1在區(qū)間［0，

)導(dǎo)致Lagrange multiplier向量1∈［0，

)n使得

1=

s11=D′D－11+D′D－1B1，

11=0.

引理2 設(shè)s2定義為

s2z=12‖D′－1z+D′－1B2‖2，(11)

其中，z∈［0，

)n，則s2有唯一的最小值：

2∈［0，

)n， i.e.

‖D′－12+D′－1B2‖2≤

‖D′－1z+D′－1B2‖2， z∈［0，

)n.(12)

Kuhn-Tucker條件對于式(11)中最小的s2在區(qū)間［0，

)導(dǎo)致Lagrange multiplier向量2∈［0，

)n使得

2=

s22=D′D－12+D′D－1B2，

22=0.

引理3 設(shè) l1 定義

l1z=12z′D′Dz－ρ1B′1z，(13)

其中，z∈［0，

)n，這里ρ1≥0.則l1有唯一的最小值：ρ1D－11∈［0，

)n，這里

1=D′－11+D′－1B1， (14)

其中，1為引理1給出的s1z的唯一最小值.進(jìn)一步′1D－11=0且

l1ρ11=l1ρ1D－1=－12ρ21‖1‖.(15)

引理4設(shè)l2定義為

l2z=12z′D′Dz－ρ2B′2z，(16)

其中，z∈［0，

)n， 這里ρ2≥0.則l2有唯一的最小值ρ2D－12∈［0，

)n，其中

2=D′－12+D′－1B2，(17)

其中，z2為引理2給出的s2z的唯一最小值.進(jìn)一步′2D－12=0且

l2ρ22=l2ρ2D－1=－12ρ22‖2‖. (18)

3 最優(yōu)投資和比例再保險策略

假設(shè)有一解Wx，b，滿足Wx>0和Wxx<0，則由引理1—引理4的輔助結(jié)果，有

sup πb≥0πbB1Wx+12πbD′Dπ′bWxx

=Wxxinf πb≥012πbD′Dπ′b+WxWxxπbB1

=－12W2xWxx‖1‖2，

及

sup πs≥0πsB2Wx+12πsD′Dπ′sWxx

=Wxxinf πs≥012πsD′Dπ′s+WxWxxπsB2

=－12W2xWxx‖2‖2，

其中，1和2由式(14)和式(17)給出，所以有

π*b=－D－11WxWxx，

π*s=－D－12WxWxx.(19)

把式(19)代入式(6)，得到

sup a{［c－1－aλμ1－α1－a2λμ2+r0x］Wx+

12β2Wxx+λE［W(t，x－aY)－W(t，x))］}+

Wt－12W2xWxx‖1‖2+‖2‖2=0.(20)

由Browne［1］或Yang和Zhang［5］，假設(shè)有解:

Wt，x=m－δγexp {－xγer0(T－t)+

12‖1‖2+‖2‖2(T－t)+h(T－t)}.(21)

這里h(#8226;)是一個適合的的函數(shù)使得式(21)是式(20)的一個解，且h(0)=0.因此有

Wt=［W(t，x)－m］［xr0γer0(T－t)+12(‖1‖2+

‖2‖2)－h(huán)′(T－t)］，

Wx=［W(t，x)－m］［－γer0(T－t)］，

Wxx=［W(t，x)－m］［γ2e2r0(T－t)］，

λE［W(t，x－aY)－W(t，x))］

=λ［W(t，x)－m］E［exp {γaYer0(T－t)}－1］.

代入式(20)，有

sup a{－h(huán)′(T－t)+［c－1－aλμ1－α1－a2λμ2］#8226;

［－γer0(T－t)］+12β2γ2e2r0(T－t)+

λE［exp {γaYer0(T－t)}－1］}=0.(22)

假設(shè)

G(a)=－h(huán)′(T－t)+［c－1－aλμ1－

α1－a2λμ2］#8226;

［－γer0(T－t)］+12β2γ2e2r0(T－t)+

λE［exp {γaYer0(T－t)}－1］，

則令Gaa=0，有

μ1+2αμ2(1－a)=E［Yexp {γaYer0(T－t)}］.(23)

定理3方程(23)有唯一正根，且0<<1.

證明 設(shè)

h(a)=μ1+2αμ2(1－a)-E［Yexp {γaYer0(T－t)}］

=μ1+2αμ2(1－a)－∫

0yeγayer0(T－t)F(dy)，

則

h′a=－2αμ2－∫

0y2γer0T－teγayer0(T－t)F(dy)<0，

h″a=－∫

0y3γ2e2r0T－teγayer0(T－t)F(dy)<0.

因此h(a)關(guān)于a是一單調(diào)遞減、凹函數(shù).又因為

h0=2αμ2>0，

h1=μ1－∫

0yeγyer0(T－t)F(dy)<0.

所以式(23)有唯一正解0<<1.

把代入式(22)，得到

h′(T－t)=［c－1－λμ1－α1－2λμ2］#8226;

［－γer0(T－t)］+12β2γ2e2r0(T－t)+

λE［exp {γYer0(T－t)}－1］.(24)

所以

Wt，x=m－δγexp {－xγer0(T－t)+

12(‖1‖2+‖2‖2)(T－t)+h(T－t)}.

因此，從定理2有下面的定理.

定理4 對盈余過程(3)，最優(yōu)的比例再保險策略a*為

μ1+2αμ2(1－a)=E［Yexp {γaYer0(T－t)}］

的正解，且0

π*b=D－11γer0(T－t)，(25)

π*s=D－12γer0(T－t).(26)

最優(yōu)的值函數(shù)為

Vt，x=m－δγexp {－xγer0(T－t)+12(‖1‖2+

‖2‖2)(T－t)+h(T－t)}，(27)

其中，hT－t是下面方程的解.

h′(T－t)=［c－1－a*λμ1－α1－a*2λμ2］#8226;

［－γer0(T－t)］+12β2γ2e2r0(T－t)+

λE［exp {γa*Yer0(T－t)}－1］，(28)

推論 當(dāng)理賠分布為指數(shù)分布，即Fy=1－e－βy，得出最優(yōu)的比例再保險策略a*滿足方程

1β+4αβ2(1－a)=ββ－γaer0(T－t)2，(29)

hT－t滿足方程:

h(T－t)=［c－1－a*λμ1－α1－a*2λμ2］#8226;

γr0［1－er0(T－t)］+14r0β2γ2e2r0(T－t)－1+

λ∫T－t0ββ－γa*er0sds－λT－t. (30)

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文