具有兩種副索賠的離散相依風險模型破產問題

摘 要 考慮了一類離散相依的風險模型，該模型假設主索賠以一定的概率引起兩種副索賠，而第一種副索賠有可能延遲發(fā)生.通過引入一個輔助模型，分別得出了該風險模型初始盈余為0時破產前盈余與破產時赤字的聯(lián)合分布的表達式、初始盈余為u時破產前盈余和破產時赤字的聯(lián)合分布的遞推公式、初始盈余為0時的破產概率，以及初始盈余為u時的破產概率求解方法.最后，結合實例進行了數(shù)值模擬.

關鍵詞 相依索賠;聯(lián)合分布;風險模型;破產概率

中圖分類號 O211.6;F840 文獻標識碼 A

The Ruin Problems of Correlated Discrete Risk Model with Two Kinds of Deputy Claims

ZHAO Ming-qing， ZHANGWei

(College of Information， Shan Dong University of Science and Technology， Qingdao，Shandong 266510， China)

AbstractThe correlated discrete risk model with two kinds of deputy claims was considered. Every main claim may produce two kinds of deputy claim， and the occurrence of the first kind of deputy claim may be delayed. By means of auxiliary model，the expression of the joint distribution of the surplus immediately before ruin and deficit at ruin was obtainedwhen the initial surplus is zero， the recursive formula of the joint distribution of the surplus immediately before ruin and deficit at ruin was obtained when the initial surplus is u， the expression for the ruin probability was obtained when the initial surplus is zero， and the solution for the ruin probability was obtainedwhen the initial surplus is u. Finally， some numerical results according to the insurance case were showed.Keywordscorrelated claims; joint distribution;risk model;ruin probability

1 引 言

在經(jīng)典的風險模型中，各個索賠之間的獨立性假設是一個必要的條件.但是在保險實務中，各個索賠之間往往是有著各種相依關系.文獻[1-3]研究了在索賠計數(shù)過程相關的情況下，總索賠額的分布函數(shù)、矩母函數(shù)以及模型的最終破產概率問題;文獻[4]研究了具有時間相依索賠的復合二項風險模型，得到了有限時間內的生存概率;文獻［5］研究了計數(shù)過程為相依Poisson過程的風險模型;文獻[6]研究了主索賠一定引起副索賠的風險模型;文獻[7]在文獻[6]的基礎上研究了主索賠以一定的概率引起副索賠的風險模型.本文則是考慮了一個主索賠能引起兩種副索賠，而第一種副索賠有可能發(fā)生延遲的情形.

2 模型建立

考慮這樣一種保險，比如機動車輛保險，它的賠付有一定的概率會引起駕駛員的人身保險的賠付，也有一定的概率引起財產險賠付，而人身險可能在當期賠付，也可能會推遲到下一期（搶救無效死亡等原因），財產險都是當期賠付的.這個風險模型包含了三種索賠，主索賠和由它引起的兩個副索賠.為了方便，把時間離散化，離散時間單位用k=0，1，2，…表示.設時段(k－1，k］內發(fā)生一次主索賠的概率為q(0

假設所有的索賠額為相互獨立的正整數(shù)值隨機變量.令X1，X2，…是相互獨立同分布的主索賠額序列，概率函數(shù)為hl=PX=l，l=1，2，…，母函數(shù)為

(z)=∑

l=1hlzl，期望為μX=∑

l=1lhl;令Y1，Y2，…是相互獨立同分布的第一種副索賠的索賠額序列，概率函數(shù)為gm=PY=m，m=1，2，…，母函數(shù)為(z)=∑

m=1hmzm，期望為μY=∑

m=1mgm;令Z1，Z2，…是相互獨立同分布的第二種副索賠的索賠額序列，概率函數(shù)為kn=PZ=n，n=1，2，…，母函數(shù)為(z)=∑

n=1hnzn，期望為μZ=∑

n=1nkn.

假設在每個單位時間內保費收入為1，初始準備金為非負整數(shù)u，SXk，SYk和SZk分別表示最初k個單位時段內主索賠和兩個副索賠的總額.令

Uk=u+k－SXk－SYk－SZk， (1)

其中，U0=u，k=0，1，2，…，則式(1)為該模型的盈余過程.

定義破產時刻T=inf k:Uk<0，初始盈余為u時的破產概率ψ(u)= PT<

.

3 破產前盈余和破產時赤字的聯(lián)合分布

索賠發(fā)生有兩種可能的情形:第一種是，如果一次主索賠在某一個時段發(fā)生，它若引起第一種副索賠，而第一種副索賠也在同一時段發(fā)生，那么下一個時段無上個時間段引起的副索賠發(fā)生，盈余過程實際上重新開始;第二種是，存在一次主索賠，它引起的第一種副索賠延遲到下一個時段.對于第二種情形，引入下面輔助模型:

設初始準備金為非負整數(shù)u，SXk，SYk和SZk分別表示最初k個單位時段內主索賠和兩個副索賠的總額，Y為第一種副索賠額隨機變量.令

U′k=u+k－SXk－SYk－SZk－Y，(2)

其中，U′0=u，則式(2)所定義的盈余過程為上述第二種情形的條件盈余過程.

相應地，定義破產時刻T′=inf k:U′k<0.

模型(1)破產前瞬時盈余和破產時赤字的聯(lián)合分布為

f(u，x，y)=P{T<

，UT－1=x，

UT=－y/U0=u}

模型(2)破產前瞬時盈余和破產時赤字的聯(lián)合分布為

f′(u，x，y)=P{T′<

，U′T－1=x，

U′T=－y/U′0=u}.

在(0，1］]時間段內，盈余過程(1)的索賠情況有以下7種:

1) 無主索賠發(fā)生，過程可看成從時刻1開始，初始準備金為u+1;

2) 有主索賠X發(fā)生，但未引起副索賠Y和Z，過程可看成從時刻1開始，初始準備金為u+1－X;

(3) 有主索賠X發(fā)生，同時引起副索賠Y，且與主索賠同時段發(fā)生，但沒引起副索賠Z，過程可看成從時刻1開始，初始準備金為u+1－X－Y;

4) 有主索賠X發(fā)生，同時引起副索賠Y，但副索賠推遲到(1，2］內發(fā)生，不引起副索賠Z，過程可看成從時刻1開始，此時變成了模型(2)，初始準備金為u+1－X;

5) 有主索賠X發(fā)生，不引起副索賠Y，但引起副索賠Z，過程可看成從時刻1開始，初始準備金為u+1－X－Z;

6) 有主索賠X發(fā)生，同時引起副索賠Y，且與主索賠同時段發(fā)生，也引起副索賠Z，過程可看成從時刻1開始，初始準備金為u+1－X－Y－Z;

7) 有主索賠X發(fā)生，同時引起副索賠Y，但副索賠推遲到(1，2］內發(fā)生，也引起副索賠Z，過程可看成從時刻1開始，此時變成了模型(2)，初始準備金為u+1－X－Z.

當u≠x時，根據(jù)全概率公式，可得

f(u，x，y)=pf(u+1，x，y)+

q(1－θ1)(1－θ2)∑l≤1+uf(u+1－l，x，y)hl+

qrθ1(1－θ2)∑l+m≤1+uf(u+1－l－m，x，y)hlgm+

q(1－r)θ1(1－θ2)∑l≤1+uf′(u+1－l，x，y)h+

q(1－θ1)θ2∑l+n≤1+uf(u+1－l－n，x，y)hlkn+

qrθ1θ2∑l+m+n≤1+uf(u+1－l－m－n，x，y)hlgmkn+

q(1－r)θ1θ2∑l+n≤1+uf′(u+1－l－n，x，y)hlkn.(3)

當u=x時，f(x，x，y)包含兩種情況:第一種情況與式(3)類似;第二種情況是在時刻1時就破產了，破產前盈余即為初始盈余.因此，有

f(x，x，y)=pf(x+1，x，y)+

q(1－θ1)(1－θ2)∑l≤1+xf(x+1－l，x，y)hl+

qrθ1(1－θ2)∑l+m≤1+xf(x+1－l－m，x，y)hlgm+

q(1－r)θ1(1－θ2)∑l≤1+xf′(x+1－l，x，y)hl+

q(1－θ1)θ2∑l+n≤1+xf(x+1－l－n，x，y)hlkn+

qrθ1θ2∑l+m+n≤1+xf(x+1－l－m－n，x，y)hlgmkn+

q(1－r)θ1θ2∑l+n≤1+xf′(x+1－l－n，x，y)hlkn+D，(4)

其中，D即為1時刻就破產的情形:

D=q(1－θ1)(1－θ2)hx+y+1+

qθ1(1－θ2)(1－r)hx+y+1+

qθ1(1－θ2)r∑l+m=x+y+1hlgm+

qθ1θ2r∑l+m+n=x+y+1hlgmkn+

qθ1θ2(1－r)∑l+n=x+y+1hlkn+

q(1－θ1)θ2∑l+n=x+y+1hlkn.(5)

類似地，對于模型(2)，當u≠x時，有

f′(u，x，y)=p∑s≤1+uf(u+1－s，x，y)gs+

q(1－θ1)(1－θ2)∑l+s≤1+uf(u+1－l－s，x，y)hlgs+

qrθ1(1－θ2)∑l+m+s≤1+uf(u+1－l－m－s，x，y)hlgmgs+

q(1－r)θ1(1－θ2)∑l+s≤1+uf′(u+1－l－s，x，y)hlgs+

q(1－θ1)θ2∑l+n+s≤1+uf(u+1－l－n－s，x，y)hlkngs+

qrθ1θ2∑l+m+n+s≤1+uf(u+1－l－m－n－s，x，y)hlgmkngs+

q(1－r)θ1θ2∑l+n+s≤1+uf′(u+1－l－n－s，x，y)hlkngs.(6)

當u=x時，有

f′(x，x，y)=p∑s≤1+xf(x+1－s，x，y)gs+

q(1－θ1)(1－θ2)∑l+s≤1+xf(x+1－l－s，x，y)hlgs+

qrθ1(1－θ2)∑l+m+s≤1+xf(x+1－l－m－s，x，y)hlgmgs+

q(1－r)θ1(1－θ2)∑l+s≤1+xf′(x+1－l－s，x，y)hlgs+

q(1－θ1)θ2∑l+n+s≤1+xf(x+1－l－n－s，x，y)hlkngs+

qrθ1θ2∑l+m+n+s≤1+xf(x+1－l－m－n－s，x，y)hlgmkngs+

q(1－r)θ1θ2∑l+n+s≤1+xf′(x+1－l－n－s，x，y)hlkngs+D′， (7)

其中，

D′=pgx+y+1+q(1－θ1)(1－θ2)∑l+s=x+y+1hlgs+

qθ1(1－θ2)(1－r)∑l+s=x+y+1hlgs+

qθ1(1－θ2)r∑l+m+s=x+y+1hlgmgs+

qθ1θ2r∑l+m+n+s=x+y+1hlgmkngs+

qθ1θ2(1－r)∑l+n+s=x+y+1hlkngs+

q(1－θ1)θ2∑l+n+s=x+y+1hlkngs.(8)

由式(3)和(4)，對u從0到

求和，可以推得

∑

u=0f(u，x，y)=p∑

u=1f(u，x，y)+

q(1－θ1)(1－θ2)∑

u=0f(u，x，y)+

qrθ1(1－θ2)∑

u=0f(u，x，y)+

q(1－r)θ1(1－θ2)∑

u=0f′(u，x，y)+

q(1－θ1)θ2∑

u=0f(u，x，y)+

qrθ1θ2∑

u=0f(u，x，y)+

q(1－r)θ1θ2∑

u=0f′(u，x，y)+D. (9)

由式(6)和(7)，對u從0到

求和，可以推得

∑

u=0f′(u，x，y)

=p∑

u=0f(u，x，y)+q(1-θ1)(1－θ2)∑

u=0f(u，x，y)+

qrθ1(1－θ2)∑

u=0f(u，x，y)+

q(1－r)θ1(1－θ2)∑

u=0f′(u，x，y)+

q(1－θ1)θ2∑

u=0f(u，x，y)+qrθ1θ2∑

u=0f(u，x，y)+

q(1－r)θ1θ2∑

u=0f′(u，x，y)+D′.(10)

由式(9)和(10)聯(lián)立方程組，可以求得初始盈余為0時破產前盈余和破產時赤字的聯(lián)合分布f(0，x，y).

定理1當u=0時，盈余過程(1)的破產前盈余和破產時赤字的聯(lián)合分布為

f(0，x，y)=qθ1(1－r)D′+(1－qθ1+qrθ1)Dp(1－qθ1)+pqrθ1， (11)

其中，D和D′如(5)和(8)所示.

證明 式 (10)減去式(9)，整理得

∑

u=0f′(u，x，y)=∑

u=0f(u，x，y)+

pf(0，x，y)+D′－D.(12)

將式(12)代入式(9)，并整理即得結論.

令(z)=∑

u=0f(u，x，y)zu，

'(z)=∑

u=0f'(u，x，y)zu (0

z(z)－p(z)－q(1－θ1)(1－θ2)(z)(z)－

qθ1(1－θ2)×(z)(z)(z)－

q(1－θ1)θ2(z)(z)(z)－qθ1θ2#8226;

(z)(z)(z)(z)

=－pf(0，x，y)+q(1－r)θ1(1－θ2)(z)#8226;

1zpf(0，x，y)(z)－(z)Dzx+D'zx+

q(1－r)θ1θ2(z)(z)#8226;

1zpf(0，x，y)(z)－(z)Dzx+D'zx+Dzx+1.

把上式兩邊都展成z的多項式，并比較zu的系數(shù)，可以得到:

定理2 設u(u為正整數(shù))是盈余過程的初始盈余，那么破產前盈余和破產時赤字的聯(lián)合分布滿足遞推公式:

pf(u，x，y)=f(u－1，x，y)－

q(1－θ1)(1－θ2)∑ul=1f(u－l，x，y)hl－

qθ1(1－θ2)∑uv=2∑m+l=vf(u－v，x，y)hlgm－

q(1－θ1)θ2∑us=2∑l+n=sf(u－s，x，y)hlkn－

qθ1θ2∑ut=3∑l+m+n=tf(u－t，x，y)hlgmkn－

pqf(0，x，y)(1－r)θ1θ2∑l+m=u+1hlgm－

pqf(0，x，y)(1－r)θ1θ2∑l+m+n=u+1hlgmkn+

D［q(1－r)θ1(1－θ2)∑l+m=u－xhlgmI{u≥2+x}+

q(1－r)θ1θ2∑l+m+n=u－xhlgmknI{u≥3+x}－I{u=1+x}］－

D′［q(1－r)θ1(1－θ2)hu－xI{u≥1+x}+

q(1－r)θ1θ2∑l+n=u－xhlknI{u≥2+x}］.

4 初始盈余為0時的破產概率

定理3當u=0時，破產概率為

PT<

/u=0

=qθ1μY1－qθ1(1－r)2(1－θ2)+qμX1－θ1(1－r)(1－θ2)+qθ2μZ－q1－θ1(1－r)(1－p－θ2)p(1－qθ1)+pqrθ1.

證明 易知：

∑

x=0∑

y=1D=q+qθ1(r－1)(1－θ2)μX+

rqθ1μY+qθ2μZ－q+qθ1(r－1)(1－θ2)，

∑

x=0∑

y=1D′=q－qθ1(1－θ2)(1－r)μX+

1－qθ1+2qθ1r+qθ1θ2－qθ1θ2rμY+

qθ2μZ－1+qθ1(1－θ2)(1－r).

因此，由式(11)得

PT<

/u=0

=∑

x=0∑

y=1f(0，x，y)=∑

x=0∑

y=1qθ1(1－r)D′+(1－qθ1+qrθ1)Dp(1－qθ1)+pqrθ1

=qθ1μY1－qθ1(1－r)2(1－θ2)+qμX1－θ1(1－r)(1－θ2)+qθ2μZ－q1－θ1(1－r)(1－p－θ2)p(1－qθ1)+pqrθ1.

由定理1和定理2可以求得初始盈余為u時破產前盈余和破產時赤字的聯(lián)合分布，同樣對x和y分別求和即可得到初始盈余為u時的破產概率.具體求解方法有以下幾步:

1)由定理1求得初始盈余為0時破產前盈余和破產時赤字的聯(lián)合分布f(0，x，y);

2)對于指定的u，由定理2的遞推公式求得初始盈余為u時破產前盈余和破產時赤字的聯(lián)合分布f(u，x，y);

3)將f(u，x，y)對x和y分別求和，即可得到初始盈余為u時破產概率ψ(u).

5 數(shù)值模擬

設0≤θ1≤1，0≤θ2≤1，0≤r≤1，索賠額X，Y和Z分別服從如下幾何分布:

PX=k=ak－1(1－a)， PY=k=bk－1(1－b)，PZ=k=ck－1(1－c)，

其中0

6 結束語

本文研究了一類具有兩種副索賠的離散相依風險模型，雖然相依索賠風險模型的研究有一定困難，但本文通過引進輔助模型，分別得出了該風險模型初始盈余為0時破產前盈余與破產時赤字的聯(lián)合分布的表達式、初始盈余為u時破產前盈余和破產時赤字的聯(lián)合分布的遞推公式、初始盈余為0時的破產概率等，最后進行了數(shù)值模擬.在本文研究的基礎上，尚需進一步研究的問題:(1)初始盈余為u時破產概率的遞推公式;(2)盈余達到某個預期值時刻的分布，等等.

參考文獻

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