雞兔同籠問題解題策略的調查與思考

【關鍵詞】 雞兔同籠 調查思考

【文獻編碼】 doi：10.3969/j.issn.0450

-9889（A）.2011.05.031

一、 問題的提出

雞兔同籠問題是我國古代著名趣題之一，在現行教材中，北師大版五年級上冊、蘇教版六年級上冊、北京版四年級下冊和人教版六年級上冊均安排了雞兔同籠的多種解法及實際應用。那么，學生到底會運用怎樣的解題策略，采用不同策略的學生人數各有多少，引起了筆者的思考。為此，筆者就人教版第十一冊數學廣角中的例題讓本校四、五、六年級的學生解答，試圖從學生的解題中發現其解題策略，并分析學生解題策略的心理特征。

二、 測試的問題、對象和過程

1. 測試的問題

有一些雞兔關在同在一個籠子里，從上面數，有35個頭；從下面數，有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔？（請盡可能寫出較詳細的思考過程，并寫出盡可能多的解題方法）做完題目后，請在你選擇的項目后打上“?菁”。

這道題：很有趣（），有趣（）， 無趣（）。

雞兔同籠問題：以前從沒有聽過（），聽過但沒有做過（），以前做過（）。

2. 測試的對象

按照現行的人教版小學數學教材，本校四年級及以上的學生已經具備了解答雞兔同籠問題的基本能力，因此測試的對象選擇了小學四、五、六年級的學生各兩個班年齡分別是10、11 、12歲，人數分別為120、100、102人?！咀ⅲ何迥昙墝W生已經做過本冊第72頁第7題（雞和兔的數量相同，兩種動物的腿加起來共有48條。雞和兔各有多少只？），六年級的學生還沒有教到數學廣角的內容?！?/p>

3. 測試和訪談過程

2010年12月22日上午，在學生不知情的情況下，由各任課老師協助組織進行測試。在測試前，不給學生任何解題提示，讓學生獨立解答，并規定時間為20分鐘。學生在解題過程中沒有任何討論和交流?；痉从沉藢W生獨立解決這一問題的真實水平。測試后，立即對學生的解題情況進行初步整理，在整理的基礎上，選擇部分學生一一訪談。測試與訪談在同一上午完成。

4. 問卷發放與回收

本次研究共發放測驗卷322份，回收有效卷322份，有效率100%。

三、 結果與分析

1. 小學中高年級學生解題能力存在差異

從表一中，我們看出四、五年級解決此類問題的能力相差不大，但六年級解題能力明顯高于四、五年級。 四、五年級學生解答此題錯誤的人數分別占73.3%和70%。分析這部分學生的測試卷，可以分三種情況：第一種是學生已經找到解題思路，但對自己列出的算式所表示的意思不是很明確，導致得出結論錯誤；第二種是學生曾嘗試用列舉法一個一個試，但由于數據比較大，學生沒有足夠的耐心和信心去完成，半途而廢了；第三種是學生對此題無從入手，交了空白卷。

2. 小學中高年級學生解題的策略已呈現多樣化

通過對四、五、六三個年級學生測試卷的分析，筆者發現學生的解題策略是多樣的。以下是學生幾種典型的解法。

①列舉法。學生抓住雞兔共35只這個信息，從雞35只兔0只開始算腳的只數，一一列舉，直到找出94只腳為止，這是逐一列舉法。當然也可以是跳躍列舉法和取中列舉法。在被測試的學生中，采用這種方法的學生四年級有5%，五年級有6%，六年級有12.7%。

②畫圖法。用圓圈表示頭，直線表示腳，每只雞長一個頭兩只腳，每只兔長一個頭四只腳。先畫出35個圓圈代表35個頭，然后給每只動物長上2條腳，全部長齊后發現還有多余的腳沒有長上，繼續在兩條腳的動物上兩只腳兩只腳的加，直到共94只腳為止。畫圖法非常形象直觀，便于學生理解，許多老師都曾嘗試讓低年級的學生用此方法解答雞兔同籠問題，效果頗佳。不過，參加這次測試的五年級學生中只有11人用這種方法，六年級沒有一人使用。經過訪談，筆者了解到被測試的四年級學生大部分沒有接觸過此類問題，想不到用畫圖法解決，而六年級的大部分學生認為這種方法太麻煩，或畫圖法思維層次太低，不屑一用。

③假設法。這是解答雞兔同籠問題最常見的方法，其中包括把35只動物都假設成雞和全部假設成兔兩種情況。

分析材料時發現，用假設法的學生解題思路清晰，對算式所表示的意思表述得很清楚。統計時，筆者也看到使用這種方法解題的人數最多，三個年級共達到了97人，占全部做對人數的56.1%。其中，能同時使用兩種假設情況解題的有37人，占使用此種方法人數的38.1%?？梢?，這是一種學生容易理解、樂于接受的解題方法。

④列方程法。用列方程的方法解答雞兔同籠問題數量關系非常清晰，但由于此類方程在設未知數和解方程時比較復雜，很少有學生使用這種方法。四年級學生尚未學過方程，因此沒有出現此種解法。六年級學生也只有7人想到用方程解答，占6.9%。五年級的學生此時剛剛學過方程，并做過教材中一道雞兔只數相同的練習題。但是此題不同，五年級有兩名學生發現此題的雞與兔只數不同，所以他們都用了兩個不同的未知數表示雞與兔的只數。而正確解答出來的僅一位，原來該生的家長是一位初中數學教師，已經詳細地給她介紹過這種解法?？梢姡迥昙壍膶W生用方程解答此類問題存在一定的難度。

⑤金雞獨立法。在統計測試卷時，筆者發現三個年級均有學生出現這種解法。但在訪談中，筆者發現使用這種解法的學生并不太明白這種方法獨特的思考過程。

3. 題目的趣味性、學生知識面是否廣泛與答題的正確率之間有密切關系

分析表二、表三中的數據結果，筆者發現：①四年級學生從沒接觸過雞兔同籠問題的人數最多，將近半數，不過他們認為此題很有趣的人數的比例也是三個年級最高。由此，筆者認為學生對于新鮮的事物充滿好奇心，此題能引起他們的探究欲望。②五年級學生有超過半數的人在以前做過此題，但正確率卻只有30%，覺得題目無趣的比例也占三個年級人數之最，說明五年級的學生雖然接觸過此類型的題目，但由于題目難度大，學生難以很好掌握，他們沒有了四年級那時的新鮮感，反而覺得有些挫敗，因此覺得無趣。在訪談五年級個別學生時，有個學生認為這樣的題目不現實，“都看到雞和兔的頭了，難道還不知道幾只雞幾只兔嗎”？③六年級的學生隨著年齡的增長，見識面不斷拓寬，知識儲備量增多和自學能力加強，普遍接觸到了這種經典的雞兔同籠問題，并有足夠的能力解答，解題的正確率達到了72.5%，認為題目有趣的人數比例也達到了87.3%。

由此，筆者認為學生對題目的新鮮感可以引起學生的學習興趣和探究欲望，但如果題目難度過大，會挫傷學生學習的積極性，對學習能力較強者來說，這樣的題目具有一定的挑戰性，他們更愿意接受。

四、 對課堂教學的啟示

作為六年級上冊第七單元數學廣角《雞兔同籠問題》的教學前測，筆者發現六年級學生已經有72.5%已經掌握了正確的解題方法。那么，如何在這節課中讓每一個學生參與學習，并都有所得，成了教師們值得思考的問題。筆者認為應該做到以下幾點。

1. 注重發揮學生主體作用

從測試卷中，筆者發現部分學生解題思路非常清晰，語言表達準確。教師不妨發揮這些學生的帶頭作用，充分信任學生，把課堂交給他們，讓他們來當小老師講解自己解題的各種方法，帶動全班學生一起學習。教師還要鼓勵學生大膽發表不同見解，使每個學生的思維空間都盡可能得到拓展，讓學生在輕松愉悅的課堂氛圍中主動地構建自己的知識、方法、思維乃至創新能力，實現自身能力的發展。這樣的課堂成為了學生展示自我、發展自我的舞臺，真正體現了學生是學習的主人。

2. 注重滲透數學思想方法

這節課的課堂教學不僅要讓學生了解多種解題策略，還要注重滲透數學思想方法。如，在教學列舉法時，不僅要滲透列舉思想方法，還要注意滲透思考的有序性；用假設法時，不僅滲透假設的數學思想，還可以結合畫圖法，數形結合更有利于學生的理解和掌握；列方程解決問題的思想方法就是代數的思想方法，等等。當然我們也要清楚的知道，多種數學思想方法同時作用于雞兔同籠問題中時，它們之間必然存在相互關聯之處。畫圖是對列舉的結果的形象呈現和為假設提供的直觀支撐，假設是對前面諸法的有效提升，代數是假設的聯想產物。因此，我們應該注意這些方法之間的相互聯系與溝通。

3 . 注重凸顯人文價值

在數學課中，合理有效地開發利用教材中的人文財富，凸顯數學課堂的人文價值，最大限度地培養學生的學習興趣和好奇心，啟迪學生的思維和智慧，這是值得我們每一位數學教師思考的問題。雞兔同籠問題是古代著名的趣題，自古到今有許許多多中外數學家為之癡迷，并想出了很多解法。教師不妨在這節課中介紹各數學家與其解法的故事。如在介紹假設法時，可以讓學生了解我國張景中院士獨具匠心的情景：雞的翅膀也可以看成前腳，可以假設全部有4只腳；講解金雞獨立法時，可以介紹古代的孫子及其《孫子算經》和美國杰出數學教育家波利亞及其波利亞跳舞法。另外，我們還可以向學生介紹不僅中國有雞兔同籠問題，日本也有類似的龜鶴問題，俄羅斯有人狗問題，等等。這樣的一些課外介紹，往往能讓學生對數學產生濃厚的興趣，也能給學生以無窮的價值觀影響和道德情操的感染。

（責編林劍）