通過(guò)分?jǐn)?shù)學(xué)分式

數(shù)學(xué)是以數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要形式和研究對(duì)象的科學(xué)，數(shù)量關(guān)系和空間形式是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來(lái)的，這樣的抽象是一個(gè)逐步深入的過(guò)程，人們首先從計(jì)算具體物體個(gè)數(shù)的活動(dòng)中抽象出整數(shù)概念，又從把一個(gè)具體事物分為若干份的活動(dòng)中抽象出分?jǐn)?shù)的概念，這是一種從實(shí)物到數(shù)的抽象，人們?cè)谘芯空麛?shù)和分?jǐn)?shù)的過(guò)程中，為了更好的反映一般規(guī)律，又抽象出整式和分式的概念，這是一種數(shù)到式的抽象。

“從具體到抽象，從特殊到一般”是人們認(rèn)識(shí)事物經(jīng)常經(jīng)歷的過(guò)程，所以，我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中，應(yīng)該充分利用學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)已有的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，發(fā)揮這樣的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)的作用，通過(guò)分式和分?jǐn)?shù)的類比，從具體到抽象、從特殊到一般的認(rèn)識(shí)分式，解決有關(guān)分式的習(xí)題，這樣有助于理解和記憶所學(xué)的分時(shí)段內(nèi)容。同時(shí)，這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程對(duì)于培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)方法也會(huì)起到引導(dǎo)作用。

那么我們先一起探討一下分式和分?jǐn)?shù)之間究竟存在怎樣的關(guān)系吧!

分式的定義:如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。在這個(gè)定義中，需要特別注意定義中隱含的幾點(diǎn):①分式是兩個(gè)整式相除的分式，其中分子為被除式，分母為除式，分?jǐn)?shù)線起除號(hào)的作用;②分式的分母中必須含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，這是區(qū)別整式的重要依據(jù)。在這個(gè)概念中，如果A，B都是整數(shù)，那么就成了我們熟悉的分?jǐn)?shù)了。既然分?jǐn)?shù)和分式在形式上如此相像，那么他們是不是也具有很多共同的性質(zhì)呢?我們是不是可以通過(guò)對(duì)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)的掌握來(lái)理解分式的一些性質(zhì)呢?

一、為什么分式需要判斷何時(shí)有意義?

在任何情況下，分式的分母的值都不可以為0，否則分式無(wú)意義。這里，分母是指除式而言。而不是只就分母中某一個(gè)字母來(lái)說(shuō)的。也就是說(shuō)，分式的分母不為零是隱含在此分式中而無(wú)須注明的條件。這個(gè)條件其實(shí)我們?cè)趯W(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的時(shí)候就知道，0不能當(dāng)分母，所以，我們就很好理解為什么必須會(huì)判斷一個(gè)分式何時(shí)有意義。

相關(guān)習(xí)題:

當(dāng)x取什么值時(shí)，下列分式有意義?

(1)(2) (3)

解:(1)當(dāng)3x-5≠0，即x≠時(shí)，分式有意義。

(2)當(dāng)|x|-1≠0時(shí)，即x≠±1時(shí)，分式有意義。

(3)因?yàn)闊o(wú)論x取什么值，x2+2>0，所以無(wú)論x取任何實(shí)數(shù)，分式都有意義。

二、會(huì)解決當(dāng)x為何值時(shí)，分式值為0.

根據(jù)以前學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)的知識(shí)，=0，=0，=0，所以學(xué)生很容易得到:讓一個(gè)分式的分子為0，這個(gè)分式的值為0的結(jié)論。但是，在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的時(shí)候，我們就知道0是不能當(dāng)分母的，也就是是沒(méi)有意義的。用除法也很好解釋:0除以任何一個(gè)不為0的數(shù)，商為0。在這里，也強(qiáng)調(diào)了分母(或者除數(shù))不能為0.所以，讓一個(gè)分式值為0的正確結(jié)論是:分子為0但是分母不為0。相關(guān)習(xí)題:

當(dāng)x取何值時(shí)，下列分式值為0?

(1) (2) (3)

解:(1)由x+2=0，2x-3≠0，得x=-2.所以，當(dāng)x=-2時(shí)，分式值為0.

(2)由|x|-2=0，x+2≠0，得x=2.所以，當(dāng)x=2時(shí)，分式值為0.

(3)由x-3=0，x-9≠0，得到無(wú)論x取何值分式的值都不可能為0，所以沒(méi)有使分式值為0的x的值。

三、會(huì)解決一個(gè)分式何時(shí)值為正，何時(shí)值為負(fù)?

在前面分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)中，我們知道分?jǐn)?shù)線起除號(hào)的作用，利用除法法則，兩數(shù)相除，同號(hào)得正異號(hào)得負(fù)，從而在分式的題中，我們通過(guò)這個(gè)法則，可以很容易解決這類型的題。如:

(1)當(dāng)x 時(shí)，分式的值為正?

(2)當(dāng)x 時(shí)，分式的值為負(fù)?

(3)當(dāng)x 時(shí)，分式的值為正?

解:(1)根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算法則，同號(hào)相除得正，而分子1是正數(shù)，可知x+2是正數(shù)，所以 x+2>0，x>-2.

(2)因?yàn)閤2+1>0，根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算法則，異號(hào)兩數(shù)相除得負(fù)，可知1-x<0，所以x>1.

(3)在這個(gè)題目中，無(wú)論是分式的分子還是分母我們都無(wú)法判斷是正還是負(fù)，但是根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算法則，我們可以借助于不等式組，來(lái)解決這道題:當(dāng)分子是正的時(shí)候，分母也是正的;當(dāng)分子是負(fù)的時(shí)候分母也是負(fù)的。于是得到:

x-1>0 x+2>0或者x-1<0 x+2<0，解得:x>1時(shí)或者x<-2時(shí)分式值為正。

綜上可知，分式的學(xué)習(xí)與分?jǐn)?shù)之間的學(xué)習(xí)存在著很密切的關(guān)系，他們之間是具體與抽象，特殊與一般之間的關(guān)系。我們通過(guò)他們之間的類比，可以很好很輕松的學(xué)好分式的有關(guān)知識(shí)。當(dāng)然學(xué)習(xí)分式后，我們還可以解決大量的實(shí)際生活中的問(wèn)題，讓學(xué)生可以感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是貼近實(shí)際，貼近生活的。