高中數學分類討論思想的幾點應用
2010-12-31 00:00:00范金良
中學課程輔導·教師教育(上、下) 2010年8期
摘 要:分類討論作為一種思想方法，在高中數學解題中是一種策略，常能使問題變的簡單。但這種方法高中學生有時分不清，什么時候該討論，或者見參數就討論。本文就在高中數學學習中常碰到的分類討論在不同知識點中的應用做一簡單敘述。
關鍵詞：高中數學；分類討論；應用
中國分類號：G424 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2010）4-047 -02
分類討論的思想是高中數學中一個重要的數學思想方法，所謂分類討論，就是在研究和解決數學問題時，當問題所給對象不能進行統一研究，我們就需要根據數學對象的本質屬性的相同點和不同點，將對象區分為不同種類，然后逐類進行研究和解決，最后綜合各類結果得到整個問題的解決，這一思想方法，我們稱之為“分類討論的思想”。本文就分類討論的思想在函數、數列、向量、不等式、導數中的應用做一舉例探討。
一、分類思想在函數中的應用
例1 函數f(x)=x2+ax+3，當x∈［-2，2］恒成立，求a的范圍。
分析:恒成立問題是高中數學中的一個重難點，對變量或參數的討論因題而異，常采用根的分布和分離參數的方法求解。
【解析】法一：對參數a討論
f(x)=x2+ax+3的對稱軸是x=-a2
1°-a2≤-2即a≥4時，f(-2)≥a，得a≤73，舍去；
2°-2＜-a2＜2即-4＜a＜4時，f(-a2)≥a，得-6≤a≤2，∴-4＜a≤2;
3°-a2≥2即a≤-4時，f(2)≥a，得a≥7，∴-7≤a≤-4;
愛思考的數學科代表：為什么不是任意四邊形，非要是圓內接四邊形呢？
一波未平，一波又起！（我驚出一身冷汗：課前備課，沒有預設．）
怎么辦？有困難，找學生！（生本教育的理念）
師：同學們，你們以為呢？
（學生在思考，老師也在思考．老師充分運用時間等待原則．幾分鐘之后，）
生 ：由于三角形是圓內接三角形，所以要類比到圓內接四邊形．
師：有道理．
生 ：四條邊長一定的四邊形的形狀不確定。（手里拿著四支筆比劃著）
師：對！初中平幾就學過：四邊形不具有穩定性，三角形具有穩定性．
科代表帶著似乎不太滿意的表情，點點頭．
這時，生 ：從證明過程來看，如果是任意四邊形，那么(2)式：B+D=180°
就不成立，下面的就推不出來．
師：對！(2)式和(3)式就得不到．
師：那，那能得到什么呢？
生C：只能得到：
S=12absin B+12cdsin D，
即:4S=2absin B+2cdsin D……(4)
a2+b2-c2-d2=2abcos B-2cdsin D……(5)
師：那又能得到什么呢？
生 ：發現兩式的右邊形式相似，可以把兩式平方相加，
得16S2+(a2+b2-c2-d2)2=4(a2b2+c2d2)+8abcdcos(B+D)，
16S2=4(a2b2+c2d2)-(a2+b2-c2-d2)2+8abcdcos(B+D)．
生C大叫：當B+D=180°時，S取得最大值．
至此，我也驚喜：原來，在四邊長度一定的四邊形中，圓內接四邊形的面積是最大的．科代表也滿意的點點頭，露出了滿意的微笑．
點評：這節課結束后，雖然后面的幾道例題沒來得及講，但是筆者認為，在新課改精神的引領下，在生本教育的理念下，面對學生的質疑，敢于大膽改變預設，進行二度教學設計，解決學生的疑問，促進新的生成，別樣精彩．
參考文獻:
［1］王健民、劉紅云.破解新課改課堂教學N個密碼［M］.北京：中國文聯出版社，2009.
［2］單燇. 數學５（必修）［M］.南京：江蘇教育出版社， 2007.
