“二度設計” 別樣精彩
2010-12-31 00:00:00王如進
中學課程輔導·教師教育(上、下) 2010年8期
摘 要：在數學課堂教學設計中，有時會遇到老師的預設與學生的生成不匹配的時候，這就需要老師隨機應變，進行二度教學設計.本文通過一堂教學實例《推理與證明》，在學生出疑處展開二度教學設計，進行了大膽的探索和實踐.
關鍵詞:二度教學設計;海倫公式;類比推理
中國分類號：G424 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2010）4-046 -02
在新課程背景下，教學設計應該精心預設哪些內容？動態生成，老師需要哪些教育機智和教學策略？在學生出疑處展開“二度教學設計”是應對課堂生成的一種積極對策，教學實踐中該如何展開呢？［1］請看一例：
在筆者的高三一輪復習課《推理與證明》中，教學案的前置作業中有這樣一題：
題目：在△ABC中，a，b，c為三邊長，三角形面積S=p(p-a)(p-b)(p-c)（p=12(a+b+c)）．又三角形可以看作是四邊形的極端情形(即四邊形的一邊退化為零)．受其啟發， 請你寫出圓內接四邊形 的面積公式： ．
這道題的原型是《數學5》（必修）Ｐ．24復習題的第9題（海倫公式），課本上的這道題是個閱讀題，供學生探究和拓展用的．［2］
預設：這道題從學生預習的情況反饋來看，主要的問題有：
（1）不會做；
（2）錯寫成S=p(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)；
（3）錯寫成S=p(p-a)(p-b)(p-c)．
課堂上這道題準備這樣處理：先從特殊值和面積的單位兩個不同的角度來分析（2）的錯誤，再啟發學生從形式上三角形面積S=(p-0)(p-a)(p-b)(p-c)，引導出圓內接四邊形的面積S=(p-a)(p-b)(p-c)(p-c)．
實際教學：這道題處理好后，一位愛質疑的學生發問：“這個公式正不正確啊？”（一些學生小聲地附和著），我一愣：課前沒有考慮怎樣證明啊！怎么辦？是避而不談還是改變預設？情急之下，師：這個問題問得好．那同學們還記得三角形面積公式怎樣證明的嗎？大家先討論一下吧．（我要給自己留下思考的時間）
此時，課堂氣氛很是熱鬧，有的翻筆記，有的找資料，幾分鐘后，一個學生參考課堂筆記，給出了海倫公式的證明.
證明：在△ABC中，有S=12bcsin A，及a2=b2+c2-2bccos A，
由sin2 A+cos2 A=1， 消去sin A，cos A可得，
4S2+14(b2+c2-a2)2=b2c2，
16S2=4b2c2-(b2+c2-a2)2
=(2bc+b2+c2-a2)(2bc-b2-c2+a2)
=(b+c+a)(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)
于是，有S2=a+b+c2·(a+b+c2-a)·(a+b+c2-b)·(a+b+c2-c)．
令p=12(a+b+c)，則S=p(p-a)(p-b)(p-c)．
師：（小結）海倫公式的證明主要利用余弦定理，消去三角函數sin A，cos A，體現了消元的思想．（學生討論的時間也給了老師從容思考的時間，發現：證明方法可以類比．）
于是，師（提高了聲調）：海倫公式的證明方法，能否對圓內接四邊形的面積公式的證明有所借鑒？
(課堂靜悄悄的，但學生的思維卻是波濤洶涌.)
由此，老師引領學生，找到了證明之路．
證明：連結對角線AC，把四邊形ABCD分成兩個三角形.
設AB=a，BC=b，CD=c，DA=d
S=S△ABC+S△ACD
=12absin B+12cdsin D
∵B+D=180°，……(1)
∴S=12(ab+cd)sin B……(2)
又AC2=a2+b2-2abcos B，
AC2=c2+d2-2cdcos D，
∴a2+b2-c2-d2=2(ab+cd)cos B.……(3)
由(2)、(3)利用sin2 B+cos2 B=1，消去sin B，cos B可得，
4S2+14(a2+b2-c2-d2)2=(ab+cd)2
∴16S2=4(ab+cd)2-（a2+b2-c2-d2）2
=(2ab+2cd+a2+b2-c2-d2)(2ab+2cd-a2-b2+c2+d2)
=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)
令p=12(a+b+c+d)則
16S2=16(p-d)(p-c)(p-b)(p-a)
∴S=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)．
至此，同學們的臉上露出了成功的微笑，而我也長長的舒了一口氣．由此，我趁勝追擊，師生一起小結出類比推理的常用的類比方法：
(1)特殊與一般的類比
(2)題型結構的類比
(3)證明方法的類比
此時，師：這道題還有疑問嗎？沒問題的話，我們就看例題……（話還沒說完）
