依“解題反思”促“思維優(yōu)化”

摘 要:

解題反思有助于防止錯解，克服思維定勢，還可以提高思維的深刻性。解題反思可以培養(yǎng)學生深入鉆研的習慣及探索精神，提高解題能力，開闊思路，培養(yǎng)學生思維的靈活性及思維的發(fā)散性。

關鍵詞：反思；培養(yǎng)；思維品質(zhì)

中國分類號：G424 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2010）4-069 -02

數(shù)學家弗賴登塔爾指出：“反思是重要的思維活動，它是思維活動的核心和動力。”引導學生解題反思能促進學生的理解從一個水平升到更高的水平，促使他們從新的角度，多層次、多側面地對問題及解決問題的思維過程進行全面的考察、分析與思考，從而深化對問題的理解，揭示問題的本質(zhì)，探索一般規(guī)律，并進而產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化學生的思維品質(zhì)，提升數(shù)學能力。本文結合平時的教學實踐對解題反思教學作了如下一些膚淺的探索。

一、有效的解題反思，利于減少解題失誤

學生在解題中出現(xiàn)的錯誤有知識缺陷造成的，又有能力缺陷造成的，也有邏輯上、策略上造成的，更有非智力因素造成的，因此，在解完一個題目后就有必要對解題的正誤作進一步的思考，并及時總結方法、糾正錯誤，反思可改善學生思維能力和習慣，提高解題能力。

1.解題后反思，有利于防止錯解

在解題時應仔細審題，對題目中的條件和結論進行全面的、慎密的思考分析，這是正確解決問題的前提。

例如：在三角形ABC中，已知cos A=[S(]3[S)]，sin B=[S(]13[S)]，求cos C的值。

錯解：∵cos A=[S(]3[S)]，sin A=[S(]4[S)]A∈（0，[S(]π2[S)]）

又sin B=[S(]13[S)]，cos B=±[S(]1213[S)]

∴cos C=cos（π-(A+B)）=－cos(A+B)=－cos Acos B+sin Asin B=-[S(]166[S)]（或[S(]66[S)]）

反思解錯原因：學生沒有看清題設條件cos A=[S(]3[S)]，sin B=[S(]13[S)]中的隱含條件：A>B，A、B都是銳角，事實上，sin A=[S(]4[S)]>[S(]13[S)]＝sin B，A、B是三角形的內(nèi)角，∴a>b， 

A>B∵A是銳角，∴A、B都是銳角。∴cos B=[S(]1213[S)]，因此，正確答案為cos C＝－cos(A+B)＝-[S(]166[S)]

2.反思心理定勢，克服思維定“死”

學生的解題過程除了自身知識所限外，還受一定的心理因素制約。

例如：解不等式[S(]a(1-x)x-2[S)]＜-1(a≠1)

解：原不等式等價于：a(1-x)＜-x+2(1-a)x＜2-ax＜[S(]2-a1-a[S)]

∴解集為：{x|x＜[S(]2-a1-a[S)]}

反思錯解原因：在解分式不等式時，受心理定勢的影響，與解分式方程等同起來，學生解題時不多考慮，首先進行了去分母變形，即進行了不等價變形；之后也未對(1－a)的符號分類討論，導致錯解。

通過此例的反思訓練，使學生明確心理定勢會阻礙思維的發(fā)展，知道解題時要多層面、多角度地去觀察、思考數(shù)學問題，有時可以反客為主，有時可以以退求進，真正克服思維定“死”。

二、解題反思的有效途徑

1.反思解題規(guī)律，培養(yǎng)學生深入鉆研的習慣及探索精神，提高解題能力

同一類型的問題，解題方法往往有其規(guī)律性，因此當一個問題解決后，要不失時機地引導學生反思解題方法，認真總結解題規(guī)律，力圖從解決問題中找出新的、普遍適用的東西，以現(xiàn)在的解決問題的經(jīng)驗幫助今后的問題解決。例如：我在復習等比中項公式時引入練習：等比數(shù)列的前10項之和10，前20項之和為30，求前30項之和

解：設此等比數(shù)列的公比為q，前n項和為sn，則：

S10=a1+a2+……a10=10

S20-S10=a11+a12+……+a20=20

S30-S20=a21+a22+……+a30

易知：[S(]S20-S10S10[S)]=q10，

∴S10，S20-S10，S30-S20成等比數(shù)列，

∴10(S30-30)=(30-10)2∴S30=70

教師可不失時機地引導學生反思，并提出問題：Sn，S2n-Sn，S3n-S2n是等比數(shù)列嗎？讓學生反思，總結規(guī)律，得出Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，……也成等比數(shù)列。

2.反思解題的思維過程，可開闊思路，培養(yǎng)思維的靈活性

解題的關鍵是從已知和未知中尋找解題途徑，學生在做完一道題后的反思，不僅是簡單回顧或檢驗，而應根據(jù)題目的基本特征與特殊因素，進行多角度、多方位的觀察、聯(lián)想，反思自己的解答是否有錯，錯誤的原因是什么？若解答正確，則想一想有無新的解題途徑？若有另解，則應分析比較，找出最佳、最簡單的解法，最后再總結一下解答此類題目有無規(guī)律可循？使學生思維的靈活性在變換和化歸的訓練中得到培養(yǎng)和發(fā)展。

例如：在銳角三角形ABC，A、B、C的對邊分別為a、b、c，[S(]ba[S)]+[S(]ab[S)]=6cos C，則[S(]tan Ctan A[S)]+[S(]tan Ctan B[S)]= [)]。

解法一：[S(]ba[S)]+[S(]ab[S)]=6cos C6abcos C=a2+b2，

6ab·[S(]a2+b2-c22ab[S)]=a2+b2，a2+b2=[S(]3c22[S)]

[S(]tan Ctan A[S)]+

[S(]tan Ctan B[S)]=

[S(]sin Csin C[S)]·

[S(]cos Bsin A+sin Bcos Asin Asin B[S)]

[S(]sin Ccos C[S)]·

[S(]sin (A+B)sin Asin B[S)]=[S(]1cos C[S)]·[S(]sin2 Csin Asin B[S)]

由正弦定理得：上式[S(]1cos C[S)]·[S(]c2ab[S)]=[S(]c2[S(]16[S)](a2+b2)[S)]=[S(]c2[S(]16[S)]·[S(]3c22[S)][S)]=4

反思：法一過程復雜，有無更簡單的、快速的解法呢？通過啟發(fā)和引導得另一種解法。

解法二：特殊值法，考慮已知條件和所求結論對于角A、B和邊a、b具有輪換性。

當A=B或a=b時滿足題意，此時有：cos C=[S(]13[S)]，tan2 [S(]C2[S)]=[S(]1-cos C1+cos C[S)]=[S(]12[S)]，tan [S(]C2[S)]=[S(][KF(]2[KF)]2[S)]，

tan A=tan B=[S(]1tan [S(]C2[S)][S)]，[S(]tan Ctan A[S)]+[S(]tan Ctan B[S)]=4。

通過對解題思維的反思，重新審查題意，更正確、完整、深刻地理解了題目的條件和結論，激活了學生的思維，開闊了思路，使各種技能與方法相互滲透，學生的解題能力得到了提升和發(fā)展.

參考文獻：

［1］梁云.在數(shù)學認知建構中發(fā)展學生元認知能力\\[\\].數(shù)學教學通訊，2006(2).

［2］林婷.數(shù)學探究性教學中應樹立幾種意識\\[\\].數(shù)學教學通訊，2007(1).

［3］夏克旺.數(shù)學學習中常見錯誤的分析與防止對策\\[\\].中學數(shù)學教育，2008(6).