關于三角形的“四心”與平面向量的結合
2010-12-31 00:00:00柳金愛
中學課程輔導·教師教育(上、下) 2010年9期
摘 要:
筆者搜集了部分資料，結合本人積累的一些高三知識，就高中新課標向量的相關知識進行闡述，對有關三角形的“四心”的相關知識進行復習。
關鍵字：高中；數學；平面向量；內心；外心；重心；垂心
中國分類號：G424 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2010）4-092 -02
一、基礎知識復習
1.定義：我們把三角形三個內角的角平分線的交點叫做三角形的內心，即三角形內切圓圓心;三角形三條邊上的中垂線的交點叫做三角形的外心，即三角形外接圓圓心;三角形三條邊上的中線的交點叫做三角形的重心;三角形三條高線的交點叫做三角形的垂心。我們將三角形的“內心”、“外心”、“重心”、“垂心”合稱為三角形的“四心”。
2.應用:三角形的內心到三角形三邊的距離相等;三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等;三角形的重心到三角形的頂點的距離是相應中線長的三分之二;三角形的垂心與頂點的連線垂直于該頂點的對邊。
3.注意點:三角形的“四心”與平面向量知識的結合。
二、典型例題分析
例 已知點G是△ABC內任意一點，點M是△ABC所在平面內一點。試根據下列條件判斷G點可能通過△ABC的 [)]心。(填“內心”或“外心”或“重心”或“垂心”)。
\\[提出問題\\]
(1)若存在常數λ，滿足MG[→-*4]=MA[→-*4]+λ([S(]AB[→-*4]|AB[→-*4]|[S)]+[S(]AC[→-*4]|AC[→-*4]|[S)])(λ≠0)，則點G可能通過△ABC的 [)]。
(2)若點是△ABC的底邊BC上的中點，滿足G[→-*4]·GB[→-*4]=G[→-*4]·GC[→-*4]，則點G可能通過△ABC的 [)]。
(3)若存在常數λ，滿足MG[→-*4]=MA[→-*4]+λ([S(]AB[→-*4]|AB[→-*4]|·sin B[S)]+[S(]AC[→-*4]|AC[→-*4]|·sin C[S)])(λ≠0)，則點G可能通過△ABC的 [)]。
(4)若存在常數λ，滿足MG[→-*4]=MA[→-*4]+λ([S(]AB[→-*4]|AB[→-*4]|·cos B[S)]+
[S(]AC[→-*4]|AC[→-*4]|·cos C[S)])(λ≠0)，則點G可能通過△ABC的 [)]。
\\[思路分析\\]以上四個問題的解決要求不同，除了熟悉三角形的“四心”的性質，同時更要熟悉平面向量的性質，對于平面向量與三角函數的結合也要相當熟悉。
\\[解答過程\\](1)記[S(]AB[→-*4]|AB[→-*4]|[S)]=[W]e1，[S(]AC[→-*4]|AC[→-*4]|[S)]=[W]e2，則AG[→-*4]=λ([W]e1+e2)。由平面向量的平行四邊形或三角形法則知，點G是角平分線上的點，故應填內心。
(2)簡單的變形后發現點G是BC邊中垂線上的點，故應填外心。
(3)∵|AB[→-*4]|·sin B=|AC[→-*4]|·sin C，∴記|AB[→-*4]|·sin B=|AC[→-*4]|·sin C=h，
則AG[→-*4]=λ(AB[→-*4]+AC[→-*4])(λ′=[S(]λh[S)])。由平面向量的平行四邊形或三角形法則知，點G是BC邊的中線上的點，故應填重心。
(4)分析后發現，本題學生難以找到解決問題的突破口，主要在于平面向量的數量積的充分利用。由
MG[→-*4]=MA[→-*4]+λ([S(]AB[→-*4]|AB[→-*4]|·cos B[S)]+[S(]AC[→-*4]|AC[→-*4]|·cos C[S)])(λ≠0)，
得AG[→-*4]=λ([S(]AB[→-*4]|AB[→-*4]|·cos B[S)]+[S(]AC[→-*4]|AC[→-*4]|·cos C[S)])(λ≠0)，
(關鍵點)AG[→-*4]·BC[→-*4]=λ([S(]AB[→-*4]|AB[→-*4]|·cos B[S)]+
[S(]AC[→-*4]|AC[→-*4]|·cos C[S)])·BC[→-*4](λ≠0)
于是=λ(|AB[→-*4]|·cos(π-B)+|BC[→-*4]|·cos B)=λ(-|BC[→-*4]|+|BC[→-*4]|)=0。
從而AG[→-*4]⊥BC[→-*4]，點G是高線上的點，故應填垂心。
\\[教師點評\\]以上四個問題處理的方法各不相同，注意到平面向量及三角形的“四心”的性質在解答問題時的作用。特別注意第四問兩邊同乘以某個表達式的技巧。
三、綜合運用
\\[提出問題\\]若O點是的外心，點是△ABC的垂心，
且O[→-*4]=m(OA[→-*4]+OB[→-*4]+OC[→-*4])，求實數m的值。
\\[思路分析\\]許多學生在解答此類題時，只能用特殊值的方法解決。要求學生能夠充分利用本節提到的一些基礎知識及相關性質解題。
\\[解答過程\\]由O[→-*4]=m(OA[→-*4]+OB[→-*4]+OC[→-*4])，得O[→-*4]-OA[→-*4]=m(OA[→-*4]+OB[→-*4]+OC[→-*4])-OA[→-*4]，
于是A[→-*4]=(m-1)·OA[→-*4]+m(OB[→-*4]+OC[→-*4])，
(關鍵點)A[→-*4]·BC[→-*4]=(m-1)OA[→-*4]·BC[→-*4]+m(OB[→-*4]+OC[→-*4])·BC[→-*4]
即A[→-*4]·BC[→-*4]=(m-1)OA[→-*4]·BC[→-*4]+m(OB[→-*4]+OC[→-*4])·(OC[→-*4]-
由題意，知A[→-*4]·BC[→-*4]=0，及(OB[→-*4]+OC[→-*4])·(OC[→-*4]-OB[→-*4])=0，從而(m-1)OA[→-*4]·BC[→-*4]=0，
其中OA[→-*4]·BC[→-*4]≠0，因此m-1=0，即m=1。
\\[教師點評\\]請讀者特別注意解題中的關鍵點，解這類問題時的技巧也應熟練掌握。
\\[舉一反三\\]通過上述例題及解答，我們可以總結出關于三角形“四心”的向量表達式。若p點為△ABC內任意一點，若p點滿足:
1．[B({]AP[→-*4]=λ([S(]AB[→-*4]|AB[→-*4]|[S)]+
[S(]AC[→-*4]|AC[→-*4]|[S)])，λ＞0
BP[→-*4]=t([S(]BA[→-*4]|BA[→-*4]|[S)]+[S(]BC[→-*4]|BC[→-*4]|[S)])，t＞0[B)]P為△ABC的內心;
2.、E兩點分別是△ABC的邊BC、CA上的中點，且
[B（{]P[→-*4]·PB[→-*4]=P[→-*4]·PC[→-*4]EP[→-*4]·PC[→-*4]=EP[→-*4]·PA[→-*4][B）]P為ABC的外心;
3.[B（{]AP[→-*4]=[S(]13[S)](AB[→-*4]+AC[→-*4])，BP[→-*4]=[S(]13[S)](BA[→-*4]+BC[→-*4])，[B）]P為△ABC的重心;
4.[B（{]AP[→-*4]·BC[→-*4]=0BP[→-*4]AC[→-*4]=0[B）]P為△ABC的垂心.
