淺析微元思想在高中物理中的滲透

摘 要：

高中階段，研究物理變量的問題，一般采用微元法，即將研究對象（物體或物理過程）進行無限細分，從其中選取某一微小單元進行討論，從而找出被研究對象的變化規(guī)律。微元法是我們分析、解決物理問題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。

關(guān)鍵詞：微元思想;教學(xué);高中物理

中國分類號：G424 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2010）4-040 -02

在物理學(xué)科中，許多物理變量的計算問題，在大學(xué)里可以使用積分來進行計算，但在高中階段由于數(shù)學(xué)能力的局限，很難用高等數(shù)學(xué)知識來加以解決。我們一般是將研究對象（物體或物理過程）進行無限細分，從其中選取某一微小單元進行討論，從而找出被研究對象的變化規(guī)律，這種分析問題的方法，稱為微元法。在普通高中新課程的教材中已經(jīng)逐步滲透了微元的思想，譬如在人教版物理教材必修1中，定義速度v=[S(]ΔxΔt[S)]時提出：“如果Δt非常非常小，可以認為[S(]ΔxΔt[S)]表示的是物體在時刻t的瞬時速度”，在選修教材3—動量一章中還提出了牛頓定律的動量表述F=[S(]ΔpΔt[S)]，就是利用了微元的思想。其它如在定義瞬時加速度、電流強度、感應(yīng)電動勢等物理量時，也都是采用了這種思維方法。在最近幾年的高考中也加強了對學(xué)生運用用微元思想來建構(gòu)物理模型，處理實際問題能力的考查。

下面我們來看2008年江蘇高考卷的一道題，這道題將微分累加的思路運用到了極致。

例一：如圖1所示，間距為的兩條足夠長的平行金屬導(dǎo)軌與水平面的夾角為θ，導(dǎo)軌光滑且電阻忽略不計。場強為B的條形勻強磁場方向與導(dǎo)軌平面垂直向下，磁場區(qū)域的寬度為d1，間距為d2，兩根質(zhì)量均為m、有效電阻均勻為R的導(dǎo)體棒a和b放在導(dǎo)軌上，并與導(dǎo)軌垂直。（設(shè)重力加速度為g）

若a進入第2個磁場區(qū)域時，b恰好離開第1個磁場區(qū)域；此后a離開第2個磁場區(qū)域時，b又恰好進入第2個磁場區(qū)域。且a、b在任意一個磁場區(qū)域或無磁場區(qū)域的運動時間均相等，求a穿出第k個磁場區(qū)域時的速率v。

[PS27.IF;%8%8;*2，BP]

[S(][6]圖[S]1[SB][S）]

分析：要能實現(xiàn)a、b在任意一個磁場區(qū)域或無磁場區(qū)域的運動時間均相等，必須保證進入任一磁場具有相同的速度。設(shè)導(dǎo)體棒剛進入無磁場區(qū)域時的速度為v1，剛離開無磁場區(qū)域時的速度為v2。

在無磁場區(qū)域：v2-v1=gtsin θ，且平均速度[S(]v2+v12[S)]=[S(]d2t[S)]；

在有磁場區(qū)域：棒a受到合力F=mgsin θ-BIL，其中I=[S(]E2R[S)]，E=Blv。

解得F=mgsin θ-[S(]B2l2v2R[S)]，可知棒受到的合力隨著速度而改變。

在極短的時間Δt內(nèi)，根據(jù)牛頓定律，a=[S(]Fm[S)]，得[S(]ΔvΔt[S)]=(gsin θ-[S(]B2l2v2mR[S)])，變形為：Δv=gsin θΔt-[S(]B2l2Δt2mR[S)]，即：Δv=gsin θΔt-[S(]B2l2Δx2mR[S)]

對在磁場區(qū)域內(nèi)的全過程求和：∑Δv=∑(gsin θ×Δt)-∑[S(]B2l2Δx2mR[S)]

得：v1-v2=gtsin θ-[S(]B2l2d12mR[S)]

綜合以上方程解得v=v1=[S(]4mgRd2B2l2d1[S)]sin θ-[S(]B2l2d18mR[S)]。

本題實際已經(jīng)應(yīng)用了偏微分方程的知識了。而在2009年的高考中，同樣類型的試題再次在江蘇高考卷上出現(xiàn)了：

例二：如圖2所示，兩平行的光滑金屬導(dǎo)軌安裝在一光滑絕緣斜面上，導(dǎo)軌間距為l、足夠長且電阻忽略不計，導(dǎo)軌平面的傾角為，條形勻強磁場的寬度為d，磁感應(yīng)強度大小為B、方向與導(dǎo)軌平面垂直。長度為2d的絕緣桿將導(dǎo)體棒和正方形的單匝線框連接在一起組成“[CS29.IF][)]”型裝置，總質(zhì)量為m，置于導(dǎo)軌上。導(dǎo)體棒中通以大小恒為I的電流（由外接恒流源產(chǎn)生，圖中未圖出）。線框的邊長為d（d

[PS28.IF;%8%8;*2，BP]

[S(][6]圖[S]2[SB][S）]求：（1）裝置從釋放到開始返回的過程中，線框中產(chǎn)生的焦耳熱Q；

（2）線框第一次穿越磁場區(qū)域所需的時間t1；

（3）經(jīng)過足夠長時間后，線框上邊與磁場區(qū)域下邊界的最大距離。

分析：我們僅討論第（2）問。設(shè)線框剛離開磁場下邊界時的速度為v1，則接著向下運動2d

由動能定理：mgsin α×2d-BIld=0-[S(]12[S)]mv21

裝置在磁場中運動時收到的合力：F=mgsin α-F′，F(xiàn)′為線框受到的安培力。

F′=BI′d=B[S(]BdvR[S)]d

由牛頓第二定律，在t到t+Δt時間內(nèi)，有Δv=[S(]Fm[S)]Δt，又回到了例五的求解思路。

∑Δv=∑\\[gsin α-[S(]B2d2vmR[S)]\\]Δt

有v1=gt1sin α-[S(]2B2d3mR[S)]

解得：t1=[S(][KF(]2m(BIld-2mgdsin α)[KF)]+[S(]2B2d3R[S)]mgsin α[S)]，命題者確實對此類問題比較鐘情。

綜上所述，微元法是我們分析、解決物理問題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。在教學(xué)中逐步滲透微元思想可以提高學(xué)生的邏輯思維和辯證思維能力，運用該方法可以使一些復(fù)雜的物理過程用我們熟悉的物理規(guī)律迅速地加以解決，使所求的問題簡單化。