高考數學中新型應用題的解法透析
2010-12-31 00:00:00梅華
中學課程輔導·教師教育(上、下) 2010年9期
摘 要：隨著高考的改革，應用題的考查已逐步成熟，而新型應用題也已出現，本文就幾種新題型的解法進行一番透析。
關鍵詞：高考數學；新型應用題；解法透析
中國分類號：G424 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2010）4-043 -02
新課程改革的不斷深入，高考的命題也發生很大的變革，數學應用題被給予格外的重視。數學應用題是指利用數學知識解決其他領域中的問題，高考對應用題的考查已逐步成熟，注重問題及方法的新穎性，提高了考生適應陌生情境的能力要求。下面例析解答題的解法，以拋磚引玉。
一、函數型
［例1］有一座大橋既是交通擁擠地段，又是事故多發地段，為了保證安全，交通部門規定。大橋上的車距d(m)與車速v(km/h)和車長l(m)的關系滿足：d=kv2l+[S(]12[S)]l（k為正的常數），假定車身長為4m，當車速為60（km/h)時，車距為2.66個車身長。
（1）寫出車距d關于車速v的函數關系式;
（2）應規定怎樣的車速，才能使大橋上每小時通過的車輛最多？
命題意圖：本題考查建立函數關系、不等式性質、最值求法等基本知識及綜合應用數學知識、思想與方法解決實際問題能力。
知識依托：重要不等式的應用、建立函數關系式。
錯解分析：不能理解題意而導致關系式列不出來。
技巧與方法：關鍵在于如何求出函數最小值，條件最值可應用重要不等式或導數解決。
解：（1）因為當v=60時，d=2.66l，所以k=[S(]2.66l－[S(]12[S)]l602l[S)]=[S(]2.16602[S)]=0.0006，
∴d=0.0024v2+2
（2）設每小時通過的車輛為Q，則Q=[S(]1000vd+4[S)]。即Q=[S(]1000v0.0024v2+6[S)]=[S(]10000.0024v+[S(]6v[S)][S)]∵0.0024v+[S(]6v[S)]≥2[KF(]0.0024v×[S(]6v[S)][KF)]=0.24，∴Q≤[S(]10000.24[S)]=[S(]12003[S)]，當且僅當0.0024v=[S(]6v[S)]，即v=0時，Q取最大值[S(]12003[S)]。
答：當v=0[B((]km/h[B))]時，大橋每小時通過的車輛最多。
二、數列型
［例2］某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數量相等。為保護城市環境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數量不應超過多少輛？
命題意圖：本題考查等比數列、數列求和、解不等式等知識以及極限思想方法和運用數學知識解決實際問題的能力，屬級題目。
知識依托：數列極限、等比數列、解不等式。
錯解分析：①不能讀懂題意，找不到解題的突破口；②寫出bn+1與x的關系后，不能進一步轉化為極限問題；③運算出錯，得不到準確結果。
技巧與方法：建立第n年的汽車保有量與每年新增汽車數量之間的函數關系式是關鍵、盡管本題入手容易，但解題過程中的準確性要求較高。
解：設2001年末的汽車保有量為b1萬輛，以后各年汽車保有量依次為b2萬輛，b3萬輛，…每年新增汽車x萬輛，則
b1=30，b2=b1×0.94+x，…
對于n＞1，有bn+1=bn×0.94+x=bn–1×0.942+(1+0.94)x，…
所以bn+1=b1×0.94n+x(1+0.94+0.942+…+0.94n–1)
=b1×0.94n+[S(]1－0.94n0.06[S)]·x=[S(]x0.06[S)]+(30－[S(]x0.06[S)])×0.94n.
當30－[S(]x0.06[S)]≥0，即x≤1.8時，bn+1≤bn≤…≤b1=30
當30－[S(]x0.06[S)]＜0，即x＞1.8時，limn→∞[)]\\[[S(]x0.06[S)]+(30-[S(]x0.06[S)])×0.94n-1\\]=[S(]x0.06[S)]
并且數列{bn}逐項遞增，可以任意靠近[S(]x0.06[S)]。
因此如果要求汽車保有量不超過60萬輛，
即bn≤60(n=1，2，…)則有[S(]x0.06[S)]≤60，所以x≤3.6
綜上，每年新增汽車不應超過3.6萬輛。
三、三角函數型
［例3］某觀測站C在城A的南20°西的方向上，由A城出發有一條公路，走向是南40°東，在C處測得距C為31千米的公路上B處有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到達處，此時C、間距離為21千米，問這人還需走多少千米到達A城？
命題意圖：本題充分體現了高考是以基礎性題型為主的宗旨，對學生是否具有扎實基礎的重視。
知識依托：主要考察學生方位角、三角形角邊關系和余弦定理的應用。
錯解分析：不能理解方位角。
方法與技巧：關鍵是設角以及如何把題設條件轉化為三角形中的已知元素，然后解三角形。
解：根據題意得，其中BC=31千米，B=20千米，C=21千米，∠CAB=60°。設∠AC=α，∠CB=β。在△CB中，由余弦定理得：
cosβ=[S(]C2+B2－BC22·C·B[S)]=[S(]212+202－3122×21×20[S)]=－[S(]17[S)]，sinβ=[KF(]1－cos2β[KF)]=[S(]4[KF(]3[KF)]7[S)]。
sinα=sin(180°－∠CA－∠CA)=sin(180°－60°－180°+β)
=sin[B((]β－60°[B))]=sinβcos60°－cosβsin60°=[S(]4[KF(]3[KF)]7[S)]×[S(]12[S)]+[S(]17[S)]×[S(][KF(]3[KF)]2[S)]=[S(][KF(]3[KF)]14[S)]。
在△AC中，由正弦定理得：A=[S(]CsinA[S)]·sinα=[S(]21sin60°[S)]·[S(][KF(]3[KF)]14[S)]=[S(]21[S(][KF(]3[KF)]2[S)][S)]×[S(][KF(]3[KF)]14[S)]=1。
在△AC中，由正弦定理得：
此人還得走1千米到達A城。
答:此人還得走1千米到達A城。
四、概率統計型
［例4］為了了解《中華人民共和國道路交通安全法》在學生中的普及情況，調查部門對某校6名學生進行問卷調查，6人得分情況如下：，6，7，8，9，10。把這6名學生的得分看成一個總體。（1）求該總體的平均數；（2）用簡單隨機抽樣方法從這6名學生中抽取2名，得分組成一個樣本。求該樣本平均數與總體平均數之差的絕對值不超過0.的概率。
命題意圖：本題考查統計概率等知識以及運用數學知識解決實際問題的能力。
知識依托：統計、概率。
錯解分析：①不能讀懂題意，找不到解題的突破口；②運算出錯，得不到準確結果。
[LL]
技巧與方法：本題為概率與統計的知識內容，涉及到分層抽樣以及古典概型求事件的概率問題。要讀懂題意，分清類型，列出基本事件，查清個數，利用公式解答。
解：（1）總體平均數為
[S(]16[S)][B((]+6+7+8+9+10[B))]=7.
（2）設Ａ表示事件“樣本平均數與總體平均數之差的絕對值不超過0.”
從總體中抽取2個個體全部可能的基本結果有：(，6)，(，7)，(，8)，(，9)，(，10)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(6，10)，(7，8)，(7，9)，(7，10)，(8，9)，(8，10)，(9，10)，共１５個基本結果。
事件Ａ包含的基本結果有：(，9)，(，10)，(6，8)，(6，9)，(6，10)，(7，8)，(7，9)，共有７個基本結果；
所以所求的概率為P[B((]A[B))]=[S(]71[S)]
五、錦囊妙計
1.解應用題的一般思路可表示如下
[P18.IF；*2，BP]
2.解應用題的一般程序
（1）讀：閱讀理解文字表達的題意，分清條件和結論，理順數量關系，這一關是基礎。
（2）建：將文字語言轉化為數學語言，利用數學知識，建立相應的數學模型。熟悉基本數學模型，正確進行建“模”是關鍵的一關。
（3）解：求解數學模型，得到數學結論。一要充分注意數學模型中元素的實際意義，更要注意巧思妙作，優化過程。
（4）答：將數學結論還原為實際問題的結果。
