例析等比數(shù)列前n項(xiàng)和的其他處理策略

摘 要：本文從四個(gè)方面說(shuō)明復(fù)雜、繁瑣的等比數(shù)列求和問(wèn)題，更加簡(jiǎn)單易求，并結(jié)合例題對(duì)各種題型的解題策略進(jìn)行分析，旨在幫助學(xué)生提高解決問(wèn)題的能力與水平。

關(guān)鍵詞：等比數(shù)列;求和;公比

中國(guó)分類(lèi)號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2010）4-057 -02

普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書(shū)—必修5，給出了等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：q=1時(shí)，Sn=na1；q≠1時(shí)，Sn=a1(1－qn)1－q。這里涉及到分類(lèi)討論的思想，學(xué)生在用公式解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)往往會(huì)犯這樣兩個(gè)錯(cuò)誤：一是忽略討論q=1的情況而導(dǎo)致失分；二是復(fù)雜的指數(shù)式運(yùn)算易錯(cuò)。那么有沒(méi)有其他的方法能夠解決等比數(shù)列和，并且可以避免這些錯(cuò)誤呢？這就是本文要解決的。筆者通過(guò)對(duì)一些高考試題的研究，以及自己在教學(xué)中的一些心得總結(jié)了以下一些方法，供大家參考。

一、化“和”為“項(xiàng)”，以退為進(jìn)

例1 (2007全國(guó)Ⅰ)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1，2S2，3S3成等差數(shù)列，則{an}的公比為 。

析：若用等比數(shù)列求和公式，則要討論公比q是否為1，考慮到題中的和對(duì)應(yīng)的項(xiàng)較少，故可＂化和為項(xiàng)＂，找相鄰項(xiàng)的關(guān)系。

解：∵S1，2S2，3S3成等差數(shù)列

∴4S2=S1+3S3

即4（a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3)

∴a2=3a3

∴q=a3a2=13

評(píng)注：在求公比q時(shí)，采用＂化和為項(xiàng)＂，很好的避免了對(duì)q的討論，使得問(wèn)題的解決更加簡(jiǎn)單。

例2 （2005江蘇）在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1=3，S3=21，則a3+a4+a5= 。

析：考慮到a1+a2+a3與a3+a4+a5的關(guān)系，即需要求出公比q。

解：S3=a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=21

∵a1=3，且an>0，∴q=2

∴a3+a4+a5=q2·(a1+a2+a3)

=q2·S3=84

評(píng)注：在解決數(shù)列題時(shí)，項(xiàng)數(shù)是考慮的一個(gè)主要方面。該題就是抓住項(xiàng)數(shù)相同，進(jìn)而考慮他們之間的關(guān)系的。

二、尋找關(guān)系，利用整體

例3 （2005湖北）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差數(shù)列，則q的值為 。

析：考慮到2Sn=Sn+1+Sn+2這樣的結(jié)構(gòu)，以三者（Sn，Sn+1，Sn+2)中任何一個(gè)為整體去表示另外兩個(gè)，都能把和式消去，從而尋找相鄰項(xiàng)的關(guān)系。（不妨以Sn為整體，解法如下）

解：由題意得2Sn=Sn+1+Sn+2

評(píng)注：尋找和式之間的關(guān)系，以其中之一為整體進(jìn)行運(yùn)算，既避免了對(duì)公比q的討論，又在很大程度上避免了復(fù)雜的指數(shù)式運(yùn)算，使解題簡(jiǎn)捷明了。

三、運(yùn)用性質(zhì)，求解和式

例5 (2009遼寧)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S6S3=3，則S9S6= 。

析：根據(jù)下標(biāo)特點(diǎn)：依次呈等差數(shù)列，聯(lián)想到性質(zhì)：等比數(shù)列中依次n項(xiàng)之和（Sn≠0）成等比。