不可“無視”教材中某個章節的存在
2010-12-31 00:00:00袁寶玉
中學課程輔導·教師教育(上、下) 2010年8期
摘 要：文章以蘇教版選修2—1 2.1圓錐曲線這一節內容為例，進行相關題型的分析和拓展引伸，以此說明要重視課本中的內容、用心研究課本。
關鍵詞：圓錐曲線；數學課本
中國分類號：G634 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2010）4-030 -02
很多教師覺得選修2—1 2.1圓錐曲線（新蘇教版P23）這一節內容沒有存在的意義。于是在教學的過程中，有直接跳過不講的，也有稀里糊涂說了一下的。結果揚州市2008屆高三數學第四次調研測試中的一道填空題幾乎沒有學生能做對，甚至絕大多教師也不知道如何解。究其原因是沒有學習上面的一節，不了解相關的背景。
一、原題展示：
14.一只半徑為R的球放在桌面上，桌面上一點A的正上方相距(3+1)R處有一點光源O，OA與球相切，則球在桌面上的投影——橢圓的離心率是
二、背景介紹：
蘇教版新教材P23的左邊有一副右邊的圖，由書可知截面與球的切點就是橢圓的一個焦點。
三、解決問題：
分析：由題可知桌面就當于書中的截面，點E是截面與球的一個切點，所以E是橢圓的一個焦點，由此可得：2a=AB，a－c=R（其中2a，2c分別是橢圓的長軸長，焦距）
解法一：設所求橢圓的長軸長、焦距分別為2a，2c
∵OD=3R，FD=R∴∠FOD=30°∴∠COD=60°
∵tan60°=ABOA∴AB=(3+3)R
即：2a=(3+3)R，2c=2a－2R=(1+3)R∴e=(1+3)R(3+3)R=33
如果不了解相關的背景，再加上現在立幾的要求已經降得很低，學生不會做也就不奇怪了。如果不利用
書中的結論，我們一起看看其他解法會有多。
解法二：延長OA使OG=OB，得到如圖所示的圓錐，其中Q為橢圓的中心，線段JS為橢圓的短軸，JS在底面圓上的投影為HT，P為底面圓的圓心.過點Q做QN⊥OP，垂足是N.
∵OG=OB，∠BOG=60°（解法一已證，比較簡單）
∴△BOG為正三角形
∵OA⊥AB∴∠OBA=30°，OB=2OA=2(3+1)R
∴BA=32×2(3+1)R=(3+3)R
∵Q為橢圓的中心∴BQ=AQ=BA2=(3+3)R2
∵∠ABG=30°∴NP=12BQ=(3+3)R4
∵OP=32OB=32×2(1+3)R=(3+3)R∵JS∥HT，QN∥BG
∴ONOP=OQOK=JQHK=OP－NPOP=34，
∵OQ=OA2+QA2=(3+1)2R2+(3+32)2R2=7(1+3)2R
∴OK=43OQ=7(1+3)2R×43=27(1+3)3R
∵OA⊥面BJS∴OA⊥JS∵JS⊥BA，BA∩OA=A∴JS⊥面OBG
∵JS∥HT∴HT⊥面OBG∴HT⊥OK∵OT=OB=2(1+3)R
∴KT=OT2－OK2=4(3+1)2R2－［27(3+1)3］2R2=22(3+1)3R
∴QS=34×KT=2(3+1)2R∴e=1－(QSBQ)2=1－23=33
對照兩種解法，顯然第一種要簡單的多，所以我們不能無視教材中的某些內容的存在，應當以新的眼光看待新的教材。
四、探究、引申：
問題雖然解決了，但是一些其他的疑問立即浮現在筆者的腦海里：所得橢圓的離心率受什么影響、桌面上的投影能否為拋物線或雙曲線。帶著疑問筆者做了一些浮淺的探究，希望能拋磚引玉吸引更多的人進行進一步的探究。結論1：一只半徑為R的球放在桌面上，桌面上一點A的正上方相距h(h>2R)處有一點光源O，OA與球相切，則球在桌面上的投影——橢圓的離心率是e=Rh－R。
證明：∵tan∠FOD=Rh－R
∴tan∠BOA=2tan∠FOD1－tan2∠FOD
=2Rh－R1－(Rh－R)2=2(h－R)Rh(h－2R)
∵tan∠BOA=ABOA∴AB=2R(h－R)h－2R∵e=AB－2RAB
∴e=AB－2RAB=1－2R2R(h－R)h－2R=1－h－2Rh－R=Rh－R
由上面的結論聯想到，當h=2R時，則e=Rh－R=1.此時投影可能是拋物線，事實是否真的是這樣呢？于是筆者帶著疑問向下探索……
結論2：一只半徑為R的球放在桌面上，桌面上一點A的正上方相距2R處有一點光源O，OA與球相切，則球在桌面上的投影是以A為頂點，球與桌面的切點為焦點的拋物線。
證明：建立如圖所示的空間直角坐標系，設所得投影上任意一點E(x，y，0).
∵F(0，－R，0)O(0，0，2R)
∵EF=EG(切線長相等)
∴x2+(y+R)2=x2+y2+(0－2R)2－OG
∵OG=OD=R(切線長相等)
∴x2+(y+R)2=x2+y2+(0－2R)2+R2－2Rx2+y2+(0－2R)2
∴x2+y2+(0－2R)2=2R－y即：x2=－4Ry
∴所得投影是以A為頂點，球與桌面的切點為焦點的拋物線
聯想的結果居然是對的，既然這樣，當R
結論3：一只半徑為R的球放在桌面上，桌面上一點A的正上方相距h(R （證明方法同結論2） 上面的問題或結論中都是OA與球豎直相切，若OA與球不是豎直相切，結果又怎樣呢？探索仍在繼續…… 結論4：一只半徑為R的球放在桌面上，離桌面超過2R處有一點光源O（球與桌面的切點、球心和光源O三點不共線），球在桌面上的投影——橢圓的離心率是：cosθ+sinθ·tanβ2。 (下面的兩幅圖是兩種情況的軸截面圖，其中θ=∠OBA，β=∠COB，OA垂直于桌面，E為球與桌面的切點) 證明：（以圖1為例）設2a，2c分別是橢圓的長軸長，焦距 此時對照結論4再回頭看看原來的題目，僅僅是θ=90°的一個特殊情況而已，一切顯得那么簡單、明了。 由此再次提醒我們要重視課本中的內容，用心研究課本，08年高考中20道數學題有16道能在課本中找到影子，這還不能說明問題嗎？以本為本，用心探究。
