淺談數學上雙動點的運動問題
2010-12-31 00:00:00王啟科
中學課程輔導·教師教育(上、下) 2010年8期
摘 要:“雙動點型”問題，通常是指由給定的兩個運動的點它們按一定的規則運動，要求我們去探索某種結論的問題。對于這一類題，關鍵是要把動態問題轉變為靜態問題來解決，尋找運動中的“不變量”作為解決問題的突破口，一般的方法是：1．根據題中所給出的量分清運動中的變量，不變量，并根據題意作出圖形；2．按圖形的幾何性質及相互關系，找出基本關系式，把相關的量用自變量的表達式表示出來；
3．根據動點變動的范圍確定自變量的取值范圍及其范圍內的特殊值。
關鍵字：“動點”；“平移”
中國分類號：G424 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2010）4-052 -02
一、雙動點同時同速移動的問題
例：已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，點P，Q分別從A，C兩點出發，以相同的速度每秒1厘米分別沿射線AB，BC運動，PQ與直線AC相交與點D，設點P運動時間為X，△PCQ的面積S，
（1）求以X為自變量時，S與X的函數關系式，并求當△PCQ的面積等于△ABC的面積時X的值。
（2）作PE⊥AC于點E，當P，Q運動時線段DE的長是否變化？證明你的結論
解：（1）當0＜X＜2時，P在線段AB上，此時
CQ=X，BP=2-X
S=12CQ·PB=-12X2+X
當x＞2時，P在線段AB的延長線上，此時
S=12CQ·PB=12X2-X
而S△ABC=12AB·BC=12×2×2=2
∴當0＜X＜2時，S=-12X2+X=2，無解
當X＞2時，S=12X2-X=2
解得X=1±5（舍負）
∴當P運動1+5秒時，S△PCQ=S△ABC
（2）過點Q作QM⊥AC，交直線AC與點M
易證△APE≌△QCM∴
AE=PE=CM=QM=22X∴PE=QM∴四邊形PEQM是平行四邊形
∴DE=12EM又∵EM=AC=22∴DE=22，即DE長度不變
解這一類型題時還是要分清那些是變量，那些是不變量，此題動點是P，Q對于（1）問，易得出解答，但本題不要忽視分兩種情況討論；在（2）中，我們主要抓住AP=CQ，證明△APE≌△QCM可得DE的長度不變。
二、雙動點同時不同速的移動問題
例 在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠c=90°，BC=16，DC=12，AD=21動點P從點D出發，沿射線DA方向以每秒2個單位長的速度移動，動點Q從點C出發，在線段CB上以每秒一個單位的速度向點B運動，點P從點D出發，點Q從點C出發，兩點同時出發，當點Q運動到點B時，點P隨之停止運動，設運動時間為t(S)
（1）設△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式。
（2）當線段PQ與線段AB相交與點O，且2AO=OB時，求∠BQP的正切值。
解（1）如圖過點P做PM⊥BC，垂足為M，則四邊形PDCM為矩形。
∴PM=DC=12∵BQ=16-t
∴S=12×(16-t)×12=96-6t
（0≤t≤16）
(2)如圖，由△OAP∽△OBQ得，
APBQ=AOOB=12∵AP=2t-21，BQ=16-t
∴2(2t-21)=16-t∴t=58/5
過點Q作QE⊥AD垂足為E
∵PD=2t，ED=QC=t
∴PE=1在直角三角形PEQ中tan∠QPE=QEPE=12t=3029
∵∠BQP=∠QPE∴tan∠BQP=3029
本題的變量是P，Q在線段AD，BC上運動，對于P，Q運動的特殊時刻，使2AO=OB可以把它作為題目的條件來解題。
三、雙動點不同時同速移動的問題
例 在△ABC中，∠B=60°，BA=24 cm，BC=16 cm，現在動點P從點A出發，沿射線AB向B方向運動；動點Q從點C出發，沿射線CB也向B方向運動，如果點P的速度是2 cm/秒，點Q的速度是2 cm/秒，P點運動兩秒后Q點開始運動
求：(1)幾秒鐘后，△PBQ的面積是△ABC的面積的一半？
(2)在第(1)問的前提下，P，Q兩點之間的距離是多少？
解：(1)設Q點開始運動t秒后，△PBD的面積是△ABC的面積的一半
∵S△ABC=12×24×16×sin 60
又∵P點比Q點先運動了2秒那么t秒時AP=4+2t則PB=20-2t
同理CQ=2t，則BQ=16-2t
則S△PBQ=12×(20-2t)×(16-2t)·sin 60
=12×24×16×sin 60
即4t2-72t+128=0
解得t=2或t=15（舍）
∴當t=2時，△PBD的面積是△ABC的面積的一半
(2)∵BP=16，BQ=12，在三角形PBQ中cos 60=162+122-x22×16×12
x=413
