套利定價理論研究

摘要:套利定價理論(即APT)是一種不要求遵循均值-方差收益原則，而從市場的套利論證中推導出資產價格的區別于CAPM的新方法。在給出了APT的前提假設后，首先對與APT推導相關的單因素與多因素模型進行了簡要分析，其次就APT的推導過程進行簡要描述，然后從區別、一致性兩方面對比了APT與CAPM，最后闡述了APT的應用領域并給出了評價。

關鍵詞:因素;套利;因素敏感度;無風險利率;純因素;預期收益

中圖分類號:F83

文獻標識碼:A

文章編號:1672-3198(2010)16-0211-01

斯蒂芬·羅斯在1976年提出了套利定價理論(APT)。這是一種基于一價定律的確定資產價格的方法。一價定律指出:如果兩種資產在所有經濟意義的相關方面都相等，則它們的市場價格應相同。套利者則利用了一價定律，一旦發現有違背定律的情況存在，他們就開始實施低買高賣的套利行為，直到套利機會消失。因此，APT就是在給定證券收益的產生過程，從套利論證中推導出資產價格。

首先給出APT的模型公式:

E(ri)=rf+bi1·λ1+bi2·λ2+…+bim·λm

E(ri)表示風險資產i的預期收益，rf表示無風險資產的收益，bim表示風險資產i對第m個因素的敏感性，λm表示影響資產i的預期收益的第m個因素的值。

APT要求風險資產的收益與一組因素線性相關。這將在之后的論述中結合單因素模型以及多因素模型對APT的模型公式給予推導及描述。

1 APT的前提假設

(1)證券收益能用單因素模型表示;

(2)有足夠多的證券來分散掉不同的風險;

(3)有效的證券市場中不允許有持續性的套利機會。

2 單因素模型

APT所描述的期望收益就是從一個受單因素或者多因素影響的收益模型中推導出來的，而多因素模型實際上就是由單因素模型逐漸加入其它影響預期收益的因素所推導出來的;另外，就CAPM來說，它可以看做是一種受單因素影響預期收益的定價模型。因此，我們首先需要對單因素模型進行了解。

首先假定任意風險資產的收益由一個公共因素F決定。ri表示真實收益，E(ri)表示期望收益值，αi為常數值，bi表示對公共因素的敏感性(即F對風險資產收益的影響)，i表示隨機誤差。

ri=αi+bi·F+ii

因此由單因素模型決定的風險資產的預期收益為:

E(ri)=αi+bi·E(F)

而風險資產的方差為:σ2i=b2i·σ2F+σ2n

b2i·σ2F為因素風險，σ2n為隨機誤差項的方差。

由單因素模型決定收益的資產構成的證券組合的收益率是:

rp=∑ωi·ri=∑ωi(αi+bi·F+i)

=(∑ωi·αi)+(∑ωi·bi·F)+(∑ωi·i)

=αp+bp·F+p

E(rp)=αp+bp·E(F)

方差為σ2p=b2p·σ2F+σ2ip，(σ2ip=∑ω2i·σ2i)

投資越分散，每種資產的權重ωi就越小。雖然不會使bp明顯上升或下降，因為bp是許多風險資產的因素敏感度的加權平均，但是可以使非因素風險被分散掉，留下來的只有因素風險。

3 多因素模型

當然，我們很容易可以想到對預期收益產生影響的可能的因素:利率波動、通貨膨脹率、某產品價格變動等。我們需要利用多因素套利定價理論來處理投資當中所面臨的多方面的風險。

將單因素模型加入其他任一公共因素構成雙因素模型:

ri=αi+bi1·F1+bi2·F2+i

rp=∑ωi·ri=∑ωi(αi+bi1·F1+bi2·F2+i)

=(∑ωi·αi)+(∑ωi·bi1·F1)

+(∑ωi·bi2·F2)+(∑ωi·i)

=αp+bp1·F1+bp2·F2+p

以此類推，在逐一加入對預期收益的影響因素后，我們就可以得到預期收益受多方面影響的多因素模型。

4 APT的描述與證明

根據多因素模型，某投資組合中的靈敏度是所有證券靈敏度的加權平均。因此我們可以構造某因素有單位靈敏度1，對其他因素有0靈敏度的純因素證券組合。

該證券組合的收益構成通常被分解為無風險收益率rf以及λ(即每單位靈敏度的某因素的預期風險溢價)。

因此，可把“純因素1”證券組合的期望收益E(rp1)=rf+λ1

而根據無套利均衡，不同構成純因素證券組合的方式之間的差異會在一個迅速的套利過程中平息，因此它將保證任何純因素證券組合都會產生同樣的期望收益(rf+λ)。

我們仍然運用雙因素模型來對APT進行分析。

ri=αi+bi1·F1+bi2·F2+i

首先設定市場中存在足夠多的證券，ωi表示權重，可以得到

公式一:∑ωi=0，公式二:∑ωi·bi1=0，公式三:∑ωi·bi2=0，公式四:∑ωi·i≈0，公式五:︱∑ωi·E(ri)︱>0

公式一表示該證券組合不需要額外的資金進行投資，即這一組合的投資為0;公式二、三均表示不承擔因素一或者因素二的風險;公式四表示殘差風險近似為0，即為當投資足夠分散時，非因素風險會相互抵消而消失不見;對于上述的零投資、零風險的組合，那么它的期望收益率︱∑ωi·E(ri)︱必然為零，因此公式五表示存在套利機會。

假定風險資產i的收益與因素1，2之間存在下列關系:

ri=αi+bi1·F1+bi2·F2+i

所以對投資者而言，有以下兩種策略:

(1)將現有資金全部投資到風險資產i中，

E(ri)=αi+bi1·E(F1)+bi2·E(F2)

(2)以無風險利率rf借入資金并分別用βi1，βi2的所占份額投入純因素1的證券組合以及純因素2的證券組合

E(rp)=ωf·rf+ωp1·E(rp1)+ωp2·E(rp2)

因為這兩種策略所對應的風險是相同的，由一價定律:風險相等的兩個組合不可能具有不同的期望收益，所以，在無套利原則的均衡中，

E(rp)=E(ri)

設(bi1+bi2)>1，所以我們需要按照無風險利率rf借入資金以滿足投資組合的需要。另外，實際上ωp1=bi1/(bi1+bi2)，為簡化分析，我們令ωp1=bi1，ωp2=bi2。

則ωf=1-(ωp1+ωp2)=1-(bi1+bi2)

所以，E(rp)=[1-(bi1+bi2)]rf+bi1·E(rp1)+bi2·E(rp2)

而我們前面已經討論過了，E(rp1)=rf+λ1，E(rp2)=rf+λ2

因此，E(rp)=rf+bi1·λ1+bi2·λ2

即:E(ri)=rf+bi1·λ1+bi2·λ2

綜上所述:在均衡條件下，風險資產i的預期收益將等于組合p的預期收益，即APT要求任何風險資產的收益與其決定因素線性相關，截距即為無風險利率。

由此我們也可以推出APT的一般公式:

對于風險資產i，受F1，…，Fm多個因素的影響，其靈敏度分別為bi1，…，bim，則風險資產i的期望收益率為:

E(ri)=rf+bi1·λ1+bi2·λ2+…+bim·λm

5 APT的評價

5.1 優點

(1)不要求市場組合的方差/均值有效。

APT不要求以CAPM的嚴格假設——投資者都要遵循均值-方差原則為基礎。事實上，APT對于均衡的描述比CAPM更一般化，價格不再僅僅受到均值何方差的影響。

(2)不要求市場處于均衡狀態。

APT的機制就是在給定證券的產生過程，從套利論證中推導出資產價格。理性的投資者會消除套利行為并使市場恢復均衡狀態，從而推導出資產的預期收益，最終得到資產的價格。

(3)認為系統風險受多因素影響，有利于系統性風險的結構研究。

APT詳細的分解了證券風險系統的各種構成因素，并分析了大量的宏觀經濟風險因素。分解及分析方法有助于系統風險的結構研究。

5.2 局限

(1)模型結構模糊。

APT并沒有對因素的數量及其代表的含義進行說明，僅用λm表示，所以，bim以及λm的識別主要依靠計算及判斷。

(2)實證檢驗非常困難。

就目前而言，對APT的實證研究還停留在早期階段。APT的檢驗尤其難以設計。因為APT本身只是說明了資產定價的一個結構。

APT模型具有一系列優點，它并沒有完全占有支配CAPM的地位，在實際運用中，我們仍需根據不同的投資目的、投資方式等選取適應的資產定價模型。

參考文獻

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