標(biāo)的資產(chǎn)服從分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過(guò)程的上限型買權(quán)的期權(quán)定價(jià)

[摘要]本文在假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)服從分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過(guò)程，且無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、波動(dòng)率和期望收益率為時(shí)間的非隨機(jī)函數(shù)的情況下，運(yùn)用保險(xiǎn)精算法得到了歐式期權(quán)定價(jià)公式。并且得到了一類奇異期權(quán)——上限型買權(quán)的期權(quán)定價(jià)公式，該公式是標(biāo)準(zhǔn)跳-擴(kuò)散模型下的推廣。

[關(guān)鍵詞]分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散 上限型買權(quán) 保險(xiǎn)精算法 期權(quán)定價(jià)

一、 引言

期權(quán)是一種風(fēng)險(xiǎn)管理的工具，它賦予持有者在規(guī)定的時(shí)間有權(quán)而非必須以約定的價(jià)格購(gòu)買或出售一定數(shù)量的標(biāo)的金融資產(chǎn)的權(quán)利。自20世紀(jì)70年代Black和Scholes發(fā)表的《The Pricing of options and corporate liabilities》被金融市場(chǎng)具體應(yīng)用于期權(quán)定價(jià)以來(lái)，越來(lái)越多的學(xué)者致力于改進(jìn)和發(fā)展這一經(jīng)典的模型。

傳統(tǒng)的期權(quán)定價(jià)模型一般用幾何布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程，但標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)性通常具有自相似性和長(zhǎng)期依賴性等分形特征，而幾何布朗運(yùn)動(dòng)不具有相應(yīng)的性質(zhì)。我們知道分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是自相似過(guò)程，具有長(zhǎng)期依賴性，因此用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)取代幾何布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格過(guò)程，就可以得到更貼近市場(chǎng)的結(jié)果。研究也發(fā)現(xiàn)，當(dāng)市場(chǎng)出現(xiàn)一些重大信息時(shí)，價(jià)格的變化是不連續(xù)的，學(xué)者采用跳-擴(kuò)散模型來(lái)反映這一不連續(xù)性。

本文綜合考慮了上述兩種情形，采用了保險(xiǎn)精算定價(jià)的思想得到了資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程服從分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型的歐式期權(quán)定價(jià)公式，并且得到了一類奇異期權(quán)——上限型買權(quán)的定價(jià)公式。

二、 分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型

1. 分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)

分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)為一連續(xù)的高斯過(guò)程稱為Hurst指數(shù)，滿足協(xié)方差時(shí)，則為標(biāo)準(zhǔn)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)。

分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是自相似過(guò)程，且在時(shí)，有長(zhǎng)期依賴性，這些性質(zhì)使得它成為研究數(shù)理金融更合適的工具。在時(shí)，應(yīng)用Wick積和分?jǐn)?shù)白噪聲理論定義了一種適用于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)積分:，本文采用這種積分定義，且設(shè)。

2.分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型

跳-擴(kuò)散模型是為了反映股市變化的不連續(xù)性而采用的，不同的跳-擴(kuò)散過(guò)程反映了不同的標(biāo)的資產(chǎn)變化。本文采用的模型，即標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格過(guò)程滿足如下的隨機(jī)微分方程:

(1)

其中，為幾何布朗運(yùn)動(dòng);表示標(biāo)的資產(chǎn)在內(nèi)隨機(jī)跳躍的次數(shù)，服從參數(shù)為的泊松運(yùn)動(dòng);為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，而表示標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格跳躍的相對(duì)高度;為期望收益率;為波動(dòng)率。考慮一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性世界，由風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，則可以用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率代替期望收益率，于是解方程(1)，可以得到標(biāo)的資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)中性價(jià)格模型為:

考慮分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，以及Wick積得定義及性質(zhì)[1]，可以得到分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)公式:

(2)

以及，

三、分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型下上限型買權(quán)定價(jià)

經(jīng)研究表明，由于當(dāng)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的H指數(shù)時(shí)，資本市場(chǎng)有套利，因此風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)等無(wú)套利定價(jià)理論來(lái)無(wú)法解決該問(wèn)題[2][3]。本文采用文獻(xiàn)[4]中的保險(xiǎn)精算定價(jià)方法。

1. 保險(xiǎn)精算定價(jià)法

考慮由兩類資產(chǎn)組成的連續(xù)貿(mào)易金融市場(chǎng)，一類為具有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(如債券)，滿足;另一類為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(如股票)在t時(shí)刻其價(jià)格為，考慮的時(shí)間區(qū)間為 ，T表示到期日。是定義在完備概率空間上的隨機(jī)過(guò)程，是由產(chǎn)生的。1998年Mogens Bladt和Tina Hviid Rydberg提出期權(quán)定價(jià)的保險(xiǎn)精算方法[4]，即利用公平保費(fèi)原理將期權(quán)定價(jià)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的公平保費(fèi)確定問(wèn)題。

定義1 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程在區(qū)間上產(chǎn)生的期望收益率被定義為:

其中，為t時(shí)刻的連續(xù)復(fù)利收益率。

定義2(公平保費(fèi)原理)[4]:歐式期權(quán)的價(jià)值等于在期權(quán)被執(zhí)行時(shí)股票到期日價(jià)格按期望收益率折現(xiàn)的值與執(zhí)行價(jià)格按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)的值之差在標(biāo)的資產(chǎn)實(shí)際概率測(cè)度下的數(shù)學(xué)期望。其在到期日的被執(zhí)行的條件為:歐式看漲(看跌)期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)到期日價(jià)格按期望收益率折現(xiàn)的值與執(zhí)行價(jià)按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)的值之差大于零(小于零)。

保險(xiǎn)精算方法將期權(quán)定價(jià)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為由于無(wú)任何經(jīng)濟(jì)假設(shè)，所以它不僅對(duì)無(wú)套利、均衡、完備的市場(chǎng)有效，且對(duì)有套利、非均衡、不完備的市場(chǎng)也有效。

由公平保費(fèi)原理，可以得到如下的定理:

引理1 (歐式看漲期權(quán))在到期日T，執(zhí)行價(jià)為K的歐式看漲期權(quán)在初始時(shí)刻的公平保費(fèi)價(jià)值為:

其中，

引理2 (歐式看跌期權(quán))在到期日T，執(zhí)行價(jià)為K的歐式看跌期權(quán)在初始時(shí)刻的公平保費(fèi)價(jià)值為:

其中，

2.分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型下歐式期權(quán)的定價(jià)公式

定理1 (歐式看漲期權(quán))在到期日T，執(zhí)行價(jià)為K，標(biāo)的資產(chǎn)服從分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散過(guò)程的歐式看漲期權(quán)在t時(shí)刻的定價(jià)公式為:

這里是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累計(jì)分布函數(shù)。

其中，

證明:(3)

其中，

根據(jù)定義1，可以知道關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，有:

則(3)式可以改寫為:

其中，(4)

又因?yàn)橹邪刑S的泊松過(guò)程，設(shè)包含n次跳躍:

其中，下面為關(guān)于 的計(jì)算:

從文獻(xiàn)[1]中，可以得到 ，又，

所以，，此時(shí)，由(5)式，可知 包含n次跳躍，令，則資產(chǎn)在T時(shí)刻可以表示為:

(6)

其中，

根據(jù)(6)計(jì)算整理(4)可得:，

則:

同理，可得，

由此，得到:

考慮，得到其定價(jià)公式為:

其中，

同理，我們可以用相同的證明方法得到以下定理。

定理2 (歐式看跌期權(quán))在到期日T，執(zhí)行價(jià)為K，標(biāo)的資產(chǎn)服從分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散過(guò)程的歐式看跌期權(quán)在t時(shí)刻的定價(jià)公式為:

其中 與定理1相同。

注:當(dāng)時(shí)，定理1、定理2即為跳-擴(kuò)散模型下，歐式期權(quán)的定價(jià)公式。

3.分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型下上限型買權(quán)定價(jià)

上限型買權(quán)是在到期日具有如下的未定收益的一種奇異期權(quán):

其中K為敲定價(jià)格，P是正常數(shù)。且上限型期權(quán)在到期日前的任意時(shí)刻的價(jià)格為:

其中是歐式看漲期權(quán)在的價(jià)格，從而得到下面的定理:

定理3 在到期日T，執(zhí)行價(jià)為K，標(biāo)的資產(chǎn)服從分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過(guò)程的上限型買權(quán)在t時(shí)刻的定價(jià)公式為:

其中，，

證明:由，及定理1即得。

注:當(dāng)時(shí)，定理3即為標(biāo)準(zhǔn)跳-擴(kuò)散模型下的上限型買權(quán)定價(jià);時(shí)，為標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型下的上限型買權(quán)定價(jià)。

四、結(jié)束語(yǔ)

考慮到分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)以及跳-擴(kuò)散模型在資產(chǎn)模型中的特點(diǎn)，假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)服從分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過(guò)程，且無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、波動(dòng)率和期望收益率均為時(shí)間的非隨機(jī)函數(shù)的情況下，運(yùn)用保險(xiǎn)精算法得到了一類奇異期權(quán)——上限型買權(quán)的期權(quán)定價(jià)公式，該公式是標(biāo)準(zhǔn)跳-擴(kuò)散模型以及分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型下的推廣。

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