基于延期支付的電子化供應鏈變質產品定價與采購策略

[摘要] 本文以由一個供應商和一個零售商所組成的電子化供應鏈為研究對象，考慮了線性的需求，以及與時間和采購量相關的采購函數，研究了在零售商的一個計劃周期內，基于延期支付下變質產品的定價與采購策略問題。以零售商利潤最大化為優化目標建立了數學模型，設計了相應的求解算法，并以算例予以說明。

[關鍵詞] 延期支付 變質產品 定價 采購策略 電子化供應鏈

隨著市場競爭的激烈，為了獲得更多的客戶，供應商允許零售商在一定時間范圍內，延期支付貨款。零售商在這段延期支付期限內，如何確定其采購策略并對其產品定價以使其利潤最大化，成為了學術界研究的重點。

一、模型假設和定義

對于電子化供應鏈的刻畫，本文采用C.X. Wang和M. Benaroch，以及常志平[14]的方法，即認為在電子化供應鏈下，零售商的交易成本遠遠小于傳統供應鏈的交易成本，進而可以忽略。

基于兩階段的延期支付模型將建立在以下假設和參數定義的基礎之上。

1.模型假設

①假設只有一個供應商和一個零售商的電子化供應鏈系統;②在一個有限的計劃周期H內，只考慮單一變質產品，有一固定變質率，變質率為;③補貨時間和運費不計;④不會發生缺貨的情況;⑤市場需求函數為線性函數;⑥ 。

2.參數定義

n:在計劃周期內零售商的補貨周期數;

q:零售商每個補貨周期的產品訂購量;

:產品在單個采購周期內的需求率，即;

:采購成本，，f是每次采購的固定成本，且是t時刻每單位時期額外支付的采購成本。假設 ，

p:單位產品的銷售價格;

:產品的損耗率;

h:單位產品單位時間的庫存持有費用;

T:零售商的訂貨周期;

M:供應商向零售商提供的延期支付期限;

:零售商單位收入的年收益率;

:零售商庫存資金的回報率，即資金的機會成本;

I(t):零售商在t時刻的庫存水平;

TCi:零售商的在計劃期內的總成本函數;當時，，當時，;

:當訂貨周期為T，價格為p時，零售商的凈利潤函數，當 時，，當時，;

3.模型建立

零售商的庫存在訂貨周期內，將隨著產品的銷售和產品的變質而不斷減少。因此，時刻t的庫存水平在給定變質率 的情況下，可以表示為:

當訂貨周期結束時，，因此方程(1)可表示為:

當 表示期初的庫存量，也即零售商每個周期的訂貨量:

所以，在零售商的計劃期H內，零售商的相關成本如下:

(1)總采購成本:

其中

(2)總庫存持有成本

(3)根據延期支付的期限不同，可以將利息收入分為兩種情況來討論:

Case 1:當(如圖1所示)時

圖1 當時零售商庫存示意圖

在計劃期H內的總利息收入為:

因為單個采購周期j的單位采購成本為:

所以在計劃期H內的利息支出為:

Case 2:當(如圖2所示)時

圖2 當時零售商庫存示意圖

在計劃期H內的總利息收入為:

在計劃期H內的總利息支出為:=0;

零售商在單位采購周期內的平均利潤為:

通過泰勒展開式()，同時假設，這樣就可對化簡，化簡結果如下:

當時:

當時:

在使用泰勒展開式時，的值越小，得到的解也會越精確。Chen和Chen[15]等學者的研究文獻中，T最大的取值也只有0.1。因此，對于大部分典型變質產品來說，其合理的變質率通常是在每月0.01到0.1之間(Chen和Chen2006)。補貨周期一般以月或者年作為單位。這也就意味著，對于一個月補貨一次的產品，其補貨周期T就會為1月或者1/12年。這也就讓的假設更符合現實。由于很小，對第四次及以上的訂貨周期來說，那么對泰勒級數展開式中的精確度影響就很小了，甚至可以忽略不計。于是又有:

在通過泰勒展開式近似計算后，在處連續。因此，接下來開始著手解決當需求為線性函數，使零售商利潤最大化的采購量，采購周期及定價。

4.模型求解

由方程(4)可知，這是一個含有兩個變量的兩階段函數。的最優解將是或的最大值。為了解決這個問題，首先找到令最大時的零售價格，然后將代入相應的中，模型就可以簡化成只含有一個變量的單階段函數。現在，已經通過證明了函數在處連續，因此，本文選擇對反映了計劃期內的訂購周期次數的n進行搜索。因為，于是可以通過確定n來確定T，進而確定零售商最優的采購和定價策略。在此，利用數字逼近法找到使 最大的，從而確定使零售商利潤最大時的采購周期和銷售價格。

現在，假設需求率方程為。將需求率方程分別帶入方程(5)和(6)，然后對分別對p求一階，二階導數得:

因為，所以式(9)和(10)明顯小于零。因此，對于一個固定的T來說，零售商的利潤函數是關于價格p的凸函數，這樣也就存在一個唯一的使得利潤最大化。令，將p表示成關于T的函數，即:

其中:，

的取值可能為負也可能大到不能夠被接受。為了避免這種情況發生，我們為的取值設置上下限。通常，如果零售價格小于或者等于0，零售商會因為賺不到任何利潤而拒絕銷售該產品。同樣，如果因零售價格過高而使得市場需求率變為零，這也是不行的。所以基于上述分析，可以推出的取值范圍，即:

接下來，通過性質1來說明，零售價格p在可接受的區間內能夠取得最優解。

性質1:

(1)如果:

式(10)存在唯一的一個最優解，并滿足;

(2)如果:

式(13)存在唯一的一個最優解，并滿足;

證明(1):

令，

因此根據式(9)表明，是關于價格p的凸函數。因此，是關于價格p的減函數。當p=0或， 為:

且

因為，所以恒大于零。因此，若，且是關于p單調遞減，所以這也就意味這，存在 。

證畢。

證明(2):其證明過程與(1)的證明過程相似。證明過程略。

通過以上證明，我們知道性質1是成立的;同時也表明，最優零售價格的取值是在區間之內。這也就意味著最優零售價格既不會為負，也不會大得不可接受。

5.模型算法設計

從模型的假設條件我們知道，零售商在一個確定的計劃期內確定其在該計劃期的補貨周期以及補貨次數。由于每個補貨周期的時間相等，所以，當知道了一個確定的補貨次數n時也就確定了在計劃期內對應的補貨周期T，。同樣，和分別對應于在和兩種情況，也就意味著我們找到了中的或。

這樣可以組成最優的解，同時他們要滿足:

其中:

對于一個給定的，一定時間范圍內的計劃周期H來說，利用數字逼近法來設計算法，以此來確定從哪一個中得到最優的和。算法從，即在計劃期內只補貨一次開始，在Step1中判斷初始的n是屬于令還是的情況。如果是屬于的情況，利用Step2和Step3來找到在單位采購周期中最大的利潤。通過Step4～Step6來確定在情況下，單位補貨周期中最大的利潤。Step7從中選擇最大的值作為最優解。

算法:

Step0:令;

Step1:令，如果，轉到Step 2，否則轉到Step 4;

Step2:將T代入方程(11)中，以計算出，再將T和代入方程(5)中以得到;

Step3: 增加0.01，重復Step 1，直到開始下降或直到，令;

Step4:令;

Step5:將T代入方程(12)中，以計算出，再將T和代入方(6)中以得到。

Step6:n增加0.01，重復Step5，直到 開始下降，令:;

Step7:令同時，最優的補貨量為。

6.算例分析

令采購周期時間的單位為月。計劃期為一年，即12個月。

計劃期，單位產品單位時間庫存持有費用為，采購函數為，需求函數為，產品的損耗率，延期支付期限，單位收入的年收益率，資金的機會成本。通過搜索補貨次數n所設計出的算法計算的結果如表1-1所示:

表1 每個n所對應的

表1-1是利用搜索n來尋找最大利潤的算法并經Matlab編程計算出的結果。當n=1~4時，采用分支函數來計算，因為時，采用分支來計算，因為。這樣計算會不斷重復，直到開始下降是才結束。最優的補貨次數為令 最大時的n的值。根據以上給出的數據，最優的解除現在階段，此時n=11，T=1.09，p*=46.63，并且最優的訂購量和最優的凈利潤分別為q*=37.20，。

此外，從圖3也能更為容易的觀察出零售商在各種決策下的利潤。

7.總結

本文研究了電子化供應鏈中，基于延期支付的情況下，以零售商利潤建立模型，并設計相應算法，來解決當零售商面對線性需求，與時間和數量相關的采購成本，如何確定變質產品的定價和采購策略，以確保其利潤最大化，并給出了最優的定價和采購決策。本文中的模型和算法對企業的實際運營都具有一定參考價值。

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